立體幾何基礎(chǔ)題題庫-

1、立體幾何基礎(chǔ)題題庫351-400（有詳細(xì)答案）351.（1）已知直線a平面a,a丄平面B.求證：P丄a.（2）已知三個(gè)平面a、p、丫,aB,a丄丫.求證：p丄丫.解析：（1）如圖答9-41,Taa，.:在a上任取一點(diǎn)A電a，過a與A確定平面Y,設(shè)丫pa=a，則a/a.Va丄p,：a丄P.Va*a,：a丄p.（2）在丫上任取P,設(shè)aPlY=l，在丫內(nèi)作PQ丄Va丄y,APQ丄a.Vap,PQ丄p,PQ豆Y，卩丄y.352-在正方體ABC。-ABiCiDi中,求二面角A】-BDi-Ci的大小.解析：如圖9-43，在平面DCB內(nèi)作CE丄BD，交BD于E.連結(jié)AE，設(shè)正方體棱長(zhǎng)111111為,在4AB

2、D和人CBD中，AD=CD=a,AB=CB=2a,BD=BD111111111111=3a，:ABDCBD,VCE丄BD，:AE丄BD，:ZAEC為1111111111二面角A一BD一C的平面角在RtABCD中，ZDCB=90，:1111111CD-BC=1CE-BD,.CE二a*2a二-a，在AEC中,1112111.3a311AE=CE=411/D卜-、/、/Z_a,AC=y2a,cosZAEC=3iiiiff2Jab13丿2.1a氣330/AECii解如圖所示，過D作DAAB交平面a于A.由aB，故DA=AB=2,DA與a成30角，由已知DC丄AB，可得DC丄DA,所以DC在過DC且與D

3、A垂直的平面Y內(nèi)，令丫na=l,在丫內(nèi)，DC丄l時(shí)為最短，此時(shí)DC=DAtan30故CD三應(yīng)選D.1如圖，四棱錐PABCD的底面是直角梯形，ABDC,AB丄BC，且AB=刁CD,側(cè)棱PB丄底面ABCD,PC=5,BC=3,APAB的面積等于6,若平面DPA與平面CPB所成的二面角為a,求a.解析：平面DPA與平面CPB有一公共點(diǎn)P,要畫出它們構(gòu)成的二面角的平面角必須確定它們公共交線，DA和CB的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)E是它們的另一公共點(diǎn)由公理二，PE就是二面角的公共棱有了公共棱，二面角的平面角就生了根.解延長(zhǎng)DA交CB的延長(zhǎng)線于E,連PE，則PE就是平面DPA和平面CPB的交線.ABDC,AB丄BC,D

4、C丄BC,PB丄底面ABCD.PB丄DC,DC丄平面PCE.作CF丄PE于F,連DF由三垂線定理得PE丄DF,ZDFC=a.1VAB=CD,PC=5,BC=3,PB=4.2ABEB1S=6,AB=3,CD=6,=APABDCEC2EB=3,PE=5.PBEC=CFPE,CF=罟.在直角ADCF中,tanaDCcfa=antan.4評(píng)析：這是一道較難的題，難就難在怎么確定兩相交平面的交線.由公理二交線的唯一性必須找出另一個(gè)公共點(diǎn)，因此本題延長(zhǎng)DA、CB相交于E,確定這個(gè)E點(diǎn)就成了關(guān)鍵.如圖，已知三條射線SA,SB,SC所成的角ZASC=BSC=30,ZASB=45，求平面ASC與平面BSC所成二

