高考數(shù)學(xué)黃金100題系列第20題函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題理

1、第20題函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題I題源研究黃金母題出色解讀【例1】求函數(shù)f(x)lnx2x6的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)【試題本源】人教版A版必修1第88頁例1【答案】1【母題評(píng)析】本題觀察了零點(diǎn)存在性定理、【分析】fx的定義域?yàn)楹瘮?shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷0,f2ln2460,f3ln366【思路方法】判斷函數(shù)能否存在零點(diǎn)可用零0,點(diǎn)存在性定理或利用數(shù)形結(jié)合法而要判斷由零點(diǎn)存在性定理知fx有零點(diǎn)又函數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn)，還需要借助函數(shù)的單調(diào)f120,fx在0,上是單調(diào)遞加函數(shù)，性xxx只有一個(gè)零點(diǎn)考場(chǎng)出色真題回放【例2】【2017高考江蘇卷第14題】設(shè)f(x)是定義在R且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間0,1)上，f(x)x2,xD,此中會(huì)

2、集x,xD,Dxxn1N*，則方程f(x)lgx0的解的個(gè)數(shù)n,n是【答案】8【分析】由于f(x)0,1)，則需考慮1x10的狀況，在此范圍內(nèi)，xQ且xZ時(shí)，設(shè)xq,p,qN*,p2，p且p,q互質(zhì)若lgxQ，則由lgx(0,1)，可設(shè)lgxn,m,nN*,m2，且m,n互質(zhì)mnq，則10n(q)m，此時(shí)左側(cè)為整數(shù)，右側(cè)非整所以10mpp數(shù)，矛盾，所以lgxQ所以lgx不行能與每個(gè)周期內(nèi)xD對(duì)應(yīng)的部分相等，只需考慮lgx與每個(gè)周期xD的部分的交點(diǎn)，畫出函數(shù)圖象，圖中交點(diǎn)除1,0外其余交點(diǎn)橫坐標(biāo)均為無理數(shù)，屬于每個(gè)周期xD的部分，且x1處lgx111，則在x1周邊僅有一個(gè)交點(diǎn)，xln10ln10

3、【命題企圖】本題主要觀察觀察了零點(diǎn)存在性定理、函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷本題能較好的觀察考生分析問題解決問題的能力【考試方向】這種試題在觀察題型上，平?；疽赃x擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度中等偏易，觀察基礎(chǔ)知識(shí)的識(shí)記、理解與應(yīng)用【難點(diǎn)中心】解答此類問題，要點(diǎn)在于靈巧選擇方法，如直接求解，或數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)變?yōu)閮蓚€(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，或借助于導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，獲取函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)1一次方程解的個(gè)數(shù)為8【例3】【2016高考新課標(biāo)I改編】函數(shù)fx2x2ex在2,2有個(gè)零點(diǎn)【答案】D【分析】函數(shù)fx2x2ex|在2,2上是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故先考慮其在0,2上有幾個(gè)零點(diǎn)f00,f10,f(2)8e

4、20,fx在0,2上有零點(diǎn)設(shè)gxfx4xexg00,g10,g20,gx在0,2上有零點(diǎn)又由gx0，可得4ex0，設(shè)其解為x1，易知x11,2且gx10,gx在0,2上有獨(dú)一零點(diǎn)，設(shè)為x0且x00,1從而當(dāng)0 xx0時(shí)，gx0，即fx0；當(dāng)x0 x2時(shí)，gx0，即fx0，故x(0,x0)時(shí)，f(x)為單調(diào)遞減函數(shù)；當(dāng)x(x0,2)時(shí)，(x)為單調(diào)遞加函數(shù)又f00,f10,f(x0)0,fx在0,2上有獨(dú)一零點(diǎn)由函數(shù)圖象的對(duì)稱性可知fx在0,2上有兩個(gè)零點(diǎn)【例4】【2015年高考江蘇卷】已知函數(shù)fxlnx，gx0,0 x1，則方程fxgx1實(shí)根x242,x1的個(gè)數(shù)為_【答案】4【分析】方程等價(jià)于

