中學(xué)數(shù)學(xué)方法論

1、中學(xué)數(shù)學(xué)方法論第1頁，共64頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)8分，星期日考試情況簡介題號一二三四五六類型單選多選填空名詞解釋綜合計算問答分?jǐn)?shù)102012123610題數(shù)101012442特點(diǎn)記憶性問題記憶性問題記憶性問題理解記憶數(shù)學(xué)運(yùn)算數(shù)學(xué)思考操作文字題理解記憶第2頁，共64頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)8分，星期日1、單選、多選、填空2、名詞解釋、問答第3頁，共64頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)8分，星期日一、西方數(shù)學(xué)人物克萊因：古今數(shù)學(xué)思想笛卡爾：方法論牛頓：曲線求積數(shù)流數(shù)術(shù)方法與無窮級數(shù)萊布尼茲：關(guān)于求極大極小和切線的新方法歐幾里得：幾何原本阿爾.花拉子模：代數(shù)學(xué)阿基米德，亞歷山大洛

2、夫等等。生活時代，代表著作以及在數(shù)學(xué)上的貢獻(xiàn)。第4頁，共64頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)8分，星期日如，萊布尼茲于1646年出生于德國東部萊比錫。其數(shù)學(xué)成就為，發(fā)明了微積分，論述了微分和積分的互逆關(guān)系，引入了積分符號，首先引進(jìn)了函數(shù)一詞，首先發(fā)明了二進(jìn)位制。第5頁，共64頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)8分，星期日笛卡爾1637年發(fā)表 ，附錄第三篇是 ，這就是解析幾何的起點(diǎn)。笛卡爾的中心思想是要建立一種普遍的數(shù)學(xué)，使算術(shù)、代數(shù)和幾何統(tǒng)一起來，主要是把代數(shù)方法用到幾何上，用方程來研究曲線的性質(zhì)。他創(chuàng)立解析幾何的主要貢獻(xiàn)在于引進(jìn) ，建立了 ，把形和數(shù)統(tǒng)一起來?！白償?shù)”方法論幾何學(xué)坐標(biāo)法第6頁，

3、共64頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)8分，星期日牛頓和萊布尼茲在微積分的工作中最大功績是將兩個貌似不相關(guān)的問題即 （微分學(xué)的中心問題）和 （積分學(xué)的中心問題）聯(lián)系起來。切線問題求積問題第7頁，共64頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)8分，星期日歐幾里得（約公元前300年），他撰寫過光學(xué)和圓錐曲線方面的文章，但他最廣為人知的著作是幾何原本（大約公元前320年編成），幾何原本歷來是最有影響和流傳最廣的數(shù)學(xué)著作，共13卷，它不但是已知數(shù)學(xué)知識的匯編，而且是演繹推理的典范。它從幾條公理和公設(shè)出發(fā)，采用嚴(yán)格的演繹法，按照邏輯順序推導(dǎo)出了一系列新的結(jié)論和命題，幾乎包括了目前平面幾何中的所有命題和定理。第8

4、頁，共64頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)8分，星期日幾何原本書共有13卷它是從一系列定義、公設(shè)和“共同概念”開始，歐幾里得試圖根據(jù)這些定義、公設(shè)、公理，以絕對嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆绞浇⑵饚缀螌W(xué)知識的大廈。這些共同概念后來被稱為公理（或自明真理）。 歐幾里得給出5條公理： 1等于同量的量彼此相等； 2等量加等量，其和相等； 3等量減等量，其差相等； 4彼此重合的圖形是全等的； 5整體大于部分。第9頁，共64頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)8分，星期日一、中國數(shù)學(xué)人物鄭爽：注釋周卑骨劉徽：九章算術(shù)注祖沖之：圓周率 ：劉益、賈憲、沈括 ：秦九韶、楊輝元代：李冶、朱世杰北宋南宋第10頁，共64頁，2022年，5