5、面角的大小.解析：在SC上任取一點(diǎn)D,過D作平面DEF垂直于SC，分別交平面SAC、SBC、SAB于DE、DF、EF,則ZEDF是二面角ASCB的平面角，令SD=3.VZASC=30,A在RtASED中，DE=1,SE=2.同理DF=1,SF=2.在ASEF中，依余弦定理EF2=8-4f2.在ADEF中，cosZEDF=22-3,又-1V2、邁3V0.二面角ASCB的平面角ZEDF=arccos(22-3)=n-arccos(3-2邁)說明本例給出了一個(gè)構(gòu)造二面角的平面角的方法，過棱上一點(diǎn)作棱的垂面，這樣在計(jì)算時(shí)同時(shí)取特殊值可以使問題簡(jiǎn)單化.如圖，二面角aDCB是a度的二面角，A為a上一定點(diǎn)，

6、且AADC面積為S,DC=a,過點(diǎn)A作直線AB,使AB丄DC且與半平面B成30。的角，求a變化時(shí)，ADBC面積的最大值.12S解析：在。內(nèi)作，則AE為AADC的高，則有嚴(yán)心S沁，AE=.由于DC丄AE，DC丄AB,則有DC丄AAEB所在的平面，所以DC丄BE,則ZAEB是二面角aDCB的平面角，即ZAEB=a.又由于DC丄AAEB所在平面，且DC在B上，所以平面B丄AAEB所在平面.令A(yù)F丄BE于F,則有AF丄平面B,于是，F(xiàn)B是AB在平面B上的射影，所以ZABE是AB與B所成的角.ZABE=30在AAEB中，有EBsin(a+30。)AEsin30EB=sin(a+304S、14S據(jù)題意，有

7、aG(0,180),當(dāng)a=60。時(shí)，有EB=，這時(shí)(S)=a=maxaADBCmax2a2S.說明本例對(duì)直線與直線所成的角，直線與平面所成的角，二面角的平面角，點(diǎn)到直線的距離，點(diǎn)到平面的距離等概念以及三垂線定理和逆定理的考察是很深刻的，綜合了直線與平面這一章的一些主要知識(shí).如圖，設(shè)平面AC與平面BD相交于BC，它們所成的一個(gè)二面角為45,PG平面AC,QW平面BD，已知直線MQ是直線PQ在平面BD內(nèi)的射影，且M在BC上，又直線PQ與平面BD所成的角為B,ZCMQ=e,(0090)，設(shè)線段PM=a，求PQ的長(zhǎng).解析：在APMQ中因?yàn)镻M=a,ZPQM=B,欲求PQ的長(zhǎng)，根據(jù)正弦定理只要能求出si

8、nZPMR就行了.解設(shè)PMR=a，作PR丄MQ于R，顯然PR丄平面BD.作RN丄BC于N,連PN，則PN丄BC.：ZPNR=45,ZPQM=B.在直角APMR中：PR=asina,MR=acosa.在直角AMNR中：NR=MRsin9=acosasin9.PR=NR,.asina=acosasine.1sin0.tana=sin9,cosa=,sina=1+sin201+sin20在APMQ中由正弦定理:a=PQsinBsinaasinaasin0PQ=sin卩sinBrl+sin20評(píng)析：本題是利用正弦定理通過解斜三角形求出PQ的長(zhǎng)，當(dāng)然也可以通過三個(gè)直角三角形中的關(guān)系轉(zhuǎn)換，先出求PR,最后

9、在直角APQR中利用銳角函數(shù)處理，相比之下，還是給出的解法略為簡(jiǎn)便些.有一個(gè)三棱錐和一個(gè)四棱錐，棱長(zhǎng)都相等，將它們一個(gè)側(cè)面重疊后，還有幾個(gè)暴露面？解析：有5個(gè)暴露面.如圖所示，過V作VSZAB，則四邊形S，ABV為平行四邊形，有ZSZVA=ZVAB=60，從而ASVA為等邊三角形，同理ASVD也是等邊三角形，從而ASAD也是等邊三角形，得到以AVAD為底，以S與S重合.1VABCD=3SABCM152設(shè)N是BC的中點(diǎn)，則MN丄BC,MN二CM2-CN2.15114-1=11111，從而SABCM=2X2X=故V=1再羊.ABCD326這表明AVAB與AVSA共面，AVCD與AVSD共面，故共有