5、fxgx1，即fxgx1或fxgx1共多少個(gè)根，【命題企圖】本題主要觀察觀察了零點(diǎn)存在性定理、函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷本題能較好的觀察考生分析問題解決問題的能力【考試方向】這種試題在觀察題型上，平?；疽赃x擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度較大【難點(diǎn)中心】一些對(duì)數(shù)型方程不可以直接求出21,0 x1其零點(diǎn)，常經(jīng)過平移、對(duì)稱變換轉(zhuǎn)變?yōu)橄鄳?yīng)y1gxx21,1x2，數(shù)形結(jié)合可得：fx與的函數(shù)圖像問題，利用數(shù)形結(jié)合法將方程根7x2,x2的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)閷?duì)應(yīng)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，而函數(shù)零y1gx有兩個(gè)交點(diǎn)；點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷平常轉(zhuǎn)變?yōu)閮珊瘮?shù)圖像交點(diǎn)1,0 x1的個(gè)數(shù)這時(shí)函數(shù)圖像是解題要點(diǎn)，不但要研究其走勢(shì)（單調(diào)性，極值點(diǎn)、漸近線等），

6、y1gxx23,1x2，同理可得fx與并且要明確其變化速度快慢5x2,x21gx有兩個(gè)交點(diǎn)，所以共計(jì)4個(gè)III理論基礎(chǔ)解題原理1零點(diǎn)的定義：一般地，關(guān)于函數(shù)yfxxD，我們把方程fx0的實(shí)數(shù)根x稱為函數(shù)yfxxD的零點(diǎn)2函數(shù)零點(diǎn)存在性定理：設(shè)函數(shù)fx在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且fafb0，那么在開區(qū)間a,b內(nèi)最罕有函數(shù)fx的一個(gè)零點(diǎn)，即最罕有一點(diǎn)x0a,b，使得fx001）fx在a,b上連續(xù)是使用零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)的前提；2）零點(diǎn)存在性定理中的幾個(gè)“不必定”（假設(shè)fx連續(xù)）若fafb0，則fx的零點(diǎn)不必定只有一個(gè)，可以有多個(gè)；若fafb0，那么fx在a,b不必定有零點(diǎn)；若fx在a,b有零點(diǎn)，則

7、fafb不必定一定異號(hào)3若fx在a,b上是單調(diào)函數(shù)且連續(xù)，則fafb0fx在a,b的零點(diǎn)獨(dú)一4函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根、兩圖像交點(diǎn)之間的聯(lián)系：設(shè)函數(shù)為yfx，則fx的零點(diǎn)即為滿足方程fx0的根，若fxgxhx，則方程可轉(zhuǎn)變?yōu)間xhx，即方程的根在座標(biāo)系中為gx,hx交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，其范圍和個(gè)數(shù)可從圖像中獲取由此看來，函數(shù)的零點(diǎn)，方程的根，兩圖像的交點(diǎn)這三者各有特色，且能互相轉(zhuǎn)變，在解決有關(guān)根的問題以及已知根的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍這些問題時(shí)要用到這三者的靈巧轉(zhuǎn)變5函數(shù)的零點(diǎn)，方程的根，兩函數(shù)的交點(diǎn)在零點(diǎn)問題中的作用1）函數(shù)的零點(diǎn)：工具：零點(diǎn)存在性定理；作用：經(jīng)過代入特別值精確計(jì)算，將零點(diǎn)圈定在一個(gè)較小的范圍

8、內(nèi)；弊端：方法單調(diào)，只好判斷零點(diǎn)存在而沒法判斷個(gè)數(shù)，且能否獲取結(jié)論與代入的特別值有關(guān)3（2）方程的根：工具：方程的等價(jià)變形；作用：當(dāng)所給函數(shù)不易于分析性質(zhì)和圖像時(shí)，可將函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)榉匠蹋瑥亩玫仁降男再|(zhì)可對(duì)方程進(jìn)行變形，構(gòu)造出便于分析的函數(shù)；弊端：可以直接求解的方程種類較少，很多轉(zhuǎn)變后的方程沒法用傳統(tǒng)方法求出根，也沒法判斷根的個(gè)數(shù)3）兩函數(shù)的交點(diǎn)：工具：數(shù)形結(jié)合；作用：前兩個(gè)主若是代數(shù)運(yùn)算與變形，而將方程轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)交點(diǎn)，是將抽象的代數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)閳D形特色，是數(shù)形結(jié)合的表現(xiàn)經(jīng)過圖像可清楚的數(shù)出交點(diǎn)的個(gè)數(shù)（即零點(diǎn)，根的個(gè)數(shù)）也許確立參數(shù)的取值范圍；弊端：數(shù)形結(jié)合能否解題，一方面受制于利用方程所構(gòu)造的

