量子力學(xué)期末復(fù)習(xí)題

1、量子力學(xué)期末復(fù)習(xí)題 /30 /30填空題1玻爾-索末菲的量子化條件為：Jpdq二nh,（n=l,2,3,）,23h您P二牙二k。h用來解釋光電效應(yīng)的愛因斯坦公式為：2mV2二hAj德布羅意關(guān)系為：E二hy二4波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋：”（r，t）|2代表t時(shí)刻，粒子在空間r處單位體積中出現(xiàn)的概率，又稱為概率密度。這是量子力學(xué)的基本原理之一。波函數(shù)在某一時(shí)刻在空間的強(qiáng)度，即其振幅絕對(duì)值的平方與在這一點(diǎn)找到粒子的幾率成正比，和粒子聯(lián)系的波是概率波。5.波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件為：連續(xù)性，有限性，單值性。6，丄為單位矩陣，則算符衛(wèi)的本征值為：蘭1。7力學(xué)量算符應(yīng)滿足的兩個(gè)性質(zhì)是實(shí)數(shù)性和正交完備性8厄密算符的本征函數(shù)

2、具有：正交性，它們可以組成正交歸一性。即di=5或。mnmn入入9.設(shè)0為歸一化的動(dòng)量表象下的波函數(shù)，則的物理意義為:表示在屮（r，t）所描寫的態(tài)中測(cè)量粒子動(dòng)量所得結(jié)果在PP+dp范圍內(nèi)的幾率。10.認(rèn)0。11.h如兩力學(xué)量算符卄C方F、且占有共同本征函數(shù)完全系，貝汀&閔=丄。坐標(biāo)和動(dòng)量的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系是：（Ax）2（4p）2-。自由粒子體系，一動(dòng)量_守恒；中心力x4一場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子_角動(dòng)量_守恒13量子力學(xué)中的守恒量A是指：A不顯含時(shí)間而且與H對(duì)易，守恒量在一切狀態(tài)中的平均值和概率分布都不隨時(shí)間改變。14隧道效應(yīng)是指：量子力學(xué)中粒子在能量E小于勢(shì)壘高度時(shí)仍能貫穿勢(shì)壘的現(xiàn)象稱為隧道效應(yīng)。15.%=

3、也忍爐為氫原子的波函數(shù)，汽山的取值范圍分別為：n=1,2,3,；l=0,1,n-1；m=-l,-l+1,0，1,l。16對(duì)氫原子，不考慮電子的自旋，能級(jí)的簡(jiǎn)并為:n2，考慮自旋但不考慮自旋與軌道角動(dòng)量的耦合時(shí)，能級(jí)的簡(jiǎn)并度為2n2_，如再考慮自旋與軌道角動(dòng)量的耦合，能級(jí)的簡(jiǎn)并度為2j+1_。17.設(shè)體系的狀態(tài)波函數(shù)為，如在該狀態(tài)下測(cè)量力學(xué)量F有確定的值幾，則力學(xué)量算符戶與態(tài)矢量丨申的關(guān)系為：F|屮；二九2：；。18力學(xué)量算符在態(tài)下的平均值可寫為的條件為：力學(xué)量算符的本征值組成分立譜，并且屮（廠）是歸一化波函數(shù)。希爾伯特空間：量子力學(xué)中Q的本質(zhì)函數(shù)有無(wú)限多個(gè)，所以態(tài)矢量所在的空間是無(wú)限維的函數(shù)空

4、間。20設(shè)粒子處于態(tài)的取值為:的可能值為：3h歸為歸一化波函數(shù)，丫觸為球諧函數(shù)，則系數(shù)c於本征值為肌出現(xiàn)的幾率為：2。21原子躍遷的選擇定則為：&二1；Am二0,土122.自旋角動(dòng)量與自旋磁矩的關(guān)系為：M=-S；式中M是自旋磁矩，S是自旋角動(dòng)量，-eS卩s是電子的電荷，卩是電子的質(zhì)量。23.為泡利算符,則。2=3弄=0,包厲mZ24.用為自旋算符，則金=22金恵匸0，瓦瓦=iS。4Zhh25.烏倫貝克和哥德斯密脫關(guān)于自旋的兩個(gè)基本假設(shè)是：（1）每個(gè)電子具有自旋角動(dòng)量S，它在空間任何方向上的投影只能是兩個(gè)數(shù)值：s二土穆；（2）每個(gè)電子具有自旋磁矩M，它和它z2S的自旋角動(dòng)量S的關(guān)系式是：M=-S

5、，式中-e是電子的電荷，卩是電子的質(zhì)量。M在TOC o 1-5 h zS卩Se空間任意方向上的投影只能取兩個(gè)數(shù)值：M=M。Sz2uB力_eT26.軌道磁矩與軌道角動(dòng)量的關(guān)系是：M_=-L。一L2u證明電子具有自旋的實(shí)驗(yàn)有：斯特恩-革拉赫實(shí)驗(yàn)。費(fèi)米子所組成的全同粒子體系的波函數(shù)具有_反對(duì)稱性玻色子所組成的全同粒子體系的波函數(shù)具有一對(duì)稱性一_。T二29.考慮自旋后，波函數(shù)在自旋空間表示為丿（已歸一化），則在態(tài)甲下，自旋算二符丿對(duì)自旋的平均可表示為：G二屮+前=6*,屮*12G,G)1112G,G丿2122y；對(duì)坐標(biāo)T-30.考慮自旋后，波函數(shù)在自旋空間表示為和自旋同時(shí)求平均的結(jié)果可表示為：G=J屮

6、咖dTo（已歸一化），貝U1的意義為:表示在t時(shí)刻，在（x,y,z）點(diǎn)周圍單位體積內(nèi)找到自旋sz=的電子的幾率。h（I笛F+I巴巴必級(jí)法Jlj;l31、量子力學(xué)中的態(tài)是希爾伯特空間的_矢量_；算符是希爾伯特空間的_算符_o力學(xué)量算符在自身表象中的矩陣是對(duì)角的32、”（x,y,Z,t）卩的物理意義：發(fā)現(xiàn)粒子的幾率密度與之成正比。33、JW（r,0,9）2r2dr表示在rr+dr單位立體角的球殼內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的幾率。34、在量子力學(xué)中，微觀體系的狀態(tài)被一個(gè)波函數(shù)完全描述；力學(xué)量用厄密算示。二、問答題你認(rèn)為Bohr的量子理論有哪些成功之處？有哪些不成功的地方？試舉一例說明。（簡(jiǎn)述波爾的原子理論，為什么說

7、玻爾的原子理論是半經(jīng)典半量子的？）答：Bohr理論中核心的思想有兩條：一是原子具有能量不連續(xù)的定態(tài)的概念；二是兩個(gè)定態(tài)之間的量子躍遷的概念及頻率條件。首先，Bohr的量子理論雖然能成功的說明氫原子光譜的規(guī)律性，但對(duì)于復(fù)雜原子光譜，甚至對(duì)于氦原子光譜，Bohr理論就遇到了極大的困難（這里有些困難是人們尚未認(rèn)識(shí)到電子的自旋問題），對(duì)于光譜學(xué)中的譜線的相對(duì)強(qiáng)度這個(gè)問題，在Bohr理論中雖然借助于對(duì)應(yīng)原理得到了一些有價(jià)值的結(jié)果，但不能提供系統(tǒng)解決它的辦法；其次，Bohr理論只能處理簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng)，而不能處理非束縛態(tài)問題，例如：散射；再其次，從理論體系上來看，Bohr理論提出的原子能量不連續(xù)概念和角動(dòng)量