10、5個(gè)暴露面.若四面體各棱長(zhǎng)是1或2,且該四面體不是正四面體，則其體積的值.（只須寫出一個(gè)可能的值）解析：該題的顯著特點(diǎn)是結(jié)論發(fā)散而不惟一本題表面上是考查錐體求積公式這個(gè)知識(shí)點(diǎn),實(shí)際上主要考查由所給條件構(gòu)造一個(gè)四面體的能力，首先得考慮每個(gè)面的三條棱是如何構(gòu)成的.排除1,1,2,可得1,1,1,1,2,2,2,2,2,然后由這三類面在空間構(gòu)造滿足條件的一個(gè)四面體，再求其體積.由平時(shí)所見的題目，至少可構(gòu)造出二類滿足條件的四面體，五條邊為2,另一邊為1,對(duì)棱相等的四面體.對(duì)于五條邊為2,另一邊為1的四面體，參看圖1所示，設(shè)AD=1，取AD的中點(diǎn)為M,平面BCM把三棱錐分成兩個(gè)三棱錐，由對(duì)稱性可知AD丄

11、面BCM,且=，所以AD.對(duì)于對(duì)棱相等的四面體，可參見圖2.其體積的計(jì)算可先將其置于一個(gè)長(zhǎng)方體之中，再用長(zhǎng)方體的體積減去四個(gè)小三棱錐的體積來進(jìn)行.亦可套公式V=x.;(a2+b2-c2)(b2+c2-a2)(c2+a2-b2)，不妨令a=b=2,c=1，則V=-v(4+4-1)(4+1-4)(1+4-4)12湖結(jié)冰時(shí)，一個(gè)球漂在其上，取出后(未弄破冰)，冰面上留下了一個(gè)直徑為24cm，深為8cm的空穴，求該球的半徑.解析：設(shè)球的半徑為R,依題意知截面圓的半徑r=12，球心與截面的距離為d=R-8,由截面性質(zhì)得：r2+d2=R2,即122+(R8)2=R2.得R=13該球半徑為13cm.在有陽光

12、時(shí)，一根長(zhǎng)為3米的旗軒垂直于水平地面，它的影長(zhǎng)為3米，同時(shí)將一個(gè)半徑為3米的球放在這塊水平地面上，如圖所示，求球的陰影部分的面積(結(jié)果用無理數(shù)表角，設(shè)球的陰影部分面積為S，垂直于光線的大圓面積所以S=6n（米2）為S,則Scos30=S，并且S=9n,設(shè)棱錐MABCD的底面是正方形，且MA=MD,MA丄AB，如果AAMD的面積為1,試求能夠放入這個(gè)棱錐的最大球的半徑.解析：TAB丄AD,AB丄MA,:.AB丄平面MAD,由此，面MAD丄面AC.記E是AD的中點(diǎn)，從而ME丄AD.ME丄平面AC,ME丄EF設(shè)球0是與平面MAD、AC、平面MBC都相切的球.不妨設(shè)0W平面MEF,于是0是AMEF的內(nèi)

13、心.2S設(shè)球0的半徑為r,貝則r=MEFEF+EM+MF設(shè)AD=EF=a,TSAAMD1.2、2a當(dāng)且僅當(dāng)a=,即a=“2時(shí)，等號(hào)成立.a2.ME=.MF=aW=2-12：22+2/2a+-a2+()2a飛a.當(dāng)AD=ME/2時(shí)，滿足條件的球最大半徑為-1.在正方體ABCDABCD中，期棱長(zhǎng)為a.求證BD丄截面AB(2)求點(diǎn)B到截面ABC的距離；nBD丄ACiCibi求BB與截面ABC所成的角的余弦值。(1)證明：DD丄面ABCD1BD丄AC同理BD丄AB.BD丄面ACB.(2)AB=BC=BBnG為AABC的中心.AC=j2a11.BG=(a2_(fa)2=t.a2-6a2=詰a2=(3)Z