9、函數(shù)（故當(dāng)方程含參時(shí)，平常進(jìn)行參變分別，其目的在于若含x的函數(shù)可作出圖像，那么由于其余一個(gè)只含參數(shù)的圖像為直線，所以便于觀察），另一方面取決于作圖的精確度，所以會(huì)涉及到一個(gè)構(gòu)造函數(shù)的技巧，以及作圖時(shí)速度與精度的均衡IV題型攻略深度發(fā)掘【考試方向】這種試題在觀察題型上，平?；疽赃x擇題或填空題的形式出現(xiàn)，一般難度較小若涉及的函數(shù)為分段函數(shù)，則難度加大【技術(shù)方法】1零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用：若一個(gè)方程有解但沒法直接求出時(shí)，可考慮將方程一邊構(gòu)造為一個(gè)函數(shù)，從而利用零點(diǎn)存在性定理將零點(diǎn)確立在一個(gè)較小的范圍內(nèi)比方：關(guān)于方程lnxx0，沒法直接求出根，構(gòu)造函數(shù)fxlnxx，由f10,f10即可判斷其零點(diǎn)必在1

10、,1中222判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上能否存在零點(diǎn)的方法1）解方程，當(dāng)對(duì)應(yīng)方程易解時(shí)，可經(jīng)過解方程，看方程能否有根落在給定區(qū)間上2）利用零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行判斷；3）畫出函數(shù)圖象，經(jīng)過觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上能否有交點(diǎn)來判斷3斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的常有方法（1）直接法：解方程fx0，方程有幾個(gè)解，函數(shù)fx就有幾個(gè)零點(diǎn)；（2）圖象法：畫出函數(shù)fx的圖象，函數(shù)fx的圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)fx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（3）將函數(shù)fx拆成兩個(gè)常有函數(shù)gx和hx的差，從而fx0gxhx0gxhx，則函數(shù)fx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)ygx與函數(shù)hx的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；（4）二次函數(shù)fxax2bxca0的零點(diǎn)問題主要從三個(gè)方面考慮：

11、4鑒識(shí)式確立零點(diǎn)能否存在；對(duì)稱軸的地址控制零點(diǎn)的地址；端點(diǎn)值的符號(hào)確立零點(diǎn)的個(gè)數(shù)【易錯(cuò)指導(dǎo)】對(duì)函數(shù)零點(diǎn)存在的判斷需要注意以下兩點(diǎn)：（1）函數(shù)fx在a,b上連續(xù)；（2）滿足fafb0上述方法只好求變號(hào)零點(diǎn)，關(guān)于非變號(hào)零點(diǎn)不可以用上述方法求解其余需要注意的是：（1）若函數(shù)fx的圖象在xx0與x軸相切，則零點(diǎn)x0平常稱為不變號(hào)零點(diǎn)；（2）函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn)，它是函yfx數(shù)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是方程fx0的根V貫穿交融觸類旁通【例1】【2018云南昆明一中高三一?！咳艉瘮?shù)fxx，則函數(shù)yfxlog1x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）2A5個(gè)B4個(gè)C3個(gè)D2個(gè)【答案】D【分析】如圖：函數(shù)fx與函數(shù)gxlog1x有2個(gè)交