8、量子化條件等，與經(jīng)典力學(xué)不相容的，多少帶有人為的性質(zhì)，并未從根本上解決不連續(xù)性的本質(zhì)。什么是光電效應(yīng)？光電效應(yīng)有什么規(guī)律？愛因斯坦是如何解釋光電效應(yīng)的？答：當(dāng)一定頻率的光照射到金屬上時(shí)，有大量電子從金屬表面逸出的現(xiàn)象稱為光電效應(yīng)；光電效應(yīng)的規(guī)律：a.對(duì)于一定的金屬材料做成的電極，有一個(gè)確定的臨界頻率u，當(dāng)照射光頻率UU0時(shí)，不管光多微弱，只要光一照，幾乎立刻沁I。-9S觀測(cè)到光電子。愛因斯坦認(rèn)為：（1）電磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那樣散布在空間中，所以電子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以對(duì)應(yīng)弛豫時(shí)間應(yīng)很短，是瞬間完成的。（2）所有同頻率光子具有相同能量，光強(qiáng)則對(duì)應(yīng)于光子的數(shù)目，

9、光強(qiáng)越大，光子數(shù)目越多，所以遏止電壓與光強(qiáng)無(wú)關(guān)，飽和電流與光強(qiáng)成正比。（3）光子能量與其頻率成正比，頻率越高，對(duì)應(yīng)光子能量越大，所以光電效應(yīng)也容易發(fā)生，光子能量小于逸出功時(shí)，則無(wú)法激發(fā)光電子。3簡(jiǎn)述量子力學(xué)中的態(tài)疊加原理，它反映了什么？答：對(duì)于一般情況，如果屮和屮是體系的可能狀態(tài)，那么它們的線性疊加：屮=c屮+c屮121122（c，c是復(fù)數(shù)）也是這個(gè)體系的一個(gè)可能狀態(tài)。這就是量子力學(xué)中的態(tài)疊加原理。態(tài)疊加原理12的含義表示當(dāng)粒子處于態(tài)屮,和屮2的線性疊加態(tài)屮時(shí)，粒子是既處于態(tài)屮又處于態(tài)屮2。它反映1212了微觀粒子的波粒二象性矛盾的統(tǒng)一。量子力學(xué)中這種態(tài)的疊加導(dǎo)致在疊加態(tài)下觀測(cè)結(jié)果的不確定性。

10、什么是定態(tài)？定態(tài)有什么性質(zhì)？答：體系處于某個(gè)波函數(shù)屮（廠，t）=屮（r）exp1-iEt,所描寫的狀態(tài)時(shí)，能量具有確定值。這種狀態(tài)稱為定態(tài)。定態(tài)的性質(zhì)：（1）粒子在空間中的概率密度及概率流密度不隨時(shí)間變化；（2）任何力學(xué)量（不顯含時(shí)間）的平均值不隨時(shí)間變化；（3）任何力學(xué)量（不顯含時(shí)間）取各種可能測(cè)量值的概率分布也不隨時(shí)間變化。簡(jiǎn)述力學(xué)量與力學(xué)量算符的關(guān)系？答：算符是指作用在一個(gè)波函數(shù)上得出另一個(gè)函數(shù)的運(yùn)算符號(hào)。量子力學(xué)中采用算符來表示微觀粒子的力學(xué)量。如果量子力學(xué)中的力學(xué)量F在經(jīng)典力學(xué)中有相應(yīng)的力學(xué)量，則表示這個(gè)力學(xué)量的算符F由經(jīng)典表示式F（r,p）中將P換為算符p而得出的，即：F二（r,p

11、）=（r,-iV）。量子力學(xué)中的一個(gè)基本假定：如果算符F表示力學(xué)量F,那么當(dāng)體系處于F的本征態(tài)0時(shí),力學(xué)量F有確定值，這個(gè)值就是F在中的本征值。經(jīng)典波和量子力學(xué)中的幾率波有什么本質(zhì)區(qū)別？答：1）經(jīng)典波描述某物理量在空間分布的周期性變化，而幾率波描述微觀粒子某力學(xué)量的幾率分布；（2）經(jīng)典波的波幅增大一倍，相應(yīng)波動(dòng)能量為原來的四倍，變成另一狀態(tài)，而微觀粒子在空間出現(xiàn)的幾率只決定于波函數(shù)在空間各點(diǎn)的相對(duì)強(qiáng)度，幾率波的波幅增大一倍不影響粒子在空間出現(xiàn)的幾率，即將波函數(shù)乘上一個(gè)常數(shù)，所描述的粒子狀態(tài)并不改變；能量的本征態(tài)的疊加一定還是能量本征態(tài)。答：不一定，如卿，屮對(duì)應(yīng)的能量本征值相等，貝c屮+c屮還是

12、能量的本征121122態(tài)，否則，如果屮,屮對(duì)應(yīng)的能量本征值不相等，貝1屮=c屮+c屮不是能量的本征態(tài)121122什么是表象？不同表象之間的變換是一種什么變換？在不同表象中不變的量有哪些？答：量子力學(xué)中態(tài)和力學(xué)量的具體表示方式稱為表象。不同表象之間的變換是一種幺正變換。在不同表象中不變的量有：算符的本征值，矩陣的跡即矩陣對(duì)角元素的和。簡(jiǎn)述量子力學(xué)的五個(gè)基本假設(shè)。答：（1）微觀體系的狀態(tài)被一個(gè)波函數(shù)完全描述，從這個(gè)波函數(shù)可以得出體系的所有性質(zhì)。波函數(shù)一般應(yīng)滿足連續(xù)性、有限性和單值性三個(gè)條件；（2）力學(xué)量用厄密算符表示。如果在經(jīng)典力學(xué)中有相應(yīng)的力學(xué)量，則在量子力學(xué)中表示這個(gè)力學(xué)量的算符，由經(jīng)典表示中

13、的將動(dòng)量p換為算符-iV得出。表示力學(xué)量的算符具有組成完全系的本征函數(shù)。（3）將體系的狀態(tài)波函數(shù)屮用算符F的本征函數(shù)展開（方9=九9，F(xiàn)9=九9）:屮=工c9+Ld九，則在屮態(tài)中測(cè)量力學(xué)量Fmm九九，得到結(jié)果在九九+d九范圍內(nèi)的幾率是|cjd九；（4）體系的狀m得到結(jié)果為九的幾率為cmm。屮八八態(tài)波函數(shù)滿足薛定諤方程：i=H屮，H是體系的哈密頓算符。（5）在全同粒子組成的體系Cth量子力學(xué)期末復(fù)習(xí)題量子力學(xué)期末復(fù)習(xí)題量子力學(xué)期末復(fù)習(xí)題 /30 /30 /3中，兩全同粒子相互調(diào)換不改變體系的狀態(tài)（全同性原理）。波函數(shù)歸一化的含義是什么？歸一化隨時(shí)間變化嗎？答：粒子既不產(chǎn)生也不湮滅。根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)