5、月20日，4點(diǎn)8分，星期日 九章算術(shù)的內(nèi)容與數(shù)學(xué)方法：內(nèi)容：方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不 足、方程、勾股。方法：分?jǐn)?shù)算法，一般比率算法，組合比率算法，開 方算法，面積和體積公式。第11頁，共64頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)8分，星期日九章算術(shù)在數(shù)學(xué)歷史上的地位及特色 。地位：是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的代表作；標(biāo)志著中國 初等數(shù)學(xué)理論體系的形成。特色：有明顯的社會性和實(shí)用性的特征；以算 法為中心的數(shù)形結(jié)合的算法體系；成果 表現(xiàn)出構(gòu)造性的特點(diǎn)。第12頁，共64頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)8分，星期日二、數(shù)學(xué)發(fā)展史的分期1、數(shù)學(xué)萌芽時期（公元前600年以前） 數(shù)學(xué)的對象：社會生活和農(nóng)業(yè)生產(chǎn)

6、上的實(shí)際計算和測量問題。 主要發(fā)明創(chuàng)造： 總結(jié)出較完善的實(shí)際的計算方法和測量方法，形成自然數(shù)和分?jǐn)?shù)以及一些簡單圖形的概念，建立了初步的算術(shù)和幾何知識以及一些運(yùn)算間的關(guān)系。 第13頁，共64頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)8分，星期日數(shù)學(xué)發(fā)展的特點(diǎn)：數(shù)學(xué)研究的對象是客觀世界實(shí)際事物中的數(shù)量和圖形，即初步的算術(shù)和幾何的計算知識；數(shù)學(xué)概念的形成比較緩慢，沒有形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)體系；出現(xiàn)數(shù)學(xué)符號。第14頁，共64頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)8分，星期日2、初等數(shù)學(xué)時期（常量數(shù)學(xué)時期）（公元前5世紀(jì)到公元17世紀(jì)初） 數(shù)學(xué)的對象： 客觀事物在相對靜止的狀態(tài)下保持不變的數(shù)量和圖形。 在算術(shù)和幾何知識的基礎(chǔ)

7、上，采用邏輯方法（主要是演繹法），把研究成果整理成為一門獨(dú)立的系統(tǒng)的科學(xué)。 主要發(fā)明創(chuàng)造： 完善了算術(shù)，建立了代數(shù)、幾何、三角形等學(xué)科，為變量數(shù)學(xué)發(fā)展積累素材。第15頁，共64頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)8分，星期日數(shù)學(xué)發(fā)展的特點(diǎn)：由具體的實(shí)驗(yàn)階段過渡到抽象的理論階段；采用邏輯方法（主要是演繹法），把研究成果整理成為演繹體系；建立算術(shù)、代數(shù)、幾何、三角形等數(shù)學(xué)分支。 第16頁，共64頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)8分，星期日3、變量數(shù)學(xué)時期（17世紀(jì)中葉到19世紀(jì)20年代） 數(shù)學(xué)的對象： 客觀事物在運(yùn)動變化的狀態(tài)下變化的數(shù)量和圖形。 主要發(fā)明創(chuàng)造： 法國笛卡兒解析幾何，英國牛頓萊布尼茲的

8、微積分（解析幾何和微積分是常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)的標(biāo)志），實(shí)變、復(fù)變函數(shù)，微分幾何，組合論，概率論等。第17頁，共64頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)8分，星期日 數(shù)學(xué)發(fā)展的特點(diǎn)：數(shù)學(xué)研究對象起了質(zhì)的變化，從常量到變量，離散量到連續(xù)量，有限量到無限量；不僅用邏輯方法，還有辨證法；數(shù)學(xué)分析在發(fā)展中占主導(dǎo)地位；數(shù)學(xué)與自然科學(xué)相互促進(jìn)。第18頁，共64頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)8分，星期日4、近代數(shù)學(xué)時期（19世紀(jì)20年代到20世紀(jì)40年代）5、現(xiàn)代數(shù)學(xué)時期（20世紀(jì)40年代至今） 第19頁，共64頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)8分，星期日三、數(shù)學(xué)發(fā)展中幾次有影響的悖論1、芝諾所提出的阿利奇追龜