12、點(diǎn)，所以選D2【例2】【2018河南漯河高中高三上學(xué)期二?！恳阎瘮?shù)是上的偶函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A3B4C5D6【答案】B5【例3】【2018遼寧莊河高中、沈陽二十中高三上學(xué)期第一次聯(lián)考】函數(shù)8sin2xx0fx1xx，f022則函數(shù)hxfxlog4x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A2個(gè)B3個(gè)C4個(gè)D5個(gè)【答案】Dfx1fx214sin2x2sin2x；當(dāng)x3時(shí)，x，據(jù)此可得：222222fx1fx212sin2xsin2x；當(dāng)x5時(shí)，f5sin251，而222444log45log441，則函數(shù)ylog4x與函數(shù)fx在區(qū)間,3上有2個(gè)交點(diǎn)，很明顯，當(dāng)x3時(shí)，422函數(shù)圖象沒有交點(diǎn)，繪制函

13、數(shù)圖象以以下圖，觀察可得：函數(shù)hxfxlog4x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為5個(gè)【名師點(diǎn)睛】函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：（1）直接求零點(diǎn)：令f(x)0，假如能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)（2）零點(diǎn)存在性定理：利用定理不但要函數(shù)在區(qū)間a，b上是連續(xù)不停的曲線，且f(a)f(b)0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確立函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)（3）利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不6同的值，就有幾個(gè)不一樣的零點(diǎn)【例4】【2018貴州黔東南州第一次聯(lián)考】已知函數(shù)x2x9,x0a有兩個(gè)fx4，若方程fxx2,x0不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A

14、5,92,B2,C5,92,D5,92,242424【答案】Cfxx2x9,x0【分析】作出函數(shù)4的圖象以下：x2,x0【名師點(diǎn)睛】方程的根或函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)范圍常用方法和思路1）直接法：直接依據(jù)題設(shè)條件成立關(guān)于參數(shù)的不等式，再經(jīng)過解不等式確立參數(shù)范圍；2）分別參數(shù)法：先將參數(shù)分別，轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠛瘮?shù)值域問題加以解決；3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)分析式變形，在同向來角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，而后數(shù)形結(jié)合求解【例5】【2018黑龍江海林模擬】設(shè)fxx3bx2cxd，又k是一個(gè)常數(shù)，已知k0或k4時(shí)，fxk0只有一個(gè)實(shí)根，當(dāng)0k4時(shí)，fxk0有三個(gè)相異實(shí)根，給出以下命題：fx40和fx0有一個(gè)同樣的實(shí)根；fx

15、0和fx0有一個(gè)同樣的實(shí)根；fx30的任一實(shí)根大于fx10的任一實(shí)根；fx50的任一實(shí)根小于fx20的任一實(shí)根此中正確命題的個(gè)數(shù)為（）A3B2C1D0【答案】A7fxx3bx2cxd，當(dāng)k0或k4時(shí)，fxk0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)0k4時(shí)，fxk0有三個(gè)相異實(shí)根，故函數(shù)即有極大值，又有極小值，且極小值為0，極大值為4，故fx40與fx0有一個(gè)同樣的實(shí)數(shù)根，即極大值點(diǎn)，故（1）正確fx0與fx0有一個(gè)同樣的實(shí)根，即極小值點(diǎn)，故（2）正確；fx30有一實(shí)根且函數(shù)最小的零點(diǎn)，fx10有3個(gè)實(shí)根均大于函數(shù)的最小零點(diǎn)，故（3）錯(cuò)誤；fx50有一實(shí)根且小于函數(shù)最小零點(diǎn)，fx20有三個(gè)實(shí)根均大于函數(shù)最小的零點(diǎn)，

16、故（4）正確；所以A選項(xiàng)正確【點(diǎn)睛】三次函數(shù)圖象時(shí)，要關(guān)注三次函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)，三次函數(shù)的三次項(xiàng)系數(shù)為正，假如有兩個(gè)極值點(diǎn)，那么函數(shù)為先再減最后增，滿足對(duì)k是一個(gè)常數(shù)，當(dāng)k0或k4時(shí)，fxk0只有一個(gè)實(shí)根，當(dāng)0k4時(shí)，fxk0有三個(gè)相異實(shí)根這樣的條件，說明有極小值為0，極大值為4，據(jù)此可畫出函數(shù)的模擬圖像，數(shù)形結(jié)合，逐個(gè)考據(jù)【例6】【2018安徽阜陽臨泉一中高三上學(xué)期二?！恳阎?，若關(guān)于的方程恰好有個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_【答案】8令，則當(dāng)時(shí)，方程有一解；當(dāng)時(shí)，方程有兩解；時(shí)，方程有三解關(guān)于的方程，恰好有4個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，關(guān)于的方程在和上各有一解，解得，故答案為【名師點(diǎn)睛】已知函數(shù)

