大學(xué)《大學(xué)物理》第8章 振動

1、第8章 振動振動的概念振動也稱振蕩。在力學(xué)中，振動是指物體圍繞某個平衡位置作周期性往復(fù)的運(yùn)動，又稱機(jī)械振動。 廣義的說，任何一個物理量在某一確定值附近的反復(fù)變化都可稱為振動，如電磁振動，交流電中電流、電壓的反復(fù)變化等。物體作機(jī)械振動時，來回往復(fù)的運(yùn)動軌跡，最簡單的是一條直線，稱為直線振動。在平面或空間的復(fù)來振動，都可以認(rèn)為是由多個直線振動疊加而成的。在直線振動中，最基本最常見的振動是簡諧振動，任何復(fù)雜的振動，都可認(rèn)為是由多個簡諧振動合成的。物體運(yùn)動時，如果離開平衡位置的位移（或角位移）按余弦函數(shù)（或正弦函數(shù)的規(guī)律隨時間變化，這種運(yùn)動就叫簡諧振動。 x = Acos(t + ) 或 x = As

2、in(t + )6.1 簡諧振動的描述 1. 簡諧振動的定義 2. 描述簡諧運(yùn)動的特征量x = Acos(t+) 振幅 A： 角頻率:初相 由于簡諧運(yùn)動的數(shù)學(xué)表達(dá)式是三角函數(shù)形式，所以，只要確定三個特征量就可以確定簡諧運(yùn)動的數(shù)學(xué)表達(dá)式.3、簡諧振動的速度、加速度簡諧振動的位移簡諧振動的速度簡諧振動的加速度諧振動的速度、加速度式中 vm=A , am=2A 分別為速度，加速度的振幅，v,a 均為諧振動，v 比x相位超前/2，a與x反相。旋轉(zhuǎn)矢量圖示法（相量圖法）簡諧振動可以用一個旋轉(zhuǎn)矢量來描述，有助于了解諧振動表達(dá)式中 A,的物理意義。質(zhì)點(diǎn) m 以角速度做勻速圓周運(yùn)動，其位矢在x軸上的分量或投影

3、為：yxtA-AOxm 稱為振幅矢量x = A cos (t + )旋轉(zhuǎn)矢量法OOAAXXOjM ( 0 )Aj初相wM ( t )twtwM ( t )twM ( t )twM ( t )M ( t )twM ( t )twM (T )Tw周期 TM ( t )twM ( t )twXOjM ( 0 )j初相M ( t )twAw矢量端點(diǎn)在X 軸上的投影對應(yīng)振子的位置坐標(biāo)OOt 時刻的振動相位(w tj )F旋轉(zhuǎn)矢量A以勻角速w逆時針轉(zhuǎn)動循環(huán)往復(fù)x = A cos (w tj )簡諧振動方程A 振幅：是質(zhì)點(diǎn)離開平衡位置的最大幅度，即最大位移，它的大小表征振動的強(qiáng)弱。描述簡諧振動的三個特征量x

4、 = A cos (t + )yxtA-AOxm角速度：又稱圓頻率，表征振幅矢量旋轉(zhuǎn)的快慢，也即振動的快慢。yxtA-AOxm又稱為系統(tǒng)的固有角頻率在單位時間內(nèi)完成完全振動的次數(shù)稱為頻率 v所以 是矢量 旋轉(zhuǎn)一周，即質(zhì)點(diǎn)完成一次完全振動所需的時間，稱為周期 T 又稱為系統(tǒng)的固有周期v 的單位為1/秒 (s-1)，稱為赫茲 ( Hz ) 的單位為 rad/s 或 s-1t+相位：決定了質(zhì)點(diǎn)在t時刻的振動狀態(tài),t = 0時的相位 稱為初相位,簡稱初相。yxtA-AOxm單位 弧度(rad)。相位相差2整數(shù)倍時質(zhì)點(diǎn)的振動狀態(tài)相同。x = A cos (t + + 2k) = A cos (t + )

5、相差2 1 ， 振動（1）比振動（2）超前或振動（2）比振動（1）落后；2- 1=0 或 2的整數(shù)倍，也即的偶數(shù)倍，稱這兩個振動為同相。x1x22- 1=或的寄數(shù)倍，稱這兩個振動為反相。 x2x1由初始條件確定振幅 A 和初相初始條件由此解得練習(xí)：p201,習(xí)題17.1（1）（2）練習(xí)：p202,習(xí)題17.5練習(xí)：已知物體沿X軸作簡諧運(yùn)動，振幅A=0.12m，周期T=2s。t=0時，物體背離原點(diǎn)移動到x0=0.06m處。求初相，t=0.5s時的位置、速度和加速度解：設(shè)振動方程為t=0時又物體背離原點(diǎn)移動到x0處即所求振動方程為速度為加速度為t=0.5s時ww1j2j21OX2x0 x10v01