14、BB1G為所求GB3a禺cosZBBG二1=1BBa31367已知P為C7ABCD所在平面外一點(diǎn)，M為PB的中點(diǎn)，求證：PD平面MAC.解析：因M為PB的中點(diǎn)，連BDnAC于0后，可將PD縮小平移到M0,可見M0為所求作的平行線.證明連AC交BD于0,連M0,則M0為APED的中位線，.PDM0,TPD平面MAC,M0平面MAC,.PD平面MAC.368如圖，在正方體ABCDA丄B丄C丄。丄中，M,N,E,F分別是棱B丄C丄，a1d1,did,ab的中點(diǎn).（1）求證：AE丄平面ABMN.（2）平面直線A丄E與MF所成的角.解析：（1）要證A丄E丄平面ABMN,只要在平面中找到兩條相交直線與A丄

15、E都垂直，顯然MN與它垂直，這是因?yàn)镸N丄平面A丄ADD丄，另一方面，AN與A丄E是否垂直，這是同一個(gè)平面中的問題，只要畫出平面幾何圖形，用平幾知識(shí)解決.（2）為（1）的應(yīng)用.證明（1）TAB丄平面A丄ADD丄，口而AEu平面A丄ADD,AAB丄A丄E.在平面A丄ADD丄中，A丄E丄AN,VANnAB=A,.A丄E丄平面ABMN.解（2）由（1）知A丄E丄平面ABMN,而MFu平面ABMN,A丄E丄MF,則AE與MF所成的角為90369.如圖，在正方體ABCDAiBiCiD中，M為棱CC丄的中點(diǎn)，AC交BD于點(diǎn)0,求證：A丄0丄平面MBD.解析：要證人丄0丄平面MBD,只要在平面MBD內(nèi)找到兩

16、條相交直線與A,0都垂直，首先想到DB,先觀察A丄0垂直DB嗎？方法1：發(fā)現(xiàn)A丄0平分DB,想到什么？（AA丄DB是否為等腰三角形）VA1D=A1B,D0=0B,人丄0丄DB.方法2：A丄0丄DB嗎？即DB丄A丄0嗎？DB垂直包含A丄0的平面嗎？（易見DB丄平面A丄ACC丄）再觀察A丄0垂直何直線？DM？BM?因這兩條直線與A丄0均異面，故以直接觀察，平面MDB中還有何直線？易想到M0,因M0與A丄0交，它們?cè)谕黄矫鎯?nèi)，這是一個(gè)平幾問題，可畫出平幾圖進(jìn)行觀察.證明取CC丄中點(diǎn)M,連結(jié)M0,TDB丄A丄A,DB丄AC,A丄AnAC=A,cAFBAAiC,2DB丄平面A1ACC1,而AQu平面A

17、.ACC,AA,0丄DB.在矩形A1ACC1中，VtanZAA1O,iiiiii丄丄丄2tanZMOC2,AZAAO=ZMOC，則ZA0A+ZM0C=90,AA0丄0M,TOMn2丄1丄DB=O,AA丄0丄平面MBD.370.點(diǎn)P在線段AB上，且AP:PB=1：2,若A,B到平面a的距離分別為a,b,求點(diǎn)P到平面a的距離.點(diǎn)評(píng)一是畫圖時(shí)，只要畫出如右上圖的平面圖形即可，無需畫出空間圖形；二是對(duì)第(2)種情形，若以平面為“水平面”在其上方的點(diǎn)高度為正，在其下方的點(diǎn)高度為負(fù)，則第(2)種情形的結(jié)論，就是將(1)結(jié)論中的b改為(一b),而無需再畫另一圖形加以求解.若兩直線a與b異面，(A)(C)(B