17、有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路：直接法：直接依據(jù)題設(shè)條件成立關(guān)于參數(shù)的不等式，再經(jīng)過解不等式確立參數(shù)的范圍；分別參數(shù)法：先將參數(shù)分別，轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠛瘮?shù)值域問題加以解決；數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)分析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，而后數(shù)形結(jié)合求解【例7】【2018江蘇南通如皋高三第一次聯(lián)考】已知函數(shù)lnx1，x1fxx若2m5，2xmx，2x18gxfxm有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_【答案】71，4【分析】gxfxm有三個(gè)零點(diǎn)，依據(jù)題意可得x1時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；x1時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)當(dāng)x1時(shí)，fxlnx111x1fx1,，故m1；當(dāng)，fx0恒成立xxx2x2x1時(shí)，fx2x2mx

18、m5，要使得gxfxm有兩個(gè)零點(diǎn)，需滿足289m285m0,82m，解得1m7771,，綜上可得1，故答案為1，4444f12mm5028【例8】【2017江西宜春豐城九中、高安二中、宜春一中、萬載中學(xué)、樟樹中學(xué)、宜豐中學(xué)屆高三六校聯(lián)考】已知函數(shù)fxlnx1|，fxm的四個(gè)零點(diǎn)x1，x2，1111x3，x4，且kx2x3，則x1x4kke的值是_【答案】e2【例9】【2018遼寧莊河高中、沈陽二十中高三上學(xué)期第一次聯(lián)考】已知函數(shù)將的圖象向右平移兩個(gè)單位，獲取函數(shù)的圖象（1）求函數(shù)的分析式；（2）若方程在上有且僅有一個(gè)實(shí)根，求的取值范圍【答案】（1）（2）【分析】試題分析：（1）借助平移的知識(shí)可

19、以直接求出函數(shù)分析式（2）先換元將問題轉(zhuǎn)變?yōu)橛星抑挥幸粋€(gè)根，再運(yùn)用函數(shù)方程思想成立不等式組分析求解（1）（2）設(shè)，則，原方程可化為，于是只須在上有且僅有一個(gè)實(shí)根法1：設(shè)，對(duì)稱軸，則或由得，即，由得無解，則法2：由，得，設(shè)，則，10記，則在上是單調(diào)函數(shù)，由于故要使題設(shè)成立，只須即從而【名師點(diǎn)睛】在解答指數(shù)函數(shù)的綜合題目時(shí)可以采納換元法，轉(zhuǎn)變?yōu)橐辉魏瘮?shù)的問題，依據(jù)題目要求，如需要分類談?wù)?，再加入分類談?wù)摗纠?0】【江蘇揚(yáng)州模擬】設(shè)fxxxa2x(aR)（1）若a2，求fx在區(qū)間0,3上的最大值；（2）若a2，寫出fx的單調(diào)區(qū)間；（3）若存在a2,4，使得方程fxtfa有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，求t

20、的取值范圍【答案】（1）fxmaxf39（2）fx的單調(diào)增區(qū)間為,a2和a,，單調(diào)減區(qū)間2a2,a（3）1t928試題分析：（1）當(dāng)a2時(shí)，fxxx22x=x24x,x2，x2,x2fx在R上為增函數(shù)，fx在0,3上為增函數(shù)，則fxmaxf39（2）fxx22ax,xa，a2，0a2aa2，x22ax,xa當(dāng)xa2，fx在a,為增函數(shù)，a時(shí)，a2當(dāng)xa時(shí)，a2a2a0，即a2a，fx在,a22為增函數(shù)，在a2,a為減2222函數(shù)，則fx的單調(diào)增區(qū)間為,a2和a,，單調(diào)減區(qū)間a2,a22（3）由（2）可知，當(dāng)2a2fx為增函數(shù)，方程不行能有三個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，時(shí)，112當(dāng)2a4時(shí)，由（2）得fat

