同濟(jì)大學(xué)彈塑性力學(xué)試卷及習(xí)題解答

1、彈塑性力學(xué)試卷及習(xí)題解答彈塑性力學(xué)試卷配套教材彈性與塑性力學(xué)陳惠發(fā)1.是非題(認(rèn)為該題正確，在括號(hào)中打，；該題錯(cuò)誤，在括號(hào)中打X。)(每小題2分) TOC o 1-5 h z (1)物體內(nèi)某點(diǎn)應(yīng)變?yōu)?0值，則該點(diǎn)的位移也必為 0值。()(2)可用矩陣描述的物理量，均可采用張量形式表述。()(3)因張量的分量是隨坐標(biāo)系的變化而變化，故張量本身也應(yīng)隨坐標(biāo)系變化。()(4)彈性的應(yīng)力和應(yīng)變張量?jī)烧叩闹鞣较蚴且恢滦?，與材料無關(guān)的。()(5)對(duì)于常體力平面問題，若應(yīng)力函數(shù)x, y滿足雙調(diào)和方程2 20,那么，由 x, y確定的應(yīng)力分量必然滿足平衡微分方程。()(6)若某材料在彈性階段呈各向同性，故其彈塑

2、性狀態(tài)勢(shì)必也呈各向同性。()(7) Drucker假設(shè)適合于任何性質(zhì)的材料。()(8)應(yīng)變協(xié)調(diào)方程的幾何意義是：物體在變形前是連續(xù)的，變形后也是連續(xù)的。( )(9)對(duì)于任何材料，塑性應(yīng)變?cè)隽烤刂?dāng)前加載面的法線方向。()(10)塑性應(yīng)變?cè)隽康闹鞣较蚺c應(yīng)力增量的主方向不重合。P107; 226()2.填空題(在每題的橫線上填寫必要的詞語，以使該題句意完整。)(每小題2分)42 24(1)設(shè) x, y ax a?x y a3y ,當(dāng) a1，a2, a3滿足 關(guān)系時(shí)x, y能作為應(yīng)力函數(shù)。(2)彈塑性力學(xué)是研究固體受外界因素作用而產(chǎn)生的 的一門學(xué)科。(3)導(dǎo)致后繼屈曲面出現(xiàn)平移及擴(kuò)大的主要原因是材

3、料 。(4)兀平面上的一點(diǎn)對(duì)應(yīng)于應(yīng)力的失量的 。 P65(5)隨動(dòng)強(qiáng)化后繼屈服面的主要特征為： 。(6)主應(yīng)力軸和主應(yīng)變軸總是重合的材料為 。 P107(7)相對(duì)位移張量 j通常 對(duì)稱的，對(duì)于小變形問題由此引起的位移含 。 P7s 76(8)若f j j k 0,請(qǐng)分別簡(jiǎn)述j,k,的真正含義及對(duì)應(yīng)的強(qiáng)化描述： OP236238精選3.選擇題（分別為3, 3, 4分）(1)對(duì)不可壓縮的彈性體，有性質(zhì)（)。P104(2)(3)A.x y z 0 且 0.5C.x y z0 且 x y z 0在與三個(gè)應(yīng)力主軸成相同角度的斜面上，正應(yīng)力C.1B.D.D.z 0 且=0.5)。P41; 50; 53倘若

4、將塑性功增量表述為dWDpedp,則其有效應(yīng)力e和有效應(yīng)變d p應(yīng)分別為pA.C.P227、 228; 239241;B.曲;&,j|d ijpd ijpD.4.計(jì)算分析題1.現(xiàn)已知一點(diǎn)的應(yīng)力張量為3212 . 212 . 212、21145412.25一 。(14 分)P70習(xí)題 2.24114求：（1）主應(yīng)力及其主方向;P43、44（2）應(yīng)力不變量的|1、I2 和 I3 ； P41（3）八面體正應(yīng)力與剪應(yīng)力。P50、51（應(yīng)力單位）精選182G8成立。(10分).證明在彈性應(yīng)力狀態(tài)下，式P50; 83; 103;.習(xí)題5.1所示結(jié)構(gòu)由4根橫截面均為 A/4的豎直桿和一根水平剛性梁組成，豎桿