9、說例：免子和烏龜賽跑，免子速度100米/分，烏龜1米/分，烏龜在免子前方100米，多長時間免子追上烏龜？第20頁，共64頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)8分，星期日2、希帕索斯悖論 勾股定理運(yùn)用中，邊長為1得正方形對角線2不能寫成整數(shù)比pq形式。 芝諾、希帕索斯悖論所產(chǎn)生得矛盾稱為第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，此危機(jī)所涉及得問題主要是： （1）無理數(shù)得表示問題 （2）有限與無限的矛盾問題第21頁，共64頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)8分，星期日3、貝克萊悖論 貝克萊悖論引發(fā)的矛盾稱為第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。4、康托悖論和羅素悖論（集合論悖論）集合悖論引起的爭論局面稱為第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。 第22頁，共64頁，2022

10、年，5月20日，4點(diǎn)8分，星期日 為了解決數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的這次由集合論悖論引起的危機(jī)，把傳統(tǒng)數(shù)學(xué)從集合論悖論和相容性問題所造成的危機(jī)局面中解救出來，由于所采取的觀點(diǎn)和方法不同，形成了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究的三大派別, 這三大學(xué)派在20世紀(jì)30年代之前展開了激烈的論爭。第23頁，共64頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)8分，星期日四、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)論的幾個學(xué)派及其評價邏輯主義學(xué)派：奠基者是德國弗雷格、英國羅素該學(xué)派主要研究數(shù)學(xué)與邏輯學(xué)的關(guān)系，認(rèn)為數(shù)學(xué)問題可以歸結(jié)為邏輯問題?；居^點(diǎn)是數(shù)學(xué)概念可以由邏輯命題出發(fā)，經(jīng)由明確的定義而給出；數(shù)學(xué)的定理可由邏輯概念出發(fā)，經(jīng)由純粹的邏輯演繹推理而給出。第24頁，共64頁，2022年

11、，5月20日，4點(diǎn)8分，星期日直覺主義學(xué)派：先驅(qū)是德國克羅內(nèi)克，代表是 荷蘭布勞威爾基本觀點(diǎn)是否定邏輯先于數(shù)學(xué)，對傳統(tǒng)數(shù)學(xué)知識持批判態(tài)度；數(shù)學(xué)起源于直覺；數(shù)學(xué)必須能構(gòu)造；邏輯法則；無窮觀。第25頁，共64頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)8分，星期日形式主義學(xué)派：代表德國希爾伯特基本觀點(diǎn)：反對直覺主義無限觀；提出排出悖論的方法；希爾伯特改造數(shù)學(xué)計劃。第26頁，共64頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)8分，星期日1、共同之處三大學(xué)派都是為了解決集合論悖論而產(chǎn)生的，可以說,解決集合論悖論，使數(shù)學(xué)的根基更加牢固，從而進(jìn)一步發(fā)展是它們的共同目的。都是運(yùn)用理性主義來構(gòu)造數(shù)學(xué)，認(rèn)為數(shù)學(xué)是一個歐幾里得系統(tǒng)。2、

12、不同之處邏輯主義為了避免悖論，想把數(shù)學(xué)建立在邏輯之上由純邏輯就可以延展出全部數(shù)學(xué)，使數(shù)學(xué)的原有成果以邏輯為基礎(chǔ)。第27頁，共64頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)8分，星期日不同之處 形式主義采用公理化方法,試圖通過將數(shù)學(xué)理論形式化公理化并證明這種形式系統(tǒng)的相容性來避免悖論,且又保住現(xiàn)有數(shù)學(xué)的全部成果.這二個方案雖然不同,但目的卻是一致的,即論證傳統(tǒng)數(shù)學(xué)(已有數(shù)學(xué)理論)的合理性,使已經(jīng)建成的數(shù)學(xué)大廈不至于坍塌. 直覺主義則相反,“它要革傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的命,它認(rèn)為產(chǎn)生悖論是傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的內(nèi)在瘤疾,因此必須從根本上消除傳統(tǒng)數(shù)學(xué),建立一種全新的直覺主義哲學(xué)“直覺主義代表著數(shù)學(xué)上的“變革規(guī)范,體現(xiàn)出的是數(shù)學(xué)發(fā)展中