21、fafa2，2a2ata2，24a2a22a11即1t2有解，由2,4上為增函數(shù)，在2,48a82a在8a2a2當(dāng)a29，則1t94時(shí)，8a的最大值為88【例11】【2018海南中學(xué)、文昌中學(xué)、海口市第一中學(xué)、農(nóng)墾中學(xué)等八校聯(lián)考】設(shè)函數(shù)fx2x33x21,x0，此中a02axex1,x0（1）若直線ym與函數(shù)fx的圖象在0,2上只有一個(gè)交點(diǎn)，求m的取值范圍；（2）若fxa對(duì)xR恒成立，務(wù)實(shí)數(shù)a的取值范圍【答案】（1）1m3或m2；（2）ae,e2令fx0得0 x1，fx遞減，fx在x1處獲得極小值，且極小值為f12，f01，f23，由數(shù)形結(jié)合可得1m3或m2（2）當(dāng)x0時(shí)，fx2ax1ex，a

22、0，令fx0得x1；令fx0得1x0，fx遞加；令fx0得x1，fx遞減，fx在x1處取得極小值，且極小值為f12a1，a0，2a12a12即0aeee0，當(dāng)時(shí)，e2fxminf12，a2，即a2，無解，當(dāng)2a12即ae時(shí)，e2fxmaxf12a1，a2a1，即ae，又ee，aeeee2e22e2綜上，ae,e2【名師點(diǎn)睛】函數(shù)交點(diǎn)問題，研究函數(shù)的單調(diào)性找函數(shù)最值，求參；恒成立求參，關(guān)于分段函數(shù)來講，分段談?wù)撟钪导纯伞咀粉櫨毩?xí)】121【2018江蘇南寧模擬】設(shè)函數(shù)，則零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A3B2C1D0【答案】B【點(diǎn)睛】函數(shù)數(shù)零點(diǎn)問題，常依據(jù)零點(diǎn)存在性定理來判斷，假如函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的

23、圖象是連續(xù)不停的一條曲線，且有f(a)f(b)0，那么，函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c(a，b)使得f(c)0，這個(gè)c也就是方程f(x)0的根2已知函數(shù)f(x)是定義在,00,上的偶函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)2|x1|1,0 x21fx2,x，22則函數(shù)g(x)4f(x)1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A4B6C8D10【答案】D【分析】由fx為偶函數(shù)可得：只需作出正半軸的圖像，再利用對(duì)稱性作另一半圖像即可，當(dāng)x0,2時(shí)，可以利用y2x利用圖像變換作出圖像，x2時(shí)，fx1fx2，即自變量差2個(gè)單位，函數(shù)值折2半，從而可作出2,4，4,6，的圖像，gx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為fx11根的個(gè)數(shù)，即fx與y

24、44的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，觀察圖像在x0時(shí)，有5個(gè)交點(diǎn)，依據(jù)對(duì)稱性可得x0時(shí)，也有5個(gè)交點(diǎn)共計(jì)10個(gè)交點(diǎn)【評(píng)注】（1）fx1fx2近似函數(shù)的周期性，但有一個(gè)倍數(shù)關(guān)系仍舊可以考慮利用周期性的思想，在作2圖時(shí)，以一個(gè)“周期”圖像為基礎(chǔ)，其余各部分依據(jù)倍數(shù)調(diào)整圖像即可；2）周期性函數(shù)作圖時(shí)，若函數(shù)圖像不連續(xù)，則要注意每個(gè)周期的界限值是屬于哪一段周期，在圖像中要正確標(biāo)出，便于數(shù)形結(jié)合；133）奇妙利用fx的奇偶性，可以簡(jiǎn)化解題步驟比方本題中求交點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，只需分析正半軸的狀況，而負(fù)半軸可用對(duì)稱性解決3已知函數(shù)yfx的圖像為R上的一條連續(xù)不停的曲線，當(dāng)x0時(shí)，fxfx0，則關(guān)于x的x函數(shù)gxfx1的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）