14、計(jì)解釋，在任何時(shí)刻，粒子一定在空間出現(xiàn)，所以在整個(gè)空間中發(fā)現(xiàn)粒子是必然事件，概率論中認(rèn)為必然事件的概率等于1。因而粒子在整個(gè)空間中出現(xiàn)的概率即”卩對(duì)整個(gè)空間的積分應(yīng)該等于1.即JM（兀y，z，t）|2於=1式中積分表示對(duì)整個(gè)空間積分。這個(gè)條件我們稱為歸一化條件。滿足歸一化條件的波函數(shù)稱為歸一化波函數(shù)。波函數(shù)一旦歸一化，歸一化常數(shù)將不隨時(shí)間變化。量子化是不是量子力學(xué)特有的效應(yīng)？經(jīng)典物理中是否有量子化現(xiàn)象？答：所謂量子化，就是指某個(gè)力學(xué)量可取數(shù)值具有離散譜。一般來說，這不是量子力學(xué)的特有效應(yīng)。經(jīng)典物理中，例如聲音中的泛音，無(wú)線電中的諧波都是頻率具有離散譜。經(jīng)典波在束縛態(tài)形成駐波時(shí)，頻率也是量子化的

15、，但經(jīng)典波的頻率量子化并不對(duì)應(yīng)能量量子化。有時(shí)量子化用了專指能量量子化，在這種意義上它就是量子力學(xué)特有的效應(yīng)。什么是算符的本征值和本征函數(shù)？它們有什么物理意義？答：含有算符F的方程Fp=FP稱為F的本質(zhì)方程，F(xiàn)為F的一個(gè)本質(zhì)值。而申則為Fmmmmm的屬于本征值F的本征函數(shù)。如果算符多代表一個(gè)力學(xué)量，上述概念的物理意義如下：當(dāng)體系m處于F的本征態(tài)P時(shí)，測(cè)量F的數(shù)值時(shí)確定的，恒等于F。當(dāng)體系處于任意態(tài)時(shí)，單次測(cè)量Fmm的值必等于它的本征值之一。算符運(yùn)算與一般代數(shù)運(yùn)算有什么異同之處？答：（1）相同點(diǎn):都滿足加法運(yùn)算中的加法交換律和加法結(jié)合律。（2）、不同點(diǎn)：a.算符乘積一般八八八/II不滿足代數(shù)乘法

16、運(yùn)算的交換律，即FG豐GF；b算符乘積定義GE如二FG罰丿，運(yùn)算次序由后至前，不能隨意變換。什么是束縛態(tài)和定態(tài)？束縛態(tài)是否必為定態(tài)？定態(tài)是否必為束縛態(tài)？dUn答：定態(tài)是概率密度和概率流密度不隨時(shí)間變化的狀態(tài)。若勢(shì)場(chǎng)恒定=,則體系可以處于定ot態(tài)。當(dāng)粒子被外力（勢(shì)場(chǎng)）束縛于特定的空間區(qū)域內(nèi)，及在無(wú)窮處波函數(shù)等于零的態(tài)叫做束縛態(tài)。束縛態(tài)是離散的。例如一維諧振子就屬于束縛定態(tài)，具有量子化能級(jí)。但束縛態(tài)不一定是定態(tài)。例如限制在一維箱子中的粒子，最一般的可能態(tài)是以一系列分立的定態(tài)疊加而成的波包。這種疊加是沒有確定值的非定態(tài)。雖然一般情況下定態(tài)多屬束縛態(tài)，當(dāng)定態(tài)也可能有非束縛態(tài)。（1）在量子力學(xué)中，能不能

17、同時(shí)用粒子坐標(biāo)和動(dòng)量的確定值來描寫粒子的量子狀態(tài)？（2）將描寫的體系量子狀態(tài)波函數(shù)乘上一個(gè)常數(shù)后，所描寫的體系量子狀態(tài)是否改變？（3）歸一化波函數(shù)是否可以含有任意相因子e（5是實(shí)常數(shù)）？（4）已知F為一個(gè)算符，當(dāng)F滿足如下的兩式時(shí)，a.F+=F,b.F-1=F+，問何為厄米算符，何為幺正算符？（5）證明厄米算符的本征值為實(shí)數(shù)。量子力學(xué)中表示力學(xué)量的算符是不是都是厄米算符？答：（1）不能；因?yàn)樵诹孔恿W(xué)中，粒子具有波粒二象性，粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量不可能同時(shí)具有確定值。（2）不改變；根據(jù)Born對(duì)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋，描寫體系量子狀態(tài)的波函數(shù)是概率波，由于粒子必定要在空間中的某一點(diǎn)出現(xiàn)，所以粒子在空間各點(diǎn)

18、出現(xiàn)的概率總和等于1，因而粒子在空間各點(diǎn)出現(xiàn)概率只決定于波函數(shù)在空間各點(diǎn)的相對(duì)強(qiáng)度。（3）可以；因?yàn)閨eiS|2=1，如果”|2對(duì)整個(gè)空間積分等于1,則”如|2對(duì)整個(gè)空間積分也等于1即用任意相因子ei8（8是實(shí)常數(shù)）去乘以波函數(shù)，既不影響體系的量子狀態(tài)，也不影響波函數(shù)的歸一化。（4）滿足關(guān)系式a的為厄密算符，滿足關(guān)系式b的為幺正算符；（5）證明：以九表示F的本征值，屮表示所屬的本征函數(shù)，則和二九屮因?yàn)镕是厄密算符，于是有九Jv叩dx二九屮叩dx,由此可得X=X*，即九為實(shí)數(shù)。薛定諤方程應(yīng)該滿足哪些條件？答：（1）它必須是波函數(shù)應(yīng)滿足的含有對(duì)時(shí)間微商的微分方程；（2）方程是線性的，即如果屮和屮1

19、2都是方程的姐，那么屮和屮的線性疊加屮=cV+c屮也是方程的解，這是因?yàn)楦鶕?jù)態(tài)疊加原121122理，如果屮和屮是體系的可能狀態(tài)，那么它們的線性疊加：屮=c屮+c屮（c，c是復(fù)數(shù)）12112212也是這個(gè)體系的一個(gè)可能狀態(tài)；（3）這個(gè)方程的系數(shù)不應(yīng)該包含狀態(tài)的參量，如動(dòng)量、能量等，因?yàn)榉匠痰南禂?shù)如含有狀態(tài)的參量，則方程只能被粒子的部分狀態(tài)所滿足，而不能被各種的狀態(tài)所滿足。量子力學(xué)中的力學(xué)量用什么算符表示？為什么？力學(xué)量算符在自身表象中的矩陣是什么形式？答：量子力學(xué)中表示力學(xué)量的算符都是厄密算符。因?yàn)樗辛W(xué)量的數(shù)值都是實(shí)數(shù)，既然表示力學(xué)量的算符的本征值是這個(gè)力學(xué)量的可能值，因而表示力學(xué)量的算符，