5、為理想 彈塑性材料，桿1的屈服應(yīng)力為 01,桿2的屈服應(yīng)力為02 ,設(shè)各桿材料常數(shù)E相同，并設(shè) 0201 ,試求P192習(xí)題5.1(a)在單調(diào)加載下的彈性極限荷載Pd ,各桿均進(jìn)入塑性時(shí)的最大荷載Pp,相應(yīng)于Pd的鉛垂變形Ue和相應(yīng)于Pp的鉛垂變形Up。(b)若各豎桿的應(yīng)變u/L達(dá)到2 02 / E后卸載，確定當(dāng)P完全卸去后和豎桿的殘余應(yīng)力和 殘余應(yīng)變。P177例 5.2.在簡(jiǎn)單拉伸試驗(yàn)中材料的應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系為其中，0 200MPa為初始屈服應(yīng)力，材料常數(shù) E 200000MPa,就下面兩種情況，求 先施應(yīng)變至p 0.002時(shí)逆向加載的應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系。(a)隨動(dòng)強(qiáng)化；(b)各向同性強(qiáng)化。P18

6、6例 5.3精選2.1 計(jì)算：（1）答案（1）答案（2）解：（3）本教材習(xí)題和參考答案及部分習(xí)題解答弟早pi iq qj jk , (2) epqi ejk Ajk , (3)pi iq qj jk pk ；epqi eijk AjkApqAqp ；ejp ekip Bki Bij ( ik ji iijk) Bki Bij加 ap Bki BjoBii Bjj Bji Bij o2.2證明：若（需證明）aij a ji ,貝U ejk ajk 0 。2.3 設(shè) a、b和c是三個(gè)矢量，試證明:證：因?yàn)樗詀,b,c2aibacaia2a3aibbbcbib2b3a2cbcccic2c3a3bb

7、2b3cic2a a abacaia? a3a1blgdet biaibbb c det( bib? b a2 bz c2ca cbcccic2 c3 a3 b3 c3a a a b a ca aa biaiGaia2a3aibicib a b b b cb a bb bi cbib2b3a2b2c2c a c b c cc a cbi ggcic2c3a3b3c3caic和d是四個(gè)矢量，證明:2.4 設(shè) a、cia2a3b3a2a3(a b) (c d) (a c)(b d) (a d)(b c) 證明：(a b) (c d)2.5設(shè)有矢量u ue標(biāo)系中的分量。原坐標(biāo)系繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)答案:Uiu

8、icosU2sinbicib3U2ui sinu 2 cosu3u3 o2.6設(shè)有二階張量T2a,b,c。角度，得到新坐標(biāo)系，如圖所示。試求矢量u在新坐2.4Tei ej。當(dāng)作和上題相同的坐標(biāo)變換時(shí)，試求張量T在新坐標(biāo)系中的分量 Ti、Ti2、Ti3 和 T33。提示：坐標(biāo)變換系數(shù)與上題相同 答案：精選TiiT12Ti3T33Ti T222T 2 T212T 3 cosT33 。Tn T22 cos2Ti 2 T2 1 cos2T23sinTi 2 Tai sin22T22sin2設(shè)有3n個(gè)數(shù)Aii2in ,對(duì)任意m階張量Bjij2 jm ,定義Ci1i2inj1j2 jm Aii2 in B

9、ji j2 jm若Ciii2 injij2 jm為門m階張量，試證明 Aii2 in是門階張量 證：為書寫簡(jiǎn)單起見，取 n 2 , m 2 ,則設(shè)A為二階張量，試證明I A trA o證：設(shè)a為矢量，A為二階張量，試證明：a A(AT a)T , A a (a AT)T證：(i)(AT a)T(Ajie ej akek)T(Ajieakejknen)T(Aji ak ejkn ei en)，Ajn ak ejki eienakek Ajnej en a A 證：(2) (a AT)T已知張量t具有矩陣 TOC o 1-5 h z 23T456789求T的對(duì)稱和反對(duì)稱部分及反對(duì)稱部分的軸向矢量。

