立體幾何(空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征)

1、立體幾何第一講：空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征一基礎(chǔ)知識(shí)1多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺(tái)圖形AABaa結(jié)構(gòu)特征有兩個(gè)面互相平行且全等，其余各面都是平行四邊形.每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形的多面體用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分側(cè)棱平行且相等相交于一點(diǎn)但不一定相等延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形2.旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征3.三視圖與直觀圖名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球圖形貞1母線互相平行且相等，垂直于底面相交于一點(diǎn)延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)軸截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圓側(cè)面展開圖矩形扇形扇環(huán)三視圖畫法規(guī)則：長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬

2、相等直觀圖斜二測(cè)畫法：(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中x軸、/軸的夾角為45或135,z軸與x軸和/軸所在平面垂直.(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段在直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸，平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變,平行于y軸的線段在直觀圖中長(zhǎng)度為原來(lái)的一半.二經(jīng)典案例Br案例一：直觀圖畫法（斜二測(cè)畫法）如圖，直觀圖所表示的平面圖形是（）A.正三角形B.銳角三角形CTXC.鈍角三角形D.直角三角形則直觀圖ABCD的面積S=竽舞=瑕解析由直觀圖中,AC心軸，BC軸，還原后ACy軸，BCx軸.所以ABC是直角三角形故選D.已知等腰梯形ABCD，上底CD=1,腰AD=CB卩，下

3、底AB=3,以下底所在直線為x軸,則由斜二測(cè)畫法畫出的直觀圖ABCD的面積為解析如圖所示，作出等腰梯形ABCD的直觀圖.因?yàn)镺E=JGj9）21=1,所以O(shè)E=2，EF=，案例二：三視圖的識(shí)別（2018全國(guó)III）中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來(lái).構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼,圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是（）解析由題意可知帶卯眼的木構(gòu)件的直觀圖如圖所示，由直觀圖可知其俯視圖應(yīng)選A.(2019合肥質(zhì)檢)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱AQ的中點(diǎn)，用過點(diǎn)A,C,E的平面截正方體，則位于截

4、面以下部分的幾何體的側(cè)視圖為()得的截面，據(jù)此可得位于截面以下部分的幾何體的側(cè)視圖如選項(xiàng)A所示.x（2018濟(jì)南模擬）如圖，在正方體ABCD-ABC1D1中，P為BD、的中點(diǎn)，則APAC在該正方體各個(gè)面上的正投影可能是（）A.解析P點(diǎn)在上下底面投影落在AC或A1C1上，所以PAC在上底面或下底面的投影為，在前、后面以及左、右面的投影為.在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O初z中，一個(gè)四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是（0，0，2），（2,2,0）,（1，2,1），（2,2,2）給出編號(hào)為，的四個(gè)圖，貝U該四面體的正視圖和俯視圖分別為（）2圖圖圖圖A和B和C和D和解析在坐標(biāo)系中標(biāo)出已知的四個(gè)點(diǎn)，根據(jù)三視圖的畫圖規(guī)則

5、判斷三棱錐的正視圖為，俯視圖為，D正確.案例三：三視圖中的幾何體識(shí)別某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中,直角三角形的個(gè)數(shù)為（）A.1B.2C.3D.4解析在正方體中作出該幾何體的直觀圖，記為四棱錐PABCD,如圖，由圖可知在此四棱錐的側(cè)面中，任視圖側(cè)桃圖俯視圖直角三角形的個(gè)數(shù)為3,分別是PAD，PCD，PAB.（2019西安模擬）某幾何體的三視圖如圖所示，那么這個(gè)幾何體是（）A三棱錐B四棱錐C四棱臺(tái)D三棱臺(tái)側(cè)視圖俯視圖（2019廣州調(diào)研）某幾何體的正視圖和俯視圖如圖所示，在下列圖形中，可能是該幾何體側(cè)視圖的圖形是（寫出所有可能的序號(hào)）.正視圖俯視圖解析如圖a三棱錐CABD,正視圖與俯

6、視圖符合題意，側(cè)視圖為;如圖b四棱錐PABCD，正視圖與俯視圖符合題意，側(cè)視圖為;如圖c三棱錐PBCD，正視圖與俯視圖符合題意，側(cè)視圖為.c案例四：三視圖中的幾何體的應(yīng)用某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體中最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為（A33B26Cj21D2、5解析由三視圖得，該幾何體為四棱錐PABCD，如圖所示.側(cè)面PAB丄底面ABCD，底面ABCD為矩形，過點(diǎn)P作PE丄AB,垂足為點(diǎn)E,則AE=1，BE=2,AD=2，PE=4，則該幾何體中最長(zhǎng)的棱為PC二j42+22+22=2、/6,故選B.某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長(zhǎng)為2,俯視圖為等腰直