20、它的本征值必須是實(shí)數(shù)。力學(xué)量算符在自身表象中的矩陣是一個(gè)對(duì)角矩陣。簡(jiǎn)述力學(xué)量算符的性質(zhì)？答：（1）實(shí)數(shù)性：厄密算符的本征值和平均值皆為實(shí)數(shù)；（2）正交性：屬于不同本征值的本征態(tài)彼此正交。即dP=8；（3）完備性：力學(xué)量算符的本征態(tài)的全體構(gòu)成一完備集，即mnmn屮（x）=丫c*（x）。nnn在什么情況下兩個(gè)算符相互對(duì)易？答：如果兩個(gè)算符F和G有一組共同本征函數(shù)*，而且*組成完全系，則算符F和G對(duì)易。mm請(qǐng)寫出測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系?則測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系式為：答：設(shè)算符F和G的對(duì)易關(guān)系為：F，G=ik如果k不為零，則F和G的均方偏差不會(huì)同時(shí)為零，它們的乘積要大于一正數(shù)。量子力學(xué)中的守恒量是如何定義的？守恒量有什么性質(zhì)

21、？量子力學(xué)中的守恒量和經(jīng)典力學(xué)的守恒量定義有什么不同，并舉例說明？xyz答：量子力學(xué)中不顯含時(shí)間，且其算符與體系的哈密頓算符對(duì)易的力學(xué)量稱為守恒量；量子體系的守恒量，無(wú)論在什么態(tài)下，平均值和概率分布都不隨時(shí)間改變；量子力學(xué)中的守恒量與經(jīng)典力學(xué)中的守恒量概念不相同，實(shí)質(zhì)上是不確定度關(guān)系的反映。a.量子體系的守恒量并不一定取確定值，及體系的狀態(tài)并不一定就是某個(gè)守恒量的本征態(tài)。如對(duì)于自由粒子，動(dòng)量是守恒量，但自由粒子的狀態(tài)并不一定是動(dòng)量的本征態(tài)（平面波），在一般情況下是一個(gè)波包；b.量子體系的各守恒量并不一定都可以同時(shí)取確定值。例如中心力場(chǎng)中的粒子，l的三個(gè)分量都守恒，但由于1、1、l不對(duì)易,一般說

22、來它們并不能同時(shí)取確定值（角動(dòng)量1=0的態(tài)除外）。式中8(0)(0)。mn定態(tài)微擾理論的適用范圍和適用條件是什么？答：適用范圍：求分立能級(jí)及所屬波函數(shù)的修正；適用條件是：1，8（0）-8（0）mn什么是自發(fā)躍遷？什么是受激躍遷？答：在不受外界影響的情況下，體系由高能級(jí)躍遷到低能級(jí)，這種躍遷稱為自發(fā)躍遷；體系在外界（如輻射場(chǎng)）作用下，由低能級(jí)躍遷到高能級(jí)，這種躍遷稱為受激躍遷。什么是嚴(yán)格禁戒躍遷？角量子數(shù)和磁量子數(shù)的選擇定則是什么？答：如果在任何級(jí)近似中躍遷幾率均為零，這這種躍遷稱為嚴(yán)格禁戒躍遷。角量子數(shù)和磁量子數(shù)的選擇定則是：A1=1；Am=0,土1。誰(shuí)提出了電子自旋的假設(shè)？表明電子有自旋的實(shí)

23、驗(yàn)事實(shí)有哪些？自旋有什么特征？答：烏倫貝克和高斯密特提出了電子自旋的假設(shè)。他們主要根據(jù)的兩個(gè)實(shí)驗(yàn)事實(shí)是：堿金屬光譜的雙線結(jié)構(gòu)和反常的Zeeman效應(yīng)。他們假設(shè)的主要內(nèi)容為：a.每個(gè)電子具有自旋角動(dòng)量S，它在空間任何方向上的投影只能是兩個(gè)數(shù)值：S=1；b.每個(gè)電子具有自旋磁矩M己它和它的自旋z2Se島角動(dòng)量S的關(guān)系式是：M=-S，式中-e是電子的電荷，卩是電子的質(zhì)量。S卩表明電子有自旋的實(shí)驗(yàn)事實(shí)：斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)。其現(xiàn)象：K射出的處于S態(tài)的氫原子束通過狹縫BB和不均勻磁場(chǎng)，最后射到照相片PP上，實(shí)驗(yàn)結(jié)果是照片上出現(xiàn)兩條分立線。解釋：氫原子具有磁矩，設(shè)倉(cāng)沿Z方向：=竝直=-恥亦B；忑s如簸在空間

24、可取任何方向，日應(yīng)連續(xù)變化，照片上應(yīng)是一連續(xù)帶，但實(shí)驗(yàn)結(jié)果只有兩條，說明麻是空間量子化的，只有兩個(gè)取向皿&=1，對(duì)S態(tài)，沒軌道角動(dòng)量，所以原子所具有的磁矩是電子固有磁矩，即自旋磁矩。自旋的特點(diǎn)：（1）電子具有自旋角動(dòng)量這一特點(diǎn)純粹是量子特性，它不可能用經(jīng)典力學(xué)來解釋。它是電子的本身的內(nèi)稟屬性，標(biāo)志了電子還有一個(gè)新自由度。（2）電子自旋與其它力學(xué)量的根本區(qū)別為，一般力學(xué)量可表示為坐標(biāo)和動(dòng)量的函數(shù)，自旋角動(dòng)量與電子坐標(biāo)和動(dòng)量無(wú)關(guān)，不能表示為krXp，它是電子內(nèi)部狀態(tài)的表征，是一個(gè)新的自由度。（3）電子自旋值是，而不是矗的整數(shù)倍。（4），而丁-匸兩者在差一倍。自旋角動(dòng)量也具有其它角動(dòng)量的共性，即滿足

25、同樣的對(duì)易關(guān)系：匯二1沾。它是個(gè)內(nèi)稟的物理量，不能用坐標(biāo)、動(dòng)量、時(shí)間等變量表示；它完全是一種量子效應(yīng)，沒有經(jīng)典對(duì)應(yīng)量。也就是說，當(dāng)T0時(shí)，自旋效應(yīng)消失。它是角動(dòng)量，滿足角動(dòng)量最一般的對(duì)應(yīng)關(guān)系。而且電子自旋在空間任何方向上的投影只取土2兩個(gè)值。h什么是斯塔克效應(yīng)？答：當(dāng)原子置于外電場(chǎng)中，它發(fā)射的光譜線將發(fā)生分裂，這稱為Stark效應(yīng)。什么是光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)？產(chǎn)生精細(xì)結(jié)構(gòu)的原因是什么？考慮精細(xì)結(jié)構(gòu)后能級(jí)的簡(jiǎn)并度是多少？答：由于電子自旋與軌道角動(dòng)量耦合，是原來簡(jiǎn)并的能級(jí)分裂成幾條差別很小的能級(jí)，稱為光譜的1精細(xì)結(jié)構(gòu)；當(dāng)n和l給定后，j可以取j=1+2，（1=除夕卜），即具有相同的量子數(shù)nl的能級(jí)有兩個(gè)