13、質(zhì)的變革。第28頁，共64頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)8分，星期日三大學(xué)派的缺陷 無視數(shù)學(xué)歷史的發(fā)展,都沒有看到數(shù)學(xué)是一個發(fā)展過程. 邏輯主義和形式主義僅對數(shù)學(xué)作靜態(tài)的邏輯分析,而沒有進(jìn)行動態(tài)的考察. 直覺主義雖然在數(shù)學(xué)研究中引起了歷史的思考,把數(shù)學(xué)當(dāng)作一個創(chuàng)造過程,但這個過程僅是心靈創(chuàng)造的過程,僅是心靈創(chuàng)造的歷史,并沒有數(shù)學(xué)的歷史. 把相對真理看作是絕對真理,沒有認(rèn)識到數(shù)學(xué)發(fā)展是一個從相對走向絕對的過程,是一個不斷由相對真理走向絕對真理的歷史. 數(shù)學(xué)雖然以嚴(yán)密性著稱,但也沒有必要為它提供一個絕對可靠的基礎(chǔ),數(shù)學(xué)也是允許修正,具有暫時性并逐漸發(fā)展的.第29頁，共64頁，2022年，5月20

14、日，4點(diǎn)8分，星期日五、數(shù)學(xué)研究的方法1、劃分劃分是數(shù)學(xué)研究的基本方法，是按照事物間的異同，將相同性質(zhì)的對象歸為一類，不同性質(zhì)的對象歸入不同類別的思維方法。任何劃分都包含三個部分： 對概念的劃分就是把一個概念按照一定的標(biāo)準(zhǔn)分為若干個種概念的邏輯方法。劃分的母項(xiàng)是被劃分的概念、劃分的子項(xiàng)就是從母項(xiàng)劃分出來的各個種概念，劃分的標(biāo)準(zhǔn)就是據(jù)以劃分的屬性。 劃分的母項(xiàng)、劃分的子項(xiàng)、劃分的標(biāo)準(zhǔn)第30頁，共64頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)8分，星期日 劃分的方式： 一次劃分、連續(xù)劃分、復(fù)分、二分法劃分的基本要求：劃分必須是相稱的；劃分的各子項(xiàng)之間的關(guān)系必須是不相容關(guān)系；每一次劃分必須按同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行；劃分

15、不能越級。2、抽象抽象是把研究的事物從某種角度看待的本質(zhì)屬性抽取出來，舍去其非本質(zhì)屬性進(jìn)行考察的思維方法。抽象的方法： 等價抽象，理想化抽象，可能性抽象。第31頁，共64頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)8分，星期日觀察、實(shí)驗(yàn)、比較、分析、綜合、概況等一般方法的名詞解釋。3、化歸 化歸的實(shí)質(zhì)是解題者把新命題轉(zhuǎn)化為其認(rèn)知結(jié)構(gòu)中相應(yīng)的舊命題。新舊命題之間的關(guān)系有： 下位關(guān)系：新從屬于已有命題 上位關(guān)系：新包容舊命題 組合關(guān)系：新舊并列第32頁，共64頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)8分，星期日六、數(shù)學(xué)的邏輯方法邏輯思維的基本形式： 概念、判斷、推理。（一）概念和定義 1、概念內(nèi)涵與外延 概念是反映事

16、物本質(zhì)屬性的思維形式。 數(shù)學(xué)概念是反映客觀事物空間形式和數(shù)量關(guān)系本質(zhì)屬性的思維形式。 概念的內(nèi)涵與外延,是概念的基本特征,是準(zhǔn)確把握概念和系統(tǒng)掌握知識的基礎(chǔ)。 概念的內(nèi)涵就是概念所反映的事物的本質(zhì)屬性的總和, 概念的外延就是概念所反映的事物的全部對象。 概念的內(nèi)涵與外延是分別對事物的質(zhì)和量的規(guī)定。 第33頁，共64頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)8分，星期日 例如, “偶數(shù)”這個概念的內(nèi)涵是“能被2整除”這個性質(zhì),其外延是所有偶數(shù)的全體。 “一元二次方程”這個概念的內(nèi)涵是“只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是二次的等式”這個性質(zhì),其外延是一切形如ax2+bx+c=0(a0)的方程的全體。 概念

