立體幾何(幾何法)-二面角(模型一)

1、 /9 /9立體幾何（幾何法）二面角（模型一）例1（2013年普通高等學校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學（理）卷（純WORD版）如圖1,在等腰直角三角形ABC中，ZA90,BC6,D,E分別是AC,AB上的點，CDBE=、：2,O為BC的中點將AADE沿DE折起，得到如圖2所示的四棱錐A-BCDE，其中AO=、淪.（I）證明：AO丄平面BCDE；仃I）求二面角A-CDB的平面角的余弦值.圖1【答案】（I）在圖1中，易得OC3,AC3.2AD2：2連結OD,OE，在AOCD中,由余弦定理可得OD=xOC2+CD22OC-CDcos45=、5由翻折不變性可知AD2邁，所以AO2+OD2AD2，所以AO丄O

2、D，理可證AO丄OE，又ODIOEO，所以AO丄平面BCDE.仃I）傳統(tǒng)法:過O作OH丄CD交CD的延長線于H,連結AH，因為AO丄平面BCDE,所以AH丄CD,所以ZAHO為二面角ACDB的平面角.32/30-結合圖1可知，H為AC中點，故OH=,從而AH=OH2+OA2=所以cosZAHO=AHh二斗5,所以二面角A*CD-B的平面角的余弦值為學.AH向量法：以O點為原點,建立空間直角坐標系O-則A(0,0.-3),C(0,3,0),D(1,-2,0)1,2,J3)所以CA=0,3DAruuurn-CA=0ruuur,即n-DA=0r令x二1,得n=設n=(x,y,z)為平面ACD的法向量

3、，則3y+辰二0y=一x,解得x+2y+3z0z=3xuuur(_)ruuurn-OA二ruur,n由(I)知,OA=0,0,爲為平面CDB的一個法向量,所以cos：n,3：15|網R七，即二面角ACD-B的平面角的余弦15值為丁-例2(2012高考真題廣東理18)(本小題滿分13分)如圖15所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA丄平面ABCD,點E在線段PC上,PC丄平面BDE.(1)證明：BD丄平面PAC；(2)若PA=1,AD=2，求二面角BPCA的正切值.PC丄平面BDE答案】證明：(1)BDU平面BDEOPCBDPA丄平面ABCDBDu平面ABCDKPA丄BDVPAA

4、PG=P,PAU平面PAC,PCu平面PAC,.BD丄平面PAC.(2)法一：如圖所示，記BD與AC的交點為F,連接EF.由PC丄平面BDE,BEU平面BDE,EFU平面BDE,.PC丄BE,PC丄EF.即ZBEF為二面角B-PC-A的平面角.由(1)可得BD丄AC,所以矩形ABCD為正方形，AB=AD=2,AC=BD=2遼,FC=BF=2在RtPAC中，PA=1,PC=JPA2+AC2=3,即二面角B-PC-A的正切值為3.法二：以A為原點，ABADAP的方向分別作為xyz軸的正方向建立空間直角坐標系,如圖所示.設AB=b，則：A(0,0,0)，B(b,0,0)，C(b,2,0)，D(0,2

5、,0)，P(0,0,1)于是PC=(b,2,1),DB=(b,2,0).因為PCDB，所以PCDB=b24=0,從而b=2.結合可得DB=(2,2,0)是平面APC的法向量.現(xiàn)設=(x,y,z)是平面BPC的法向量，則丄BC,丄PC,即BC=0,PC=0.因為BC=(0,2,0),PC=(2,2,1),所以2y=0,2xz=0.取x=1,則z=2,=(1,0,2).令0=，DB，則nDB21.3sin&=,tan&=3.由圖可得二面角BPCA的正切值為3.例3(2012高考真題山東理18)(18)(本小題滿分12分)在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，ABCD,ZDAB二60。,F

6、C丄平 /9求證：BD平面AED；求二面角FBDC的余弦值.【答案】解：(1證明：因為四邊形ABCD是等腰梯形，AB/CD,ZDAB=60所以ZADC=ZBCD=120.又CB=CD，所以ZCDB=30因此ZADB=90AD丄BD,又AE丄BD,且AEQAD=A,AE,AD平面AED,所以BD丄平面AED.(2)解法一：取BD的中點G，連接CG，F(xiàn)G，由于CB=CD，因此CG丄BD,又FC丄平面ABCD，BD平面ABCD，所以FC丄BD,由于FCCG=C,FC,CG平面FCG,所以BD丄平面FCG，故BD丄FG,所以ZFGC為二面角FBD-C的平面角. /9在等腰三角形BCD中，由于ZBCD=

7、120,因此CG=*CB.又CB=CF,所以GF=CG2+CF2=込CG,故cosZFGC=亨,因此二面角F-BD-C的余弦值為解法二：由(1)知AD丄BD,所以AC1BC.又FC丄平面ABCD,因此CA,CB,CF兩兩垂直，以C為坐標原點,分別以CA,CB,CF所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，不妨設CB=1.(小1則C(0,0,0),B(0,1,0),Dg2oj,F(o,o,1).因此BD=,2，0,BF=(O,1,1).設平面BDF的一個法向量為=(x,y,z),貝寸.BD=0,BF=0,所以x=./3y=73z,取z=1,則=c./3,1,1).由于CF=(0

8、,0,1)是平面BDC的一個法向量，則cos，CF二亞占暫miiCFiV555所以二面角FBDC的余弦值為2例4(2013年高考浙江卷(文)如圖，在在四棱錐P-ABCD中，PA丄面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=J7,PA=5,ZABC=120,G為線段PC上的點.()證明：BD丄面PAC;(II)若G是PC的中點，求DG與APC所成的角的正切值；PG(III)若G滿足PC丄面BGD,求的值.【答案】解：證明：（1）由已知得三角形ABC是等腰三角形，且底角等于30,且AB=CB、AD=CDnAABD=ACBDn上ABD=ZCBD=60。且ZBAC=30。BD=DBPA丄ABCDnBD丄PA，所以；、BD丄AC，又因為BD丄ACnBD丄PAC；仃I）設ACIBD=O，由知DO丄PAC，連接GO，所以DG與面APC所成的角是ZDGO，由已知及知:BO二1,AO二CO=DO二丁7二3二2，GO=1PA=護ntanZDGO=GO=衣=存,所以DG與面4APC所成的角的正切值