26、，它們的差別很小，這就是產(chǎn)生精細(xì)結(jié)構(gòu)的原因?？紤]精細(xì)結(jié)構(gòu)后能級(jí)的簡(jiǎn)并度為（2j+l）什么是塞曼效應(yīng)？什么是反常的塞曼效應(yīng)？對(duì)簡(jiǎn)單塞曼效應(yīng)，沒有外磁場(chǎng)時(shí)的一條譜線在外磁場(chǎng)中分裂為幾條？答：把原子（光源）置于強(qiáng)磁場(chǎng)中，原子發(fā)出的每條光譜線都分裂為三條，我們把這稱為正常的塞曼效應(yīng)。而反常的塞曼效應(yīng)是指在弱磁場(chǎng)中原子光譜線的復(fù)雜分裂（分裂成偶條數(shù)）。對(duì)簡(jiǎn)單塞曼效應(yīng)，沒有外磁場(chǎng)時(shí)的一條譜線在外磁場(chǎng)中分裂為三條。29什么是全同性原理和泡利不相容原理？為：QX0?=2i&；自旋算符S=-O；9對(duì)易關(guān)系為SXSh/一2（01(0S，S=xy410丿iS，Sxy=SS-SS即：xyyx2.(1方0、2i1二2i

27、二#-1丿令。4h:iSz10丿答：全同性原理：由全同粒子所組成的體系中，兩全同粒子相互代換不引起物理狀態(tài)的改變。描寫全同粒子體系狀態(tài)的波函數(shù)只能是對(duì)稱的或反對(duì)稱的，它們的對(duì)稱性不隨時(shí)間改變。泡利不相容原理：不能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的費(fèi)米子處于同一狀態(tài)。答：泡利矩陣：c(01；C)=(0-i；C)=(10；對(duì)易關(guān)系x0丿yi0丿z0-1丿30.寫出泡利矩陣的形式及其對(duì)易關(guān)系。請(qǐng)用泡利矩陣定義電子的自旋算符，并驗(yàn)證它們滿足角動(dòng)量對(duì)易關(guān)系。驗(yàn)證過程如下：31.請(qǐng)寫出兩個(gè)電子體系的波函數(shù)。空間態(tài)對(duì)稱自旋態(tài)反對(duì)稱答：按空間態(tài)和自旋態(tài)組合可有四種反對(duì)稱態(tài)：空間態(tài)反對(duì)稱自旋態(tài)對(duì)稱j.p(rb(r)+p(rip

28、(r)1=、：2n1m2n2m1、:2!=tp(r)p(r)-w(r)p(r)2n1m2n2m1X1x2-121OX(2)-Z(2上0;x丄-122-12(1)x1(2)(1)X2(2)-12x(1)x-1=122(2)+X（2）X（1）-12Epmm2其中Hp(r)=ep(r)；hp(r)=ep(r)。1n1nn12m232.請(qǐng)簡(jiǎn)述微擾論的基本思想。答：將復(fù)雜的體系的哈密頓量看分成龍。與咅兩部分。応是可求出精確解的，而*可看成葫匸I的微擾。只需將精確解加上由微擾引起的各級(jí)修正量，逐級(jí)迭代，逐級(jí)逼近，就可得到接近問題真實(shí)的近似解。確定滬時(shí)，先確定即,再用和二找一找確定穴I什么是玻色子和費(fèi)米子？

29、hh答：由電子，質(zhì)子，中子這些自旋為的粒子以及自旋為的奇數(shù)倍的粒子組成的全同粒子體系的波函數(shù)是反對(duì)稱的，這類粒子服從費(fèi)米（Fermi）狄拉克（Dirac）統(tǒng)計(jì)，稱為費(fèi)米子，由光子（自旋為1）以及其它自旋為零，或亢整數(shù)倍的粒子所組成的全同粒子體系的波函數(shù)是對(duì)稱的，這類粒子服從玻色（Bose）愛因斯坦統(tǒng)計(jì)，稱為玻色子。什么是隧道效應(yīng)？請(qǐng)舉例說明隧道效應(yīng)的應(yīng)用。答：粒子在其能量e小于勢(shì)壘高度u0時(shí)，仍然會(huì)有部分粒子穿過勢(shì)壘的現(xiàn)象叫隧道效應(yīng)，又叫隧穿效應(yīng)。隧道效應(yīng)的應(yīng)用：1.掃描隧道顯微鏡（STM）是電子隧道效應(yīng)的重要應(yīng)用之一。掃描隧道顯微鏡可以顯示表面原子臺(tái)階和原子排布的表面三維圖案。在表面物理、材

30、料科學(xué)和生命科學(xué)等諸多領(lǐng)域中，掃描隧道顯微鏡都能提供十分有價(jià)值的信息。2.隧道二極管是一種利用隧道效應(yīng)的半導(dǎo)體器件，也是隧道效應(yīng)的重要應(yīng)用之一。由于隧道效應(yīng)而使其伏安特性曲線出現(xiàn)負(fù)陽(yáng)區(qū)，因而隧道二級(jí)管具有高頻、低噪聲的特點(diǎn)。隧道二級(jí)管是低頻放大器、低頻噪聲振蕩器和超高速開關(guān)電路中的重要器件。厄米算符具有哪些性質(zhì)？厄米算符的平均值、本征值、本征函數(shù)具有哪些性質(zhì)？答：厄米算符具有下列性質(zhì)：a.兩厄米算符之和仍為厄米算符；b.當(dāng)且僅當(dāng)兩厄米算符A和八八八八八八八八八=0時(shí),B對(duì)易時(shí)，它們之積才為厄米算符。因?yàn)锳B*=ByAy=BA。只有在A,BIBA=，才有，b/=AB，即AB仍為厄米算符；C.無(wú)論

31、厄米算符A、B是否對(duì)易,1（八八1（八八八八）算符4B+及AB-BA丿必為厄米算符，因?yàn)?2i11ByAy+AyBy2i2i121ByAy2id.任何算符總可分解為+io。+，則o和o均+為厄米算符。厄米算符的平均值、本征值、本征函數(shù)具有下列性質(zhì)：厄米算符的平均值是實(shí)數(shù)；在任何狀態(tài)下平均值均為實(shí)數(shù)的算符必為厄米算符；厄米算符的本征值為實(shí)數(shù)。厄米算符在本征態(tài)中的平均值就是本征值。厄米算符屬于不同本征值的本征函數(shù)正交；厄米算符的簡(jiǎn)并的本征函數(shù)可以經(jīng)過重新組合后使它正交歸一化；厄米算符的本征函數(shù)系具有完備性；厄米算符的本征函數(shù)系具有封閉型。簡(jiǎn)單討論一下相對(duì)論情形和非相對(duì)論情形下的德布洛意關(guān)系式。答：