18、)解析：有且只有一個(gè)有無數(shù)多個(gè)則過a且與b垂直的平面(B)可能存在也可能不存在(D)定不存在若存在，則a丄b,而由條件知，a不一定與b垂直.()在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若E是A&的中點(diǎn)，直線CE垂直于(A)AC(B)BD(C)A1D(D)AR解析：(B)BD丄AC,BD丄CC1，.BD丄平面A1ACC1，.BDICE.定點(diǎn)P不在ABC所在平面內(nèi)，過P作平面a,使ABC的三個(gè)頂點(diǎn)到a的距離相等,這樣的平面共有()(A)1個(gè)(B)2個(gè)(C)3個(gè)(D)4個(gè)解析：D過P作一個(gè)與AB,AC都平行的平面，則它符合要求；設(shè)邊AB,BC,CA的中點(diǎn)分別為E,F,G,則平面PEF符合要求；同理平面

19、PFG，平面PGE符合要求解析：(1)A,B在平面a的同側(cè)時(shí)，P平面a的距離為172a+ba+-b=33(2)A,B在平面a的異側(cè)時(shí)，P平面a的距離為ta+|(-b)N乎I*374.P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，且PA丄平面ABCD,P到B,C,D三點(diǎn)的距離分別是/5,17,v13，則P到A點(diǎn)的距離是(A)(B)2(C)；3(D)4(A)BC=b,PA=h，貝9a2+h2=5,b2+h2=13,a2+b2+h2=17,h=1.解析：設(shè)AB375.線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A,B到平面a的距離分別為6cm,9cm,P在線段AB上,AP：PB=1：2，貝9P到平面a的距離為.解析：7cm或1cm.=a,

20、分A,B在平面的同側(cè)與異側(cè)兩種情況同側(cè)時(shí),p到平面的距離為662+993=7(cm)，異側(cè)時(shí)，P到平面a的距離為66-96丄=1(cm).33376.ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C到平面a的距離分別為2cm,3cm,4cm,且它們?cè)赼的同一側(cè)，貝yABC的重心到平面a的距離為.解析：3cm.3377RtABC中，D是斜邊AB的中點(diǎn)，AC=6,BC=8,EC丄平面ABC,且EC=12，則ED=解析：13.AB=10,.CD=5，貝ED=、：52+122=13.378如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D中，求：AiB與平面A1B1CD所成的角;11B1B在平面A1C1B所成角的正切值.解析：求線面成

21、角，一定要找準(zhǔn)斜線在平面內(nèi)的射影.(1)先找到斜足A1，再找出B在平面A1B1CD內(nèi)的射影，即從B向平面A1B1CD作垂線,定要證明它是平面A；BCD的垂線.1111這里可證BC丄平面ACD,0為垂足，.A卩為A1B在平面A1B1CD上的射影.(2)若將平面D1D1BB豎直放置在正前方，貝A1C橫放在正前方，估計(jì)B1B在平面丫內(nèi)的射影應(yīng)落在0上，這是因?yàn)锳1C丄平面D1DBB1，.故作B1H丄0交于H時(shí)，BH丄A,即H為B在平面A1C.B內(nèi)的射影.另在求此角大小時(shí)，只要求ZBBO1即可.廠解析：（1）如圖，連結(jié)BC1，交B1C于0,連A卩.VAB丄平面BBCC,BCu平面BBCC,.AB丄BC

22、.1111111111又BC丄BC,ABHBC=B,b111111.BC丄平面ABCD,0為垂足,AA10為A1B在平面A1B1CD上的射影，則ZBA10為A1B與平面A1B1CD所成的角.sinZBA0=匹=1,：ZBA0=30.1AB21（2）連結(jié)AC交BD于0,連B0,111111作BH丄B0于H.TAC丄平面DDBB,.AC丄BH.111111111又BH丄BO,ACHB0=0,.BH丄平面ACB,111111111Z.ZB1B0為B1B與平面A1C1B所成的角，tanZB1B0=甘，即B1B與平面A所成的角的正切值為中1379RtAABC中，ZC=90,BC=36，若平面ABC外一點(diǎn)