17、的內(nèi)涵與外延這兩個方面是相互聯(lián)系、互相制約的。當(dāng)概念的內(nèi)涵擴(kuò)大時,則概念的外延就縮小;當(dāng)概念的內(nèi)涵縮小時,則概念的外延就擴(kuò)大。內(nèi)涵和外延之間的這種關(guān)系,稱為反變關(guān)系。第34頁，共64頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)8分，星期日 例如,在四邊形的內(nèi)涵中,增加“兩組對邊分別平行”這個性質(zhì),那就得到平行四邊形的概念,而平行四邊形的外延比四邊形的外延縮小了。 在等腰三角形的內(nèi)涵中減少“有兩邊相等”這個性質(zhì),那就是三角形的內(nèi)涵,而三角形的外延比等腰三角形的外延擴(kuò)大了。 不過這里要注意,這種反變關(guān)系只能適用于外延間存在著包含和被包含的兩個概念之間。第35頁，共64頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)8分，星期

18、日2、概念間的關(guān)系：（1）相容關(guān)系 外延有公共部分的兩個概念之間的關(guān)系稱為相容關(guān)系,這兩個概念稱為相容概念。在相容關(guān)系里,又分為同一關(guān)系、交叉關(guān)系和從屬關(guān)系。 同一關(guān)系:外延完全重合的兩個概念A(yù)和B之間的關(guān)系稱為同一關(guān)系。 例如，“直線”與“一次曲線”這兩個概念， 又如,“等腰三角形底邊上的中線”與“等腰三角形底邊上的高”;“等邊的矩形”與“直角的菱形”;在同一個圓中的“直徑”與“最大的弦”等,它們之間的關(guān)系都是同一關(guān)系。第36頁，共64頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)8分，星期日 交叉關(guān)系:外延只有一部分重合的兩個概念A(yù)和B之間的關(guān)系,稱為交叉關(guān)系，這兩個概念稱為交叉概念。 例如,“等腰三角

19、形”與“直角三角形”、“負(fù)數(shù)”與“整數(shù)”、“菱形”與“矩形”等概念之間的關(guān)系都是交叉關(guān)系。 從屬關(guān)系(包含關(guān)系):如果A概念的外延包含B概念的外延,那么這兩個概念間的關(guān)系稱為從屬關(guān)系。其中A概念叫做B概念的種概念(或上位概念),B概念叫做A概念的類概念(或下位概念)。 例如,“復(fù)數(shù)”、“實(shí)數(shù)”、“有理數(shù)”、“整數(shù)”它們之間的關(guān)系是從屬關(guān)系?！皬?fù)數(shù)”、“實(shí)數(shù)”、“有理數(shù)”都是“整數(shù)”的種概念。第37頁，共64頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)8分，星期日(2)不相容關(guān)系 外延互相排斥(沒有公共部分)的兩個概念之間的關(guān)系稱為不相容關(guān)系,這兩個概念稱為不相容概念。不相容關(guān)系分為對立、矛盾關(guān)系兩種。 對

20、立關(guān)系(反對關(guān)系)：如果某一概念的兩個類概念A(yù)和B,其外延是互相排斥的,且這兩個類概念外延之和小于它們最鄰近的種概念的外延,那么這兩個類概念A(yù)和B之間的關(guān)系稱為對立關(guān)系這兩個類概念稱為對立概念。 例如,“正實(shí)數(shù)”與“負(fù)實(shí)數(shù)”是對立關(guān)系的兩個概念,因?yàn)樗鼈兊耐庋踊ハ嗯懦?其外延之和小于它們最鄰近的種概念“實(shí)數(shù)”的外延。 又如,“大于”與“小于”、“銳角三角形”與“鈍角三角形”、“質(zhì)數(shù)”與“合數(shù)”、“等腰梯形”與“直角梯形”等概念的關(guān)系都是對立關(guān)系.第38頁，共64頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)8分，星期日 3、概念的定義 定義是揭示概念的內(nèi)涵的邏輯方法,它是明確概念的主要方法之一。 (1) 定