32、對(duì)于非相對(duì)論情形：.二2m,p=2mk;0相對(duì)論情形：E2=p2c2+m2c4;01p=-cc2+8J2-m2c4=k122m8+V0k(c丿所以當(dāng)8kc時(shí)，即得到非相對(duì)論情形下的公式:、1,1P2c21P21+.mc2+.2m2c4h02m,丿V0丿02c2+m2c4mc20h由于能量只有相對(duì)變化AE才有意義（即能量的絕對(duì)值在物理上是沒有意義的，它依賴于“零能量值”的選?。琱u=AE=E-E可將常數(shù)項(xiàng)me2抵消，此時(shí)相對(duì)論形式的關(guān)系退化為非相對(duì)2108論情形：u=才，8k就是非相對(duì)論粒子的動(dòng)能。德布洛意頻率本身不是一個(gè)可觀測(cè)量，因此只有德布洛意波長(zhǎng)具有物理意義。為什么物質(zhì)的波動(dòng)性在宏觀尺度

33、不顯現(xiàn)？答：由于九=加P，原因是普朗克常數(shù)太?。╤=66X10-34J.s），而宏觀尺度的運(yùn)動(dòng)動(dòng)量太大導(dǎo)致波長(zhǎng)太小，難以引起可以觀察的物理效應(yīng)。因?yàn)镻=2mE，要減小宏觀尺度運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量,必須減小動(dòng)能E,但從物理上考慮E不可能減小到比熱運(yùn)動(dòng)能量kBT更小，所以必須減小質(zhì)量。質(zhì)量的減小對(duì)應(yīng)于尺度的減小。只有把物體尺度減小到微觀尺度，才可能出現(xiàn)較大的物質(zhì)波波長(zhǎng)九。從而引起可以觀察到的物理效應(yīng)。dxe38相對(duì)論粒子德布洛意波對(duì)應(yīng)的相速度群速度分別是多少？（相速度vP丁k代表相位de傳播的速度。波包是指波動(dòng)在有限空間中分布。群速度vg=頁(yè)對(duì)應(yīng)波包運(yùn)動(dòng)的速度）答：由德布洛意關(guān)系：hh、：1_(vc)2A=

34、pmv02兀2兀mv=o/c，所以：波矢k.九hmc22兀mc2所以=0=hjl(vfc則相速度：h1(vc)22兀mv0又因?yàn)?dedv=-h2兀mvTOC o 1-5 h z了de/de/dv所以，群速度：v=-k=dk年=v，即在相對(duì)論情形下粒子運(yùn)動(dòng)速度也對(duì)應(yīng)于波包的群速度。g/dv39.自由粒子非相對(duì)論情形的相速度和群速度分別為多少？答：e(k)2/z相速度:k2edek，則群速度：v=（對(duì)應(yīng)的才是粒子運(yùn)動(dòng)的速度）。而gdkmk（不是粒子運(yùn)動(dòng)速度）。pk2mh40什么是希爾伯特空間？波函數(shù)與希爾伯特空間的關(guān)系?答：希爾伯特空間是定義在復(fù)數(shù)域上的一個(gè)有限維或無(wú)限維的完備矢量空間。波函數(shù)對(duì)

35、應(yīng)于希爾伯特空間中的態(tài)矢。41.試舉例有哪些實(shí)驗(yàn)揭示了光的粒子性質(zhì)？哪些實(shí)驗(yàn)揭示了粒子的波動(dòng)性質(zhì)？答：黑體輻射、光電效應(yīng)、康普頓散射實(shí)驗(yàn)給出了能量分立、光場(chǎng)量子化的概念，從實(shí)驗(yàn)上揭示了光的粒子性質(zhì)。電子楊氏雙縫實(shí)驗(yàn)、電子在晶體表面的衍射實(shí)驗(yàn)、中子在晶體上的衍射實(shí)驗(yàn)從實(shí)驗(yàn)上揭示了微粒的波動(dòng)性質(zhì)。三、證明題Ia_丄C221.試證明屮(x)二e_2ax(2a3X3-3ax)是線性諧振子的波函數(shù)，并求此波函數(shù)對(duì)應(yīng)的3耳兀能量。TOC o 1-5 h z島2d2丄證：線性諧振子的S-方程為：-環(huán)石屮(X)+22x2屮(x)=刖(x)把屮(x)代入上式，有：屮(x)A2x2(2a3x33ax)dxdx/a

36、ie_2a2x2(_2a5x4+9a3x23a)35d2屮(x)dx2，-e2x(2a5x4+9a3x2-3a)a2xe左邊=-=7.竺./屮(x)7117=(x)x即(x)韋x斗(x)=屮(x)右邊=碑(x)_2a2x2(2a5X4+9a3x23a)+e_2a2x2(8a5x3+18a3x)=(a4x27a2)e2x2(2a3x33ax)=(a4x27a2)(x).3d2把屮(x)代入式左邊，得dx22d斗(x)1221+_x斗(x)=7a2屮(x)a4x斗(x)+x即(x)dx22護(hù)護(hù)214x即(x)+P2x斗(x)2丿h左邊=右邊。幺d1Q2x2/cc、7亠e233X3-如），是線性諧振

37、子的波函數(shù)其對(duì)應(yīng)的能量為2嘰2.證明氫原子中電子運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的電流密度在球極坐標(biāo)中的分量是J=J=0；ere0ehmn0mih證：電子的電流密度為：J=eJ=e(屮Vv*屮*Vv)2Hnmnmnmnmv在球極坐標(biāo)中為：v=ed.+1e0dL+edrr0dv申1d亦環(huán)，式中卞$、為單位矢量J=eJ=eihd1deV(e+e+e-2H申r屮*(e+1er8nmrdr1d)Vsin0dd+1d)vd0申rsin0d申*n0m/屮n0m可見，iehde(vV*2Hmdrnm1d1dv*V)+e(VVnmrdvn0m屮rSin0n0m中的F和8部分是實(shí)數(shù)。ieh屮*v)+(V丄2屮*nPmdr)nmrd0

38、nPm2prsin0(一訕“J_訕“JKn0mer=J=0e0ehmIHrsin0n0m1*nmrsin0nmd申nmehmiHrsin0nm3.試以基態(tài)氫原子為例證明：屮不是，T，或UJ的本征函數(shù)，而是T+右的本征函數(shù)。解：11V=()3/22er/a01004rta0a0He2sh2T一丁丄吟(r2f)+%(sinOQQL)+七2pr2QrQrsinUQUsin2UQ申2e2U=r刑10021QQ屮、2111Q/d、(r2嗨)=-()3/2(r2e-r/ao)2口r2QrQr2寸兀ar2QrQr21/1、/12、212、(-N2口a2ar10000()3/2(-)e2卩p兀aa2oo豐常數(shù)

39、x屮100-r/a0ar0所以：屮不是T的本征函數(shù)100e2由于loo嚴(yán)loo；可見，屮I。不是卩的本征函數(shù)(T+U沖10021(1)(1()3/2(-aa2002e2)e-r/a屮arr1000212221加可屮100+兩屮100-疏屮100_加可屮100可見，屮100是（T+U）的本征函數(shù)。4證明：L=6,L=力的氫原子中的電子在U=45。和135。的方向上被發(fā)現(xiàn)的幾率最大。解：W(6，申)dQ=YI2dfi；ImImsinUcosUeg；Y21(U，9)L=/6力，L=力的電子，其中=2,m=1Y211515W21(U，9)=Ym2=莎曲0cos26=莎曲20當(dāng)U=45。和135。時(shí).W