6、v02A1A2w2pT練習(xí)：兩質(zhì)點(diǎn)1,2在x軸上做簡諧運(yùn)動，振幅相同，周期均為T=8.5s。t=0時，質(zhì)點(diǎn)1在 處向平衡點(diǎn)運(yùn)動，質(zhì)點(diǎn)2在-A處向平衡點(diǎn)運(yùn)動。22A求：（1）兩質(zhì)點(diǎn)的相位差；（2）兩質(zhì)點(diǎn)第一次經(jīng)過平衡位置的時刻解：設(shè)振動方程為ww1j2j21OX2x0 x10v01v02A1A2w2pT相量圖為t=0時相位差為：從相量圖中可看出ww1j2j21OX2x0 x10v01v02A1A2w2pTA1轉(zhuǎn)過/4，質(zhì)點(diǎn)1第一次通過平衡點(diǎn)，時刻為A2轉(zhuǎn)過/2，質(zhì)點(diǎn)2第一次通過平衡點(diǎn)，時刻為6.2 簡諧運(yùn)動的動力學(xué) 組成物質(zhì)的分子、原子間的相互作用在很多情況下都可以用一個彈簧振子的振動來描述。

7、不考慮彈簧的質(zhì)量和任何摩擦，彈簧振子的振動是一種典型的簡諧振動。 1. 彈簧振子模型胡克定律給出彈簧的恢復(fù)力mxO由牛頓第二定律 2. 簡諧振動的動力學(xué)方程令是簡諧振動的動力學(xué)方程，其解為x = Acos(t + ) 或 x = Asin(t + )式中 A , 為待定積分常量。習(xí)慣上用余弦形式。動力學(xué)角度：若質(zhì)點(diǎn)受的力與位移成正比，方向相反，則該質(zhì)點(diǎn)的振動稱為簡諧振動。運(yùn)動學(xué)角度：若質(zhì)點(diǎn)加速度與位移成正比，方向相反，則稱為簡諧振動。 a=-2x廣義地講，任何物理量的變化滿足下面的微分方程都稱為簡諧振動。 簡諧振動的判據(jù)例：彈簧振子的質(zhì)量m=510-3kg，k=210-4N/m。t=0時，X0

8、=0,V0=0.4m/s。求振動方程解：設(shè)振動方程為t=0時又所求振動方程為練習(xí)題：勁度系數(shù)分別為k1和k2的兩個輕彈簧串聯(lián)在一起，下面掛著質(zhì)量為m的物體，構(gòu)成一個豎掛的彈簧振子，則該系統(tǒng)的振動周期為 (A) (B) (C) (D) 解：兩個輕彈簧可以等效為一個輕彈簧設(shè)兩個輕彈簧的伸長分別為x1和x2, 等效輕彈簧的伸長為x,則另得選（D）五、簡諧振動實(shí)例系統(tǒng)所受力矩角加速度 1. 單擺令 有 較小時（ ）則 單擺作簡諧振動。對單擺的另一種處理方法 擺球所受合力擺球切向角加速度 ft（ 時）稱為準(zhǔn)彈性力有 復(fù)擺（物理擺）的振動對比諧振動方程知：但若做小幅度擺動 即當(dāng)由轉(zhuǎn)動定律得動力學(xué)方程一般情

9、況不是簡諧振動時滿足的方程：振動的物理量 固有圓頻率角位移振動表達(dá)式對比練習(xí)題：一質(zhì)點(diǎn)作簡諧振動其振動曲線如圖所示根據(jù)此圖，它的周期T =_，用余弦函數(shù)描述時初相 =_解：設(shè)振動方程為由圖知：t=0時取故：由圖周期為初相為合矢量 A 將與矢量 A1 與 A2 一起以角速度轉(zhuǎn)動。21A2A1Ax2x1xxy1. 同一直線上兩個同頻率簡諧振動的合成6 簡諧振動的疊加即在同一直線上兩個同頻簡諧振動的合振動，仍是一個同頻率的簡諧振動。21A2A1Ax2x1xxy兩個特例AA2A1tx, k = 0，1 ，2， 兩分振動同相 合振幅最大。問題：A1 = A2 時，合振動情況如何？AA1-A2tx, k = 0，1 ，2， 兩分振動反相 合振幅最小。例：一物體同時參與兩個同方向的簡諧振動： (SI), 求此物體的振動方程 (SI)解：設(shè)合成運(yùn)動（簡諧振動）的振動方程為 則 代入，得 1272.22 rad 以 A1 = 0.04 m，A2 =0.03 cm，2. 同一直線上 n 個同頻率簡諧振動的合成在軸上的個同頻率簡諧振動合成的相量圖