21、義的組成 定義由三個要素組成：即被定義的概念、已定義的概念和聯(lián)系詞。 例如,“鄰邊相等的矩形是正方形”是正方形的一種定義,在這個定義中,“正方形”是被定義概念,“鄰邊相等的矩形”是已定義的概念,“是”是聯(lián)系詞。第39頁，共64頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)8分，星期日 (2)定義的方法 1）“種加類差”定義法:公式為：被定義的概念(類)=最鄰近的種概念(種)+類差。 “最鄰近的種概念”,就是被定義概念的最鄰近的種概念, “類差”就是被定義概念在它的最鄰近的種概念里區(qū)別于其它類概念的那些本質(zhì)屬性。 例如,以“平行四邊形”為最鄰近的種概念的類概念有“矩形”、“菱形”,“菱形”的“鄰邊相等”是區(qū)別

22、于“矩形”的本質(zhì)屬性,“鄰邊相等”就是“菱形”的類差。第40頁，共64頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)8分，星期日 2）發(fā)生定義法(也稱構(gòu)造性定義法):通過被定義概念所反映對象發(fā)生過程或形成的特征描述來揭示被定義概念的本質(zhì)屬性的定義方法被稱為發(fā)生定義法。這種定義法是種加類差定義的一種特殊形式。定義中的類差是描述被定義概念的發(fā)生過程或形成的特征,而不是揭示被定義概念的特有的本質(zhì)屬性。 3）列舉定義法:用列舉概念的外延給概念下定義的方法稱為列舉定義法。 4）外延性定義 5）歸納定義 6）公理化定義 7）原始概念不加定義第41頁，共64頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)8分，星期日4、定義的要求1）定

23、義應(yīng)當(dāng)是相稱的. 所謂定義相稱就是已定義概念的外延與被定義概念的外延必須相等,不能擴(kuò)大,也不能縮小,也就是通常說的不能過寬也不能過窄。 定義過寬,就是下定義概念的外延大于被定義概念的外延。A、無理數(shù)是無限小數(shù)。 B、直徑是弦。 此兩例都犯了定義過寬的邏輯錯誤。例A中的下定義概念“無限小數(shù)”的外延大于被定義概念“無理數(shù)”的外延。因?yàn)闊o限小數(shù)包含無限循環(huán)小數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù),而無限循環(huán)小數(shù)就不是無理數(shù)。例B中的下定義概念“弦”的外延大于被定義概念“直徑”的外延。第42頁，共64頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)8分，星期日定義過窄,就是下定義概念的外延小于被定義概念的外延。例如: A、無理數(shù)是有理數(shù)

24、的不盡方根 B、各角為直角的菱形是矩形。 例A中的下定義概念“有理數(shù)的不盡方根”的外延小于被定義概念“無理數(shù)”的外延。因?yàn)椤、lg3等都是無理數(shù),它們都不是有理數(shù)的不盡方根。 例B中的下定義概念“各角為直角的菱形”的外延小于被定義概念“矩形”的外延。因?yàn)楦鹘菫橹苯堑牧庑问钦叫?正方形一定是矩形,但矩形不一定是正方形。第43頁，共64頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)8分，星期日 2）定義不能循環(huán)。 在定義中,下定義概念必須能直接地揭示被定義概念的內(nèi)涵,而不能直接或間接地依賴于被定義概念。違犯了這條規(guī)則,就會犯循環(huán)定義的邏輯錯誤。 循環(huán)定義常有以下兩種情況： A惡性循環(huán)。在一個科學(xué)系統(tǒng)中,如果

25、把概念A(yù)作為已知的概念來定義概念B,但又用概念B來定義概念A(yù),這種邏輯錯誤叫做定義惡性循環(huán)。 例如,用兩條直線垂直來定義直角,反過來又用兩直線交成直角來定義垂直。這樣定義概念不能揭示概念的內(nèi)涵。 B詞語反復(fù)。用被定義概念的簡單重復(fù)來定義被定義的概念,即用自身定義自己,這種邏輯錯誤叫做詞語反復(fù),結(jié)果什么也沒 有說清楚。以下幾例都犯了詞語反復(fù)的錯誤。 1互質(zhì)數(shù)就是互為質(zhì)數(shù)的數(shù)。 2基礎(chǔ)知識就是最基礎(chǔ)的知識。第44頁，共64頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)8分，星期日 3）定義必須清楚確切。 在定義中不能應(yīng)用比喻或含混不清的概念,不應(yīng)列舉非本質(zhì)屬性,不應(yīng)含有多余詞語,也不能漏掉必須的詞語。 例如,“