40、21=1532兀為最大值。即在U=45。，U=135。方向發(fā)現(xiàn)電子的幾率15最大。在其它方向發(fā)現(xiàn)電子的幾率密度均在0莎之間。試證明：處于1s,2p和3d態(tài)的氫原子的電子在離原子核的距離分別為a、0和9。0的球殼內(nèi)被發(fā)現(xiàn)的幾率最大（0為第一玻爾軌道半徑）。證：對(duì)is態(tài)，n=1,=0,R。1W(r)=r2R2(r)=(一)34r2e2r/a；10100dW12玲=()34(2rr2)e-2radraa00dW令甘=0,r=8,r=a230易見，當(dāng)=0,r=8時(shí)，2W10=0不是最大值。4W(a)=e-2為最大值,100a01r/2)3/2e-r/2a02a丿000所以處于1s態(tài)的電子在r=a0處被

41、發(fā)現(xiàn)的幾率最大。對(duì)2p態(tài)的電子n=2,=】,r2=（211r4)3r2er/a0；2a3a200dW1dr24a50rr3(4)er/a0a0令監(jiān)=0drnr=0,r=8,2r=4a30易見，當(dāng)=，L時(shí)W21=0為最小值。d2W21dr28rr2r2(12+)e-r/a024a5aa2000d2W21dr218x16a2(12-32+16)e-4=-e-4003a324a50r=4a0為幾率最大位置,即在r=4a0的球殼內(nèi)發(fā)現(xiàn)球態(tài)的電子的幾率最大。對(duì)于3d態(tài)的電子n=3,=2,R=(丄)32a03/2W(r)=r2|R323212=丄32a7812x15r6e-r/3a0;dWcc32812x

42、15a702r(6-)e-2r/3a3a0令爭(zhēng)=0drr=8,2r=9a30易見，當(dāng)=,r=8時(shí)，W=0為幾率最小位置。232d2W32-dr2812x15a7016(15r2-4r52r6+)e-2r/3aoa9a200d2Wdr2r=9a。812x15a7036a2x81a2(9a)4(15-+亠)e-60a9a20016e-605a300r=9a0為幾率最大位置，即在r=9a0的球殼內(nèi)發(fā)現(xiàn)球態(tài)的電子的幾率最大。指出下列算符哪個(gè)是線性的，說明其理由。K=1d242石；d2解：4x2益是線性算符;/4x2(cu+cu)=4x2(cu)+4x2(cu)dx21122dx211dx222TOC

43、o 1-5 h zd2d2 HYPERLINK l bookmark223 o Current Document =c-4x2u+c-4x2u1dx212dx222不是線性算符;cu+cu2=c2u2+2ccuu+c2u2112211工cu2+cu21122才是線性算符;K=1指出下列算符哪個(gè)是厄米算符，說明其理由。d(1)dxid，4；dxdx2且/八八A八、石(X+px)2xx解：仃)Jgv*dx*gJgV*dx；gdx，gg-g-gdx當(dāng)xg,屮一0,0JgV*ddx=JgV*dx=Jg(dV)*dxJg(二屮)*dxgdxgdxg(d_gdxg(d_gdx不是厄米算符。dx屮*idx=

44、涉*|_gdx-g-g-gV*dx=iJg(V)*dx=Jdxgdxg(id-gdx*dxi是厄米算符dxJgV*4空-dx=4v*砂gdx2dx=-4jg忙砂dx=4如+4gdxdxdx-g-4卜忙如dx_gdxdx叱dx-gdx2=4jg竺v*dx=Jg(4v)*dxgdx2gdx24$是厄米算符。dx2(2)Jv*(xp沖dT=Jv*x(p屮)dT=(卸)*p屮dT=(px1x21x21x2W)*屮dTx12因?yàn)镻x豐誨；.I諭不是厄米算符。TOC o 1-5 h zxxx+pxx加2心2W*1x(xp沖dT+1J屮*(px沖dT HYPERLINK l bookmark59 o Cur

45、rent Document 221x2=(xp*VdT2xx12二-J(p即)*屮dT+-J(xp屮)*屮dT2x122x12=J(px+xp*屮dT HYPERLINK l bookmark225 o Current Document 2xx12(xp+px)是厄米算符。2xxd29下列函數(shù)哪些是算符茁的本征函數(shù)其本征值是什么?x2，ex，sinx，3cosx，sinx+cosx解：d2x2不是石的本征函數(shù)。=ex；二ex不是的本征函數(shù)其對(duì)應(yīng)的本征值為1。TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark201 o Current Document d2d(sinx)=(c

46、osx)=-sinx； HYPERLINK l bookmark231 o Current Document dx2dx可見，sinx是的本征函數(shù)，其對(duì)應(yīng)的本征值為一1。dx2d2d HYPERLINK l bookmark233 o Current Document 丁(3cosx)=(-3sinx)=-3cosx一(3cosx)dx2dx3cosx是學(xué)的本征函數(shù)，其對(duì)應(yīng)的本征值為一1。dx2量子力學(xué)期末復(fù)習(xí)題量子力學(xué)期末復(fù)習(xí)題 /30d2(sinx+cosx)=(cosx-sinx)=dx-sinx-cosx=-(sinx+cosx)4+cosX是的本征函數(shù)其對(duì)應(yīng)的本征值為710說明：如果

47、算符A和B都是厄米的，那么(A+B)也是厄米的。證：f入入J屮*(A+B)屮dT二12Jv*AdT+12dT2Jv(A)*dT+21Jv(Bv)*dT21=Jv(a+B)v*d21A+B也是厄米的。11.在一維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子，勢(shì)能對(duì)原點(diǎn)對(duì)稱：U(-x)=U(x)，證明粒子的定態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱。方2d2證：在一維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子的定態(tài)S-方程為：-v(x)+U(x)v(x)=Ev(x)2卩dx2將式中的x*x)代換得：-亓石屮(-x)+U(-x)v(-x)=Ev(-x)利用U(-x)=U(x)，得：-耳忑屮(-x)+U(x)v(-x)=Ev(-x)比較、式可知，v(-初和屮(x)都是描寫

48、在同一勢(shì)場(chǎng)作用下的粒子狀態(tài)的波函數(shù)。由于它們描寫的是同一個(gè)狀態(tài)，因此v(-x)和屮(x)之間只能相差一個(gè)常數(shù)c。方程、可相互進(jìn)行空間反演(xO-x)而得其對(duì)方，由經(jīng)xT-x反演，可得，nv(-x)=cv(x)由再經(jīng)-xTx反演，可得，反演步驟與上完全相同，即是完全等價(jià)的。n屮(x)=c屮(-x)乘，得：屮(x)屮(-X)=c即(X)屮(-X)可見，c2=1；即c=1當(dāng)c=+1時(shí)，屮(-x)=屮(x),n屮(x)具有偶宇稱；當(dāng)c=1時(shí)，屮(-x)=屮(x),n屮(x)具有奇宇稱,所以，當(dāng)勢(shì)場(chǎng)滿足U(-x)=U(x)時(shí)，粒子的定態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱。12.證明以下諸式成立：F+TXT=2hi?(