7、角三角形，該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為（）A.10B.12C.14D.16解析由三視圖可畫出幾何體的直觀圖，該多面體中只有兩個(gè)相同的梯形的面，由于S=；X(2+4)X2=6,所以這些梯形的面積之和為S=6X2=12.梯形2全梯如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為A.8+3nB.8+4nC.8+5nD.8+6n解析由題圖可知，該幾何體為半圓柱挖去半球體后的幾何體，n4n其表面積為2X2X4+n+2X4兀+三=8+6n.（2019浙江卷）祖暅?zhǔn)俏覈?guó)南北朝時(shí)代的偉大科學(xué)家，他提出的“冪勢(shì)既同，則積不容異”稱為祖暅原理，利用該原

8、理可以得到柱體的體積公式r柱體=恥其中s是柱體的底面積，h是柱體的高若某柱體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該柱體的體積（單位：。皿3）是（）A.158B.162C.182D.3241正視圖6解析由三視圖可知，該柱體是一個(gè)直五棱柱，如圖，棱柱的髙為6,底面可以看作由兩個(gè)直角梯形組合而成,其中一個(gè)上底為4,下底為6,髙為3,另一個(gè)的上底為2,下底為6,髙為3.則底面面積S=X3+X3=27.因此，該柱體的體積V=27X6=162.三練習(xí)(課后作業(yè))i.如圖，在一個(gè)正方體內(nèi)放入兩個(gè)半徑不相等的球q,o2,這兩個(gè)球外切，且球q與正方體共頂點(diǎn)力的三個(gè)面相式產(chǎn)生質(zhì)疑，為了證實(shí)自己的猜測(cè)，他引入了一種新

9、的幾何體“牟合方蓋”：以正方體相鄰的兩個(gè)側(cè)面為底做兩次內(nèi)切圓柱切割，然后剔除外部，剩下的內(nèi)核部分如果“牟合方蓋”的正視圖和側(cè)視圖都是圓，則其俯視圖的形狀為()正視圖3.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖中的虛線部分是（）A.圓弧B.拋物線的一部分C.橢圓的一部分D.雙曲線的一部分4.如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)P是上底面A.B.C.D.內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐P_ABC的正視圖與側(cè)視圖的面積的比值為5.如上右圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長(zhǎng)的棱的長(zhǎng)度為（）A6J2B.4護(hù)C.6D.46.（2015全國(guó)II卷）一個(gè)正方

10、體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如右圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為（）111D.5正視圖側(cè)視圖俯視圖7.（2017石家莊質(zhì)檢）一個(gè)三棱錐的正視圖和俯視圖如圖所示，則該三棱錐的側(cè)視圖可能為（）ABA.gB.78.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體任意兩個(gè)頂點(diǎn)間距離的最大值是（）C3辭D3.J3A.4B.5四參考答案1.解析由題意可以判斷出兩球在正方體的面上的正投影與正方形相切由于兩球球心連線AB】與面ACC1A1不平行,故兩球球心射影所連線段的長(zhǎng)度小于兩球半徑的和，即兩個(gè)投影圓相交，即為圖B.2.解析由題意得在正方體內(nèi)做兩次內(nèi)切圓柱切割，得到的幾何體的直觀圖如圖所示，由圖易得其俯視圖為B,故3.解析根據(jù)幾何體的三視圖，可得側(cè)視圖中的虛線部分是由平行于旋轉(zhuǎn)軸的平面截圓錐所得，故側(cè)視圖中的虛線部分是雙曲線的一部分，故選D.解析如題圖所示，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為q,則三棱錐PABC的正視圖與側(cè)視圖都是三角形，且面積都是；Q2,故面積的比值為1.解析如圖，設(shè)輔助正方體的棱長(zhǎng)為4,三視圖對(duì)應(yīng)的多面體為三棱錐ABCD,最長(zhǎng)的棱為AD=J（4述）2+22=6.解析由已知三視圖知該幾何體是由一個(gè)正方體截去了一個(gè)“大角”后剩余的部分，如圖所