26、無窮小是很小很小的數(shù)”,這樣定義無窮小是錯誤的。 又如,“正方形是一種有規(guī)則四邊形”,“有規(guī)則”是一個不可捉摸的含混概念,這樣定義不能揭示出“正方形”的內(nèi)涵。 再如,“對邊平行且相等的平面四邊形是平行四邊形”。這個定義既不清楚確切,也不簡明。定義中漏掉了“兩組”、“分別”、多了“且相等”,“平面”。 還如，“兩組邊相等的四邊形是平行四邊形”。這樣定義平行四邊形也是不確切的,因?yàn)椤皟山M邊”是指的鄰邊呢?還是對邊呢?似是而非,使人們像猜迷語一樣去理解概念,是不允許的。第45頁，共64頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)8分，星期日 4）定義一般不用否定形式。 定義應(yīng)當(dāng)從正面對被定義概念的本質(zhì)屬性用肯定

27、形式給予揭示,一般不用否定形式。 例如,“不是有理數(shù)的數(shù)叫做無理數(shù)”。這樣定義無理數(shù),它既不能揭示無理數(shù)的內(nèi)涵,又不能確定無理數(shù)的外延。 但是,有些概念的特有屬性就是它缺少的某個屬性,對這樣的概念下定義可用否定形式。例如,“同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線”就是用的否定形式。第46頁，共64頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)8分，星期日5、概念的劃分 概念的劃分(或分類)是從概念的外延方面明確概念的邏輯方法。 概念的劃分就是把被劃分的概念作為種概念,并根據(jù)一定的屬性把它的外延分成若干個全異的類概念。通過對概念正確的劃分,可以更深刻地理解概念，更系統(tǒng)地掌握概念。 (1)劃分的三個要素 母項(xiàng)、子

28、項(xiàng)和劃分的依據(jù)。母項(xiàng)是劃分的種概念,子項(xiàng)就是劃分所得的類概念,劃分的依據(jù)就是劃分時所依據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)。 例如:根據(jù)邊的相等關(guān)系三角形劃分為 等邊三角形 等腰三角形 不等邊三角形第47頁，共64頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)8分，星期日 (2)劃分的類別 劃分有一次劃分、連續(xù)劃分和二分法等基本形式。 1）一次劃分:只包括母項(xiàng)和子項(xiàng)兩個層次的劃分稱為一次劃分。例如，根據(jù)奇偶性,整數(shù)劃分為奇數(shù)和偶數(shù)。 2）連續(xù)劃分:包括母項(xiàng)和子項(xiàng)三個層次以上的劃分,即把一次劃分得出的子項(xiàng)作為母項(xiàng),繼續(xù)劃分子項(xiàng),直到滿足需要為止。例如: 整數(shù)正整數(shù) 零 負(fù)整數(shù)有理數(shù) 分?jǐn)?shù)正分?jǐn)?shù) 負(fù)分?jǐn)?shù)第48頁，共64頁，2022年，5月

29、20日，4點(diǎn)8分，星期日 3）二分法:它是每次劃分后所得的子項(xiàng)總是兩個相互矛盾概念的劃分法。它是把一個概念的外延中具有某個屬性的對象作為一類,把恰好缺乏這個屬性的對象作為另一類。例如,用二分法對復(fù)數(shù)劃分。 虛數(shù)純虛數(shù) 非純虛數(shù) 復(fù)數(shù) 有理數(shù)正有理數(shù)正整數(shù) 正分?jǐn)?shù) 非正有理數(shù)零 實(shí)數(shù) 負(fù)有理數(shù)負(fù)整數(shù) 負(fù)分?jǐn)?shù) 無理數(shù)正無理數(shù) 負(fù)無理復(fù)數(shù)第49頁，共64頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)8分，星期日劃分的規(guī)則 1）劃分應(yīng)是相稱的 要求劃分后所得的類概念外延的總和等于被劃分種概念的外延。違反這一規(guī)則,會犯“多出子項(xiàng)”或“不完全劃分”的邏輯錯誤。例如:A、自然數(shù)劃分為質(zhì)數(shù)與合數(shù)。B、梯形劃分為等腰梯形、不