23、P與平面A,B,C三點(diǎn)等距離，且P到平面ABC的距離為80,M為AC的中點(diǎn).(1)求證：PM丄AC；求P到直線AC的距離；求PM與平面ABC所成角的正切值.解析：點(diǎn)P到AABC的三個(gè)頂點(diǎn)等距離，則P在平面ABC內(nèi)的射影為ABC的外心，而AABC為直角三角形，其外心為斜邊的中點(diǎn).證明（1）TPA=PC,M是AC中點(diǎn)，PM丄AC解（2）TBC=36,.MH=18，又PH=80,.PM=“PH2+MH2802+182=82，即P到直線AC的距離為82；(3).PM=PB=PC,P在平面ABC內(nèi)的射線為ABC的外心,ZC=90P在平面ABC內(nèi)的射線為AB的中點(diǎn)H。.PH丄平面ABC,HM為PM在平面A

24、BC上的射影，則ZPMH為PM與平面ABC所成的角,.tanZPMH=PHMH8040189380如圖，在正四面體ABCD中。各面都是全等的正三角形的四面體，M為AD的中點(diǎn)，求CM與平面BCD所成角的余弦值.解析：要作出CM在平面BCD內(nèi)的射影，關(guān)鍵是作出M在平面BCD內(nèi)的射影，而M為AD的中點(diǎn)，故只需觀察A在平面BCD內(nèi)的射影，至此問題解法已明朗.解作AO丄平面BCD于0,連D0,作MN丄平面BCD于N,則NGOD.設(shè)AD=a，貝90D=-a=a，:AO=vAD2OD2=a，:MN3233屁a.6又.CM=a,.CN=：CM2MN2=a=a.2126CM與平面BCD所成角的余弦值為CM斗.3

25、81.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D中，M是棱kA的中點(diǎn)，N在AB上,且AN:NB=1：3,求證：CM丄MN.解析：在空間中作出兩條直線垂直相對(duì)較在平面內(nèi)作兩條直線垂直難.此題qM與MN是相交直線，一種方法可通過勾股定理來驗(yàn)證它是否垂直，另一方法為：因MN是平面A1ABB1內(nèi)的一條直線，可考慮Mq在平面A1ABB內(nèi)的射影.證明1設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,則MN=a,4TOC o 1-5 h za33a41CM=a2+a2+()2=a,CN=、a2+a2+()2=a,122144MN2+MC2=NC2,.CM丄MN.Li111證明2連結(jié)BM,VCB丄平面AABB,.BM為CM在平面AABB上的

26、射影.設(shè)棱長(zhǎng)為a,VAN=丄a,AM=丄a，:tanZAMN=丄，22又tanZABM=1，則ZAMN=ZABM,ABM丄MN,112111由三垂線定理知，C1M丄MN.382如圖，ABCD為直角梯形，ZDAB=ZABC=90,AB=BC=a,AD=2a,PA丄平面ABCD,PA=a.求證：PC丄CD；求點(diǎn)B到直線PC的距離.解析：(1)要證PC與CD垂直，只要證明AC與CD垂直，可按實(shí)際情形畫出底面圖形進(jìn)行證明.(2)從B向直線PC作垂直，可利用PBC求高，但需求出三邊，并判斷其形狀(事實(shí)上，這里的ZPBC=90)；另一種重要的思想是：因PC在平面PAC中，而所作BH為平面PAC的斜線，故關(guān)

27、鍵在于找出B在平面PAC內(nèi)的射影，因平面PAC處于“豎直狀態(tài)”則只要從B作“水平”的垂線，可見也只要從B向AC作垂線便可得其射影.證明（1）取AD的中點(diǎn)E,連AC,CE,則ABCE是正方形，ACED為等腰直角三角形.AC丄CD,TPA丄平面ABCD,AC為PC在平面ABCD上的射影，：PC丄CD；解（2）連BE交AC于0,則BE丄AC,又BE丄PA,ACnPA=A,BE丄平面PAC.過0作0H丄PC于H,連BH，則BH丄PC.VPA=a,AC=J2a,PC=q3a，貝90H=1a2a23a*B0=a，:BH=BO2+OH2=a23383四面體ABCD的四個(gè)面中，是直角三角形的面至多有1個(gè)2個(gè)（