10、解：2.ii已知二階張量T的矩陣為3 i 0T i 3 0 00 i求T的特征值和特征矢量。解：求下列兩個(gè)二階張量的特征值和特征矢量：A I mm,Bmnnm其中， 和 是實(shí)數(shù)，m和n是兩個(gè)相互垂直的單位矢量。解：因?yàn)锳 m ( I m m) m ( )m ,所以m是A的特征矢量，是和其對(duì)應(yīng)的特征值。設(shè) a是和m垂直的任意單位矢量，則有A a ( I m m)a a所以和m垂直的任意單位矢量都是 A的特征矢量，相應(yīng)的特征值為 ，顯然 是特征方程的重根。則有-2-(e2+e3)(e2 +e3)上面定義的ei是相互垂直的單位矢量。張量 B可以表示成精選B 0ei ei e2 e2 +e3 e所以，

11、三個(gè)特征值是i、0和i,對(duì)應(yīng)的特征矢量是 e3、ei和金。設(shè)a和b是矢量，證明:(a)( a)2a(2) (a b) b ( a) a ( b) a( b) b( a)證：(2)1 ,設(shè)a x2yzei 2xz3e2 xz2e3,求 w -(aa)及其軸向矢量。解：w ：(aa)ei(x2z 2z3)ei e2 (x2y z2)ei e3 (2z3 x2z)e222226xz e2 e3 (z x y)e3 ei 6xz e3 e2 由上式很容易得到軸向矢量，也可以按下面的方法計(jì)算軸向矢量w | a g6xz2e (x2y z2)e2 (2z3 x2z)e。設(shè)S是一閉曲面，r是從原點(diǎn)O到任意一

12、點(diǎn)的矢徑，試證明：若原點(diǎn)O在S的外面，積分 n-dS 0；r3S若原點(diǎn)O在S的內(nèi)部，積分 UdS 4 r3S證：(i)當(dāng)r 0時(shí)，有2.I6隼)至華)0因?yàn)樵c(diǎn)在S的外面，上式在S所圍的區(qū)域V中處處成立，所以由高斯公式得(b)，r、 ._()dv 0。V r3(2)因?yàn)樵c(diǎn)在S的內(nèi)部，所以必定存在一個(gè)以原點(diǎn)為球心、半徑為 a的球面S完全在S的內(nèi)部。用V表示由等dSSS r3即S在S上，SS設(shè) f yeiS和S所圍的區(qū)域，在 V中式(b)成立，所以n4dSs r3sSa , n(x 2xz)e2r()dV 0 r3Vr/a ,于是dS dSSa2a2Sxye3,試計(jì)算積分( f) ndS。式中S

13、是球面x2 y2 z2 a2在xyS平面的上面部分.解：用c表不圓x2 y2(f) ndS 蜓 drSca2,即球面x2 y2 z2 a2和xy平面的交線。由Stokes公式得ydx xdy 0。c精選AfV*弟二早3.1設(shè)r是矢徑、u是位移，% rU。求d%并證明：當(dāng)Uidrii,j=1時(shí) d%是一個(gè)可逆的二階張量。 dr解：照d dr drdu .I u drd% I U的行列式就是書中的式(3.2),當(dāng)Ui,j = 1時(shí)，這一行列式大于零，所以d%可逆。 TOC o 1-5 h z dr5 dr設(shè)位移場(chǎng)為u Ar,這里的A是二階常張量，即 A和r無關(guān)。求應(yīng)變張量 ”反對(duì)稱張量Q (u u

14、)/2及其軸向矢量 。11解：u A , 12(A AT) , 2 12(A AT),1 一 uei Ajkej ek xe2Xi3.312 Ajk ejm em設(shè)位移場(chǎng)為u A(1)變形前的直線在變形后仍為直線；(2)變形前的平面在變形后仍然是一個(gè)平面;1八1 Aek ii e Ajk ejm em ki Ajiejmem22r ,這里的A是二階常張量，且ui,j = 1 o請(qǐng)證明:(3)變形前的兩個(gè)平行平面在變形后仍為兩個(gè)平行的平面。證：(1)方向和矢量a相同且過矢徑為b的點(diǎn)的直線方程可以寫成r ta 小(1)其中t是可變的參數(shù)。變形后的矢徑為% r u r Ar (I A) r(2)用I