49、證明)根據(jù)坐標(biāo)分角動(dòng)量對(duì)易式:為了求證該矢量關(guān)系式，計(jì)算等號(hào)左方的矢量算符的x分量。以及=說莊-14+k(1眇ij七-J廣呵=尤yz=嚴(yán)打)七0汀叫嚴(yán)(-心看到卩村+廣癒人=(加-4)+0匚-眄)二右-,戸二總工+2如二2ih=由于輪換對(duì)稱性，得到特征的公式。IF+f噸=2ikp(證明)證法與(1)類似，但需先證分量與B分量的對(duì)易律22/30旳=加肥，巧=kPy-Pyh=0禺可）旳-馬0劃-書）=PS（yFy-Pyy）=肚直同理可證明其他輪換式，由此得普通式*芒=臥小傘取待證的公式等號(hào)左方的x分量，并用前一式加以變形：g+豐譏=lyP.-Py-Pyk-py=%託-也旳=2女根據(jù)輪換對(duì)稱性，證明

50、待證式成立。（3）尸;YF嚴(yán)=泌（KFh-G吟人（證明）心,二（+；+）忑（：+；+；）=（身十忌IX；十#）=g2JJj+fit=（耳工-刃+（詳-疋$+打笆天-天心亠&天-Xj）=-hilyz-ihzly-hilsy-hiyls=hi(yls-zly)-hi(lyz-lsy注意.與x沒有共同坐標(biāo)。(4)=加(戶嗚廠哼)“尸治譏卩二化+弓+f）皆/住+弟+）幾=彳尋與可=（丹廣曲&F-廠=0注意沒有共同坐標(biāo)，因此可以對(duì)易即小宀，故量子力學(xué)期末復(fù)習(xí)題量子力學(xué)期末復(fù)習(xí)題 /30 /30A=(l2+12)p-p(l2+12)=12p-p12+12p-pl2yzxxyzyxxyxxxx=1(Ippl

51、)+(Ippl)1+1(1ppl)+(1ppl)1yyxxyyxxyyzzxxzzxxzz=11,p+1,p1+11,p+1,p1=hi1pp1+1p+p1yyxyxyzzxzxzyzzyzyyz=hi(p1-pl)-(1p-1p)=hi(p*1)-(1*p)yzzyyzzyxx13設(shè)算符A,B與它們的對(duì)易式A,B都對(duì)易。證明：川刖=仔】.川=曲山厶亍亠(甲法)遞推法,對(duì)第一公式左方,先將原來兩項(xiàng)設(shè)法分裂成四項(xiàng),分解出一個(gè)因式,再次分裂成六項(xiàng),依次類推,可得待證式右方,步驟如下：&丹=衛(wèi)即-刖衛(wèi)=艮護(hù)打十護(hù)川出=十護(hù)J占護(hù)十護(hù)占=AS2Bn-2+BJi-2AS+Bn-1Ar8按題目假設(shè)衛(wèi)，SB

52、=BA,B因而衛(wèi)-5B=衛(wèi)戸1+2小衛(wèi)重復(fù)運(yùn)算n-1次以后,得&隣打=AS=A7i-BAK-1-)BK-1ArB=川頭耳4護(hù)十仏-1)羽序=汀小4閔14求證在1的本征態(tài)下1=1=0nxy(證明)角動(dòng)量分量算符滿足對(duì)易關(guān)系：11-11=加Tyzzyx兩邊取平均值，設(shè)Y是1本征態(tài)波函數(shù)，用標(biāo)乘積運(yùn)算符號(hào)(Y11-11Y)=hi(Y,/Y)imzimyxxyimimxim(Y,/lY-llY)二(Y,m祐Y-11Y)二m力(Y,lY)-(Y,門Y)imyximxyimimyimxyimimyimimxyim二mh(Y,lY)-(lY,lY)二mh(Y,/Y)-mh(Y,/Y)imyimximyimi

53、myimimyimA前面的連等式中利用了標(biāo)乘積分配律以及算符l的厄密性，這樣證明l=0 xx利用對(duì)易關(guān)系：11-11=加l?？梢灶愃频淖C明l=0。zxxzyy附帶指出，雖然l，1在1本征態(tài)中平均值是零，但乘積ll的平均值不為零，能夠證明:xyxxy1ll二m方2i二ll,說明ll不是厄密的。l2，l2的平均值見下題。xy2xyxyxy15設(shè)粒子處于Y(9,申)狀態(tài)，求Al2，Al2。imxy(解)Y(9，申)是算符l2,l的共同本征狀態(tài)，在此態(tài)中，算符l，l具有對(duì)稱性，因而可假設(shè)imyxyAl2=Al2，又已知Al二Al二0 xyxy利用算符恒等式：12二12+12+12xyz計(jì)算這個(gè)式子的各

54、量在態(tài)Y中的平均值，用標(biāo)積符號(hào):im(Y,l2Y)二(Y,(l2+12+l2)Y)二(Y,(2l2+12)Y)imimimxyzimimxyim因丫.滿足本征方程式l2Y=l(l+1)力2YlY=mYimimimximiml(l+1)加(Y,Y)二2(Y,12Y)+m2加(Y,Y)imimimximimim移項(xiàng)整理：12=(Y,12Y)=l(l+1)-m2力2ximxim212=l(l+1)m2力2x216.求證在i的本征態(tài)下，角動(dòng)量沿著與z軸成的角度的方向上x的分量的平均值是：m力cos9。4二_（解）角動(dòng)量1沿著與z成9解的方向（此方向用單位矢S表示，它不是唯一的，因由方位角9給定），有一

55、投影l(fā)，它的解析式是：zs=isin9cos9+jsin9sin9+kcos91）l=l-s二(il+jl+kl)-(isin9cos9+jsin9sin9+kcos9)xyz二sin9cos9l+sin9sin9l+cos9lTOC o 1-5 h zxyz計(jì)算在l的本征態(tài)匚中角動(dòng)量投影l(fā)的平均值：zimzl二JJY*(sin9cos9()Yd0+JJY*(sin9sin9-1)Yd0+JJY*(sin9-1)YdQ(2)zimximimyimimzimQ式中dQ=sin9d9d9根據(jù)（16）題的結(jié)論，l本征態(tài)下l0，l=0故前一式第一，二兩zzyA個(gè)積分無(wú)貢獻(xiàn)，由于：lY二m力Y，因而l二m力cos9（3）zimimz17.設(shè)任何一個(gè)厄密矩陣能被一個(gè)么正矩陣對(duì)角化，由此證明兩個(gè)矩陣被同一個(gè)么正矩陣對(duì)角化的條件是它們彼此對(duì)易。證明:（1）對(duì)易關(guān)系A(chǔ),B二0充分性的證明。設(shè)A,B二AB-BA二0。又設(shè)S是一個(gè)足以使A對(duì)角化的么正算符，則(SAS-