28、C）3個(gè)（D）4個(gè)解析：（D）設(shè)底面為直角三角形，從底面的一個(gè)銳角頂點(diǎn)作平面的垂線，則這樣的四面體的每個(gè)面都是直角三角形.384.直角三角形ABC的斜邊AB在平面a內(nèi)，直角頂點(diǎn)C在平面a外，C在平面a內(nèi)的射影為q,且c嚴(yán)ab,9Aciab為（）（A）銳角三角形（B）直角三角形（C）鈍角三角形（D）以上都不對(duì)解析：（C）C1A2+C1B2FQ=|pc|“2“/3FQ=-PBPC=pb3=FQ=FE11J二EF止CBE=EQ=jBC注要充分注意平面幾何中的知識(shí)(如本題中三角形重心性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)等)在證題中的運(yùn)用。390已知aGB二C,ab,aua,buB,Aea,AE丄b于E,AF丄c于F,

29、求證：a丄EF解析：ba,b,aua,ba又buB,aAB=cbc,又AF丄cAF丄b又AE丄b,AEGAF=AZ.b丄平面AEFabEFu平面AEFa丄EF391.如圖，AABC為銳角三角形，PA丄平面ABC,A點(diǎn)在平面PBC上的射影為H,求：H不可能是APBC的垂心.H解析：連結(jié)CH,則CH是AC在平面PBC內(nèi)的射影，若H為垂心，則CH丄PB，由三垂線定理得AC丄PB，又PA丄平面ABC,PA丄AC,AC丄平面PAB,從而AC丄AB與厶ABC為銳角三P角形矛盾，故H不可能是垂心.392.如圖，BCD是等腰直角三角形，斜邊CD的長(zhǎng)等于點(diǎn)P到BCA的距離，D是P在平面BCD上的射影.（1）求P

30、B與平面BCD所成角；（2）求BP與平面PCD所成的角解析：（1）PD丄平面BCD,BD是PB在平面BCD內(nèi)的射影，ZPBD為PB與平面BCD所成角,BD丄BC,由三垂線定理得BC丄BD,：BP=CD，設(shè)BC=a，則BD=a,BP=CD2a.在RtBPD中,cosZDBP5P=45,即PB與平面BCD所成角為45.（2）過B作BE丄CD于E,連結(jié)PE，PD丄平面BCD得PD丄BE,BE丄平面PCD，2ZBPE為BP與平面PCD所成的角，在RtABEP中，BE=a,BP=2a,ZBPE=30即BP與平面PCD所成角為30.B393.小。解析：如圖，斜正四棱錐的一個(gè)對(duì)角面與一個(gè)側(cè)面的面積之比為:2

31、，求側(cè)面與底面所成的角的大在APBC中，S=ahAPBC2C高為h，底面中心為0,連P0,貝yP0丄底面ABCD,P0丄AC,在APAC中，AC=邁a,PO=h，12S二AC-PO二ahAPAC22.S:S一-ah:APACAPBC21_2ahj2h：hJ6：2h:h=：3:2.取BC中點(diǎn)E,連OE,PE,可證ZPEO即為側(cè)面與底面所成兩面角的平面角。亠亠POh昭在R/POE中,sinZpEO=pE5二兀兀.*.ZPEO=，即側(cè)面與底面所成的角為.394.如右圖，斜三棱柱ABCA1B1C1中，A&丄BC】，AB丄AC,AB=3,AC=2，側(cè)棱與底面成60角。求證：AC丄面ABC】；求證：C1點(diǎn)