25、xA0B1C2D0或2【答案】A【評(píng)注】1）本題由于fx分析式未知，故沒法利用圖像解決，所以依據(jù)條件考慮構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性與零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行解決；（2）所給不等式fxfx0表現(xiàn)出fx輪流求導(dǎo)的特色，猜想可能是切合導(dǎo)數(shù)的乘法法規(guī)，變形xxfx0，而gxxfx相聯(lián)系，從而構(gòu)后可得的零點(diǎn)問題可利用方程進(jìn)行變形，從而與條件中的x造出hx4定義域?yàn)镽的偶函數(shù)fx滿足對(duì)xR，有fx2fxf1，且當(dāng)x2,3時(shí)，fx2x212x18，若函數(shù)yfxlogax1在0,上最罕有三個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（）A0,2B3C5D60,0,0,2356【答案】B14【評(píng)注】本題有以下幾個(gè)亮點(diǎn)：（1）fx的周期性的判斷

26、：fx2fxf1可猜想與fx周期性有關(guān)，可帶入特別值，解出1，從而判斷周期，配合對(duì)稱性作圖；（2）在選擇出交點(diǎn)的函數(shù)時(shí)，若要數(shù)形結(jié)合，則要選擇可以做出圖像的函數(shù)，比方在本題中，fx的圖像可做，且ylogax1可經(jīng)過圖像變換做出5已知定義在R上的函數(shù)fx滿足fx2fx，當(dāng)x1,3時(shí)，f1x2,x1,1，此中t0，若方程3fxx恰有三個(gè)不一樣的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)t的取值xx2,xt11,3范圍是（）A0,4B2,2C4,3D2,3333【答案】B15f6g6f(6)f(2)t22，即2t2f2g2f(2)t336【2018廣東廣州模擬】已知函數(shù)1x1,x1,2xfx2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)fx2則函數(shù)gxx4x2

27、,x，1為個(gè)【答案】2【分析】gx2xfx2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即是方程fx2的根的個(gè)數(shù)，也就是yfx與y22x2x的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，分別作出yfx與y2的圖象，以以下圖，由圖象知yfx2的圖2x與y2x象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)gx有2個(gè)零點(diǎn)y4321-7-6-5-4-3-2-1O1234567x-1-2-3-47【2018全國名校第二次大聯(lián)考】函數(shù)fx有4個(gè)零點(diǎn)，其圖象以以下圖，和圖象切合的函數(shù)分析式是（）16AfxsinxlgxBfxsinxlgxCfxsinxlgxDfxsinxlgx【答案】D得解：本函數(shù)圖象的交點(diǎn)、函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根常常是“知一求二”，解答時(shí)要先判斷哪個(gè)好求解就轉(zhuǎn)化為哪個(gè)，判

28、斷函數(shù)yfx零點(diǎn)個(gè)數(shù)的常用方法：（1）直接法：令fx0,則方程實(shí)根的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)；（2）零點(diǎn)存在性定理法：判斷函數(shù)在區(qū)間a,b上是連續(xù)不停的曲線，且fafb0,再結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性)可確立函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（3）數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)變?yōu)閮蓚€(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，在一個(gè)區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)，在確立函數(shù)零點(diǎn)的獨(dú)一性時(shí)常常要利用函數(shù)的單調(diào)性，確立函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間主要利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理，有時(shí)可結(jié)合函數(shù)的圖象輔助解題8【2018四川綿陽高三第一次診斷性考試】函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，若函數(shù)的圖象與