15、 A點(diǎn)積式(1)的兩邊，并利用式(2),得% t(I A) a (I A) r0上式也是直線方程，所表小的直線和矢量(I A) a平行，過矢徑為(I A) s的點(diǎn)。所以變形前的直線變形后仍然是直線。(2)因?yàn)閡i,j = 1,所以I A可逆。記B (I A) 1 ,則 TOC o 1-5 h z r (I A) 1 % B %(3)變形前任意一個(gè)平面的方程可以表示成a r c( 4)其中a是和平面垂直的一個(gè)常矢量，c是常數(shù)。將式(3)代入式(4),得(a B) % c(5)上式表示的是和矢量 a B垂直的平面。所以變形前的平面在變形后仍然是平面。變形前兩個(gè)平行的平面可以表示成a r ci ,

16、a r c2變形后變成(a B) % Ci , (a B) % c2仍是兩個(gè)平行的平面。在某點(diǎn)附近，若能確定任意微線段的長(zhǎng)度變化，試問是否能確定任意兩條微線段之間夾角的變化；反 之，若能確定某點(diǎn)附近任意兩條微線段之間的夾角變化，試問能否確定任意微線段的長(zhǎng)度變化。 答案:能；能。設(shè)位移場(chǎng)為u A r ,其中A是二階常張量，n和m是兩個(gè)單位矢量，它們之間的夾角為。求變形后的減小量。答案：n (A AT) m ctg (n A n m A m)。sin設(shè)n和m是兩個(gè)單位矢量，dr ndr和r m r是兩個(gè)微小的矢量，變形前它們所張的平行四邊形面積為A dr r ,試用應(yīng)變張量把變形時(shí)它的面積變化率A

17、/A表示出來，其中A是面積變形前后的改變量。精選解：變形后，dr和r變成dr% dr edr w dr ,% r e r 3 r對(duì)上面兩式進(jìn)行叉積，并略去高階小量，得d% % dr r dr e r dr r對(duì)上式兩邊進(jìn)行自身點(diǎn)積，略去高階小量，得(dr% %(d% %(dr r) (dr r) 2(dr e r) (dr r) 2(dr r) (dr r) (a) 注意到(dr% r%(d% % (A A)2 A2 2( A)A(dr r) (dr r) A2所以，從式(a)可得A (dr r) (dr r) (dr r) (dr r)A(dr r) (dr r)(n m) (n m) (n

18、 m) (n m)(n m) (n m)利用習(xí)題2.4中的等式，上式也可寫成A n en 2(n em)(n m) m emA1 (n m)2求在新坐設(shè)在一個(gè)確定的坐標(biāo)系中的應(yīng)變分量為ij ,讓坐標(biāo)系繞Z軸轉(zhuǎn)動(dòng) 角，得一個(gè)新的坐標(biāo)系,標(biāo)系中的應(yīng)變分量。答案：-ycos22xy sin2y2-x ycos22xysin2xy-sin2xyCOS2xzCOS3.8在Oxy平面上,yzSin ,Oa、 Ob、y z xz sin yz csOc和x軸正方向之間的夾角分別為z0、60、120,3.9所示,這三個(gè)方向的正應(yīng)變分別為 答案：a、 b和c。求平面上任意方向的相對(duì)伸長(zhǎng)度33( b c)sin2

19、2 cos233.9試說明下列應(yīng)變分量是否可能發(fā)生:一 2一 2x axy2, y ax2 y,yz ay2 bz2 , 其中a和b為常數(shù)。 解：xz ax2z axy , by2,xy 0n。3.10 確定常數(shù) A。，A, B。，B, C。，Ci ,xAA(x2y2)x4y4,yB0Bi(x2y2)x4y4,xy C0 Cixy(x2 y2 C2), z zx zy 0 0C2之間的關(guān)系，使下列應(yīng)變分量滿足協(xié)調(diào)方程解:精選若物體的變形是均勻的，即應(yīng)變張量和空間位置無關(guān)，試寫出位移的一般表達(dá)式, 解：(由于應(yīng)變張量 和空間位置無關(guān)，所以書中的式 (3.36a)簡(jiǎn)化成)yzc是常量，求位移的一般