30、等腰梯形和平行四邊形。 第50頁，共64頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)8分，星期日2）每一次劃分只能用一個根據(jù) 劃分的根據(jù)可以不同，但每次劃分不能交叉地使用幾個不同的根據(jù),只能用同一個根據(jù)劃分。否則劃分的結(jié)果就會混亂不清,達(dá)不到劃分的目的。 例如,把三角形劃分為等邊三角形、等腰三角形、鈍角三角形。 第51頁，共64頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)8分，星期日 3）劃分的子項(xiàng)必須互相排斥 劃分后所得的子項(xiàng)的外延不允許交叉、重疊，否則,就會對概念的認(rèn)識更加模糊。 如,“平行四邊形劃分為正方形、菱形、鄰邊不等的矩形”。因?yàn)檎叫问橇庑?這個劃分也犯了“子項(xiàng)相容”的錯誤,而且還漏掉了“鄰邊不相等的平

31、行四邊形”。第52頁，共64頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)8分，星期日 4）劃分不能越級 在每次劃分中,被劃分的概念與劃分出來的概念必須具有最鄰近的種類關(guān)系,不能越級或跳躍式的劃分。劃分應(yīng)當(dāng)按照被劃分概念所反映的對象具有的內(nèi)在層次逐一地進(jìn)行。 例如:“把實(shí)數(shù)劃分為整數(shù)、分?jǐn)?shù)、無理數(shù)”就犯了“越級劃分”的邏輯錯誤。因?yàn)檎麛?shù)和分?jǐn)?shù)與實(shí)數(shù)不是最鄰近的各類關(guān)系。第53頁，共64頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)8分，星期日 （二）判斷和命題 1、判斷與數(shù)學(xué)判斷 判斷是對客觀事物的一種認(rèn)識,是對客觀事物有所肯定或否定的思維形式,判斷是概念與概念間的聯(lián)系。 數(shù)學(xué)判斷是對空間形式和數(shù)量關(guān)系有所肯定或否定的思

32、維形式。 例如,“正數(shù)都大于零”、“有些一元二次方程無實(shí)根”等都是數(shù)學(xué)判斷。 判斷有真有假。如果一個判斷能如實(shí)地反映客觀事物,在質(zhì)和量上都能正確地反映客觀事物的真實(shí)性而無虛設(shè),那么這個判斷就是真判斷,否則就是假判斷。第54頁，共64頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)8分，星期日 2、判斷的種類按判斷的量分類：全稱判斷、特稱判斷按判斷的質(zhì)分類：肯定判斷、否定判斷按判斷的關(guān)系分類：直言判斷、假言判斷、選言判斷 第55頁，共64頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)8分，星期日 3、命題與數(shù)學(xué)命題 命題是表示判斷的語句，可分為直言命題、假言命題、選言命題。 表達(dá)數(shù)學(xué)判斷的語句或符號的組合稱為數(shù)學(xué)命題。 例如

33、,“等角的余角相等”、“56”、“x2=0”、“a2-2ab+b2=(a-b)2”、“x1”、“ABCABC”等都是數(shù)學(xué)命題。 由于判斷有真有假,所以命題也有真假之分。 數(shù)學(xué)命題一般由條件(前提)和結(jié)論兩部分組成。條件是已知事項(xiàng),結(jié)論是由條件推出的事項(xiàng)。 第56頁，共64頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)8分，星期日數(shù)學(xué)命題一般都表示為假言命題“若p則q”。由此命題可以構(gòu)出另外三種命題形式：若q則p；若非p則非q；若非q則非p。分別稱為命題“若p則q”的逆命題、否命題、逆否命題。原命題與逆否命題同真或同假，原命題的逆命題與否命題同真或同假。第57頁，共64頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)8分，星期日 4、 邏輯連接詞 常用的邏輯連接詞：否定、合取、析取、蘊(yùn)涵、當(dāng)且僅當(dāng)。 5、復(fù)合命題及其真假值（略，186頁起） 用真值表或者推理規(guī)則第58頁，共64頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)8分，星期日（三