29、函數(shù)（，且）的圖象有且僅有4個(gè)交點(diǎn)，則的取值會(huì)集為（）ABCD【答案】C【分析】由于函數(shù)滿足，所以函數(shù)的周期為又在一個(gè)周期內(nèi)，函數(shù)分析式為，所以可作出函數(shù)圖象，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作函數(shù)的圖象，要使兩個(gè)函數(shù)圖象有且僅有四個(gè)交點(diǎn)，只需，所以，應(yīng)選C9【2018安徽十大名校高三11月聯(lián)考】若函數(shù)fxsinxx,x1有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m39x224xm,xx1的取值范圍是（）A16,20B20,16C,2016,D,1620,【答案】B【分析】當(dāng)x1時(shí)，fxcosx10恒成立，又f00，17則函數(shù)fx在,1上有且只有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)fx3x218x243x2x4，則函數(shù)fx在1,2上單調(diào)遞加，在2

30、,4上單調(diào)遞減，在4,上單調(diào)遞加，所以此時(shí)函數(shù)fx的極大值為f22m，極小值為f416mf1，要使得fx有4個(gè)零點(diǎn)，則16m0，解得20m16，應(yīng)選B20m0【名師點(diǎn)睛】本題主要觀察了依據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)求解參數(shù)的取值范圍問題，此中解答中涉及到利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值等知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，側(cè)重觀察了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)變與化歸思想的應(yīng)用，解答中把函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)的圖象與x的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，利用函數(shù)的極值求解是解答的要點(diǎn)，試題有必定的難度，屬于中檔試題10【2018江蘇淮安盱眙中學(xué)高三第一次學(xué)情調(diào)研】已知函數(shù)fx2x2m的圖象與函數(shù)gxlnx的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_

31、【答案】,1ln221上個(gè)遞加，由1hx2x2mlnx1上個(gè)遞減，所以函+hx4x0可得函數(shù)在02，x，221，令h1數(shù)hx2x2mlnx最小值為h121mln0，可得m1ln2，此時(shí)函22222數(shù)hx2x2mlnx有兩個(gè)零點(diǎn)，故函數(shù)fx2x2m的圖象與函數(shù)gxlnx的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，實(shí)數(shù)m的取值范圍為,1ln2，故答案為,1ln222【方法點(diǎn)睛】本題主要觀察函數(shù)圖象的交點(diǎn)、函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根，屬于難題函數(shù)圖象的交點(diǎn)、函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根常常是“知一求二”，解答時(shí)要先判斷哪個(gè)好求解就轉(zhuǎn)變?yōu)槟膫€(gè)，判斷函數(shù)yfx零點(diǎn)個(gè)數(shù)的常用方法：（1）直接法：令fx0,則方程實(shí)根的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)；（2）

32、零點(diǎn)存在性定理法：判斷函數(shù)在區(qū)間a,b上是連續(xù)不停的曲線，且fafb0,再結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性)可確立函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（3）數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)變?yōu)閮蓚€(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，在一個(gè)區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)在該區(qū)間18內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)，在確立函數(shù)零點(diǎn)的獨(dú)一性時(shí)常常要利用函數(shù)的單調(diào)性，確立函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間主要利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理，有時(shí)可結(jié)合函數(shù)的圖象輔助解題11,0 x19月結(jié)合質(zhì)量檢測(cè)】已知fxfx11【2018安徽滁州高三1，若方程x,1x0fxax2a0a0有獨(dú)一解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_【答案】1,31由圖可知：

33、a3【名師點(diǎn)睛】依據(jù)函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)取值，也是高考常常涉及的要點(diǎn)問題，1）利用零點(diǎn)存在的判判定理成立不等式求解；2）分別參數(shù)后轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)的值域（最值）問題求解，假如涉及由幾個(gè)零點(diǎn)時(shí)，還需考慮函數(shù)的圖象與參數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；3）轉(zhuǎn)變?yōu)閮墒炝?xí)的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題，從而成立不等式求解12【2018遼寧莊河高中、沈陽二十中高三上學(xué)期第一次聯(lián)考】已知函數(shù)fx2xaaR將xx19yfx的圖象向右平移兩個(gè)單位，獲取函數(shù)ygx的圖象（1）求函數(shù)ygx的分析式；（2）若方程fxa在x0,1上有且僅有一個(gè)實(shí)根，求a的取值范圍【答案】（1）gx2x2a（2）1a42x223（1）gx2x2a（2）設(shè)2xt，則t1,2，原方程可化為t2ata0，于是只須t2ata02x2在t1,