20、表達(dá)式。342 設(shè) x ax, y by , z cz, xy 解：第四章已知物體內(nèi)一點(diǎn)的六個(gè)應(yīng)力分量為：x 50a, y 0, z 30a, yz試求法線方向余弦為ni 1, n2 4 , n3 答案：總應(yīng)力 T JT2 T22 T32 111.8a o正應(yīng)力 n Tn 26.04a。剪應(yīng)力n 6I 108.7a o過某點(diǎn)有兩個(gè)面，它們的法向單位矢量分別為證 T1 m T2 n。證：(利用應(yīng)力張量的對(duì)稱性)75a , zx 80a, xy 50a心的微分面上的總應(yīng)力 T、正應(yīng)力 n和剪應(yīng)力nn和m ,在這兩個(gè)面上的應(yīng)力矢量分別為Ti和T2,試4.3某點(diǎn)的應(yīng)力張量為 xxyxzyxyyzzxz

21、yz且已知經(jīng)過該點(diǎn)的某一平面上的應(yīng)力矢量為零，求y及該平面的單位法向矢量。解：設(shè)要求的單位法向矢量為ni ,則按題意有ij nj 0即n2 2n3 0, n1yn2 n3 0 , 2rn n2 0(a)上面第二式的兩倍減去第一式和第三式，得(2 y 2)n2 0上式有兩個(gè)解：n2 0或y 1。若n2 0 ,則代入式(a)中的三個(gè)式子，可得 ni 巾0 ,這是不可能的。所以必有y 1。將y 1代入式(a),利用nni 1 ,可求得22 3J64.4基礎(chǔ)的懸臂伸出部分具有三角柱體形狀，見圖4.8 ,下部受均勻壓力作用，斜面自由，試驗(yàn)證應(yīng)力分量y xyxA(arctg-;C)xx2y2 HYPERL

22、INK l bookmark47 o Current Document yA(arctgy3 2B)xx2y2精選y圖4.8z yz xz 0 , xyA-g -x2 v滿足平衡方程，并根據(jù)面力邊界條件確定常數(shù)A、B和C。解：將題中的應(yīng)力分量代入平衡方程，可知它們滿足平衡方程。在y 0的邊界上，有邊界條件(y)y 0 q , 所給的應(yīng)力分量AB q在上斜面上，有(xy)y 0 0 xy自動(dòng)滿足上面的第二個(gè)條件。將y的表達(dá)式代入上面的第一個(gè)條件,(1)y xtg ,所以斜面上的應(yīng)力分量可以簡(jiǎn)化成x A( sincos C),xy Asin2z yzxzx A(0sincosB),斜面上的外法向方

23、向余弦為nisin , n2cos將式(2)和(3)代入邊界條件n3ijnjA(sincos ) AB cos聯(lián)立求解(1)和(4),得4.5A -, B tgtg圖4.9表示一三角形水壩，x ax by, y cx已求得應(yīng)力分量為dy, z 0,yz xz 0 , xy dx ay x和1分別是壩身和水的比重。求常數(shù) 量滿足邊界條件。解：在x 0的邊界上，有邊界條件(x)x0 iy, (xy)x0將題中的應(yīng)力分量代入上面兩式，可解得:在左側(cè)的余面上，x ytg ,外法向方向余弦為使上述應(yīng)力分0 ,可解得：dictg2n1 cos , n2 sin , % 0把應(yīng)力分量和上面得到的有關(guān)結(jié)果代入邊界條件c ctg (2 1ctg2 )。4.6物體的表面由f(x,y,z) 0確定，沿物體表面作用著與其外法向一致的分布載荷p(x,y,z),試寫出其邊界條件。解：物體表面上任意一點(diǎn)的外法向單位矢量為按題意，邊界條件為