32、在平面ABC上的射影H在直線AB上;求此三棱柱體積的最小值。解析：(1)由棱柱性質(zhì)，可知A1C1/ACVA1C1丄BC1，.AC丄BC1，又VAC丄AB,.AC丄平面ABC1由(1)知AC丄平面ABC1，又ACu平面ABC,平面ABC丄平面ABC1在平面ABC1內(nèi)，過C1作C1H丄AB于H,則C1H丄平面ABC,故點(diǎn)C1在平面ABC上的射影H在直線AB上。連結(jié)HC,由(2)知C1H丄平面ABC,zqcH就是側(cè)棱CC1與底面所成的角，5HAZCCH=60,C1H=CHtan60=、：3CHV棱柱=SAABC-C1H=2ABxACxC1H=1x3x2八玄H=3、ECHVCA丄AB,：CHAC=2，

33、所以棱柱體積最小值3弋3x2=6：3。395.已知直三棱柱ABCABC中，ZACB=9Oo,ZBAC=3O。，BC=1,AAj屈,求證：AB丄AMo11解析：因結(jié)論是線線垂直，可考慮用三垂線定理或逆定理VZACB=900ZACB=900111即BC丄CA1111又由CC丄平面ABC得：CC丄BC1111111BC丄平面AACC1111Aq為AB在平面AA1C1C的射影由三垂線定理，下證A丄a1m即可在矩形AACC中，AC=AC=、W,AA=CC=l6111111M為CC中點(diǎn),v6_.MC2、込AC3V2CA一昌一2AAv62111.MCACCAAA111RtAACMsR仏AACZ1=Z2又Z2

34、+Z3=90。Z1+Z3=90oAC丄AM11AB丄AM11評(píng)注：利用三垂線定理的關(guān)鍵是找到基本面后找平面的垂線396-正三棱柱ABCA1b1C1的底面邊長(zhǎng)為a，在側(cè)棱BB1上截取BD=i，在側(cè)棱CC1上截取CE=a111八過A、D、E作棱柱的截面ADE（1）求厶ADE的面積；（2）求證：平面ADE丄平面ACCA。解析：分別在三個(gè)側(cè)面內(nèi)求出ade的邊長(zhǎng)11AE=*2a,AD二a,DE=JBC2+（EC一BD）2截面ADE為等腰三角形衛(wèi)2+(|)21526S=-AE-h-xi2a(a)2-(a)2-a22224(2)7底面ABC丄側(cè)面AACCABC邊AC上的高BM丄側(cè)面AaCC下設(shè)法把bm平移到

35、平面aed中去11取AE中點(diǎn)N,連MN、DN/MN絲1EC,BD絲1EC一2一2DB01MN絲BDDNBMDN丄平面AACC平面ADE丄平面AACC397.斜三棱柱ABCA；B；C中，底面是邊長(zhǎng)為4cm的正三角形，側(cè)棱A%與底面兩邊AB、AC均成60。的角，AA1=71111（1）求證：AA；丄BC；（2）求斜三棱柱ABCA1B1C的全面積；（3）求斜三棱柱ABCAq的體積；（4）求aA到側(cè)面BBCC的距離。111111解析：設(shè)Ai在平面ABC上的射影為0/ZAAB=ZAAC110在zbac的平行線am上/abc為正三角形AM丄BC又AM為AiA在平面ABC上的射影aaibC12）込LSSAB-AAsinZAAB4x7x14丫3AACCAABB1121111/BBAA11B1B丄BC,即側(cè)面BB1C1C為矩形ISBB1C1C=4X7=28又S=Sx42=4掃AABCAABC4S全=143X2+28+43X2=28+363(cm2)3)VcosZAAB=cosZAAOcosZOAB11cosZAABcos603cosZAAO=1=-1cosZOABcos3036sinZAAO二 HYPERLINK l bookmark10 o Current Document 13AO=AAsinZAAO=7j611131*0U:.V=SAO二23X42X-v6=28j2(c