排列組合+概率統(tǒng)計

1、.分類計數(shù)原理(加法原理)N=m+m+m.TOC o 1-5 h z12.分步計數(shù)原理(乘法原理)N=m義m義xm.12n.排列數(shù)公式5n!Am=n(n-1)(n-m+1)=.(n,mN*,且m“n-m+1)n!Cm=f=(nGN*,meN，且mn).nAm1x2x“xmm!(n-m)!m.組合數(shù)的兩個性質(zhì)Cm=Cn-m；nnCm+Cm-1=Cm.nnn+1注:規(guī)定C01.n.組合恒等式n-m+1CmCm-1;nmnnCmCm；nn-mn-1nCmCm-1；nmn-1XC=2n；nr0Cr+Cr+Cr+CrCr+1.rr+1r+2nn+1TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bo

2、okmark35 C0+C1+C2+Cr+Cn2n.nnnnnC1+C3+C5+C0+C2+C4+2n-1.nnnnnnC1+2C2+3C3+nCnn2n-1.nnnnCrC0+Cr-1C1+C0rCrCr.mnmnmnm+n HYPERLINK l bookmark37 (C0)2+(C1)2+(C2)2+(Cn)2Cn. HYPERLINK l bookmark30 nnnn2n.排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系A(chǔ)m=m!-Cm.nn單條件排列以下各條的大前提是從n個元素中取m個元素的排列.（1）“在位”與“不在位”某（特）元必在某位有Am-1種；某（特）元不在某位有Am-Am-I（補集思想）n-1n

3、n-1=AlAm-1（著眼位置）=Am+AlAmT（著眼元素）種.n-1n-1n-1m-1n-1（2）緊貼與插空（即相鄰與不相鄰）定位緊貼：k（kmn）個元在固定位的排列有AkAm-卜種.kn-k浮動緊貼：n個元素的全排列把個元排在一起的排法有An-k+1Ak種.注：此類問題n-k+1k常用捆綁法；插空：兩組元素分別有、個（km+1時，無解；當(dāng)n.2!3!4!n!推廣n個元素與n個位置，其中至少有m個元素錯位的不同組合總數(shù)為f(n,m)=n!-C1(n-1)+C2(n-2)!-C3(n-3)!+C4(n-4)!mHIm11+(1)。(一,)!+m=n!1-不定方程x+m-+m-m-+A1A2A

4、2nnnHlCp+(1)Pm-+ApnCm+(l)mm-Amn方程x1(2)方程x1(3)方程x112x2+2+=m的解的個數(shù)nx=m(n,mgN*)的正整數(shù)解有Cn1個.III的非負(fù)整數(shù)解有C2HIn-1nxnxnm1)的非負(fù)整數(shù)解有)滿足條件xkiCn1個.n+m1kgN*個.(4)方程x1+2的正整數(shù)解有Cn-1m+1-(n-2)(k-1)x=mn+m1n2nCn-1m+nk2(n,mgN+C2Cn-1)滿足條件xkin2m+n2k3kgN*2in1+(-l)n-2Cn-2Cn-1個.n2m+1(n2)k12.二項式定理(+b)n=C0an+C1an-1b+C2an-2b2+-Cran-

5、rbr+-Cnbn;二項展開式的通項公式1T=Cran-rbr(r=0,1，2，n).r+1n.等可能性事件的概率P(A)=m.n.互斥事件A，B分別發(fā)生的概率的和P(AB)=P(A)P(B).n個互斥事件分別發(fā)生的概率的和P(A1+A2HHAn)=P(A1)+P(A2)HHP(An).獨立事件A,B同時發(fā)生的概率P(AB)=P(A)P(B).n個獨立事件同時發(fā)生的概率P(A1A2An)=P(A)P(Az)P(An).n次獨立重復(fù)試驗中某事件恰好發(fā)生k次的概率P(k)=CkPk(1P)nk.第三章概率3.1.13.1.2隨機事件的概率及概率的意義1、基本概念：（）必然事件：在條件下，一定會發(fā)生

6、的事件，叫相對于條件的必然事件；（）不可能事件：在條件下，一定不會發(fā)生的事件，叫相對于條件的不可能事件；（）確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對于條件的確定事件；（）隨機事件：在條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫相對于條件的隨機事件;（）頻數(shù)與頻率：在相同的條件下重復(fù)次試驗，觀察某一事件是否出現(xiàn)，稱次試nA.驗中事件出現(xiàn)的次數(shù)為事件出現(xiàn)的頻數(shù)；稱事件出現(xiàn)的比例n為事件出現(xiàn)的概率：對于給定的隨機事件，如果隨著試驗次數(shù)的增加，事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定在某個常數(shù)上，把這個常數(shù)記作（），稱為事件的概率。（）頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系：隨機事件的頻率，指此事件發(fā)生的次數(shù)與試驗總次數(shù)nA的比值了，它具有一定的

7、穩(wěn)定性，總在某個常數(shù)附近擺動，且隨著試驗次數(shù)的不斷增多，這種擺動幅度越來越小。我們把這個常數(shù)叫做隨機事件的概率，概率從數(shù)量上反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大小。頻率在大量重復(fù)試驗的前提下可以近似地作為這個事件的概率3.1.3概率的基本性質(zhì)1、基本概念：（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件（）若n為不可能事件，即n也，那么稱事件與事件互斥；（）若n為不可能事件，u為必然事件，那么稱事件與事件互為對立事件；（）當(dāng)事件與互斥時，滿足加法公式：u；若事件與為對立事件，則u為必然事件，所以u，于是有一2、概率的基本性質(zhì)：）必然事件概率為，不可能事件概率為，因此WW；）當(dāng)事件與互斥時，滿足加法公式：u

8、；）若事件與為對立事件，則u為必然事件，所以u，于是有一；）互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系，互斥事件是指事件與事件在一次試驗中不會同時發(fā)生，其具體包括三種不同的情形：（）事件發(fā)生且事件不發(fā)生；（）事件不發(fā)生且事件發(fā)生；（）事件與事件同時不發(fā)生，而對立事件是指事件與事件有且僅有一個發(fā)生，其包括兩種情形；（）事件發(fā)生不發(fā)生；（）事件發(fā)生事件不發(fā)生，對立事件互斥事件的特殊情形。3.2.13.2.2古典概型及隨機數(shù)的產(chǎn)生1、（1）古典概型的使用條件：試驗結(jié)果的有限性和所有結(jié)果的等可能性。（2）古典概型的解題步驟；求出總的基本事件數(shù)；A包含的基本事件數(shù)求出事件所包含的基本事件數(shù)，然后利用公式（）總的基本

9、事件個數(shù)3.3.13.3.2幾何概型及均勻隨機數(shù)的產(chǎn)生1、基本概念：（1）幾何概率模型：如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型；（2）幾何概型的概率公式：構(gòu)成事件的區(qū)域長度（面積或體積）（）試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度（面積或體積）;（1）幾何概型的特點：1）試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（基本事件）有無限多個；2）每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等第二章統(tǒng)計2.1.1簡單隨機抽樣1總體和樣本在統(tǒng)計學(xué)中,把研究對象的全體叫做總體把每個研究對象叫做個體把總體中個體的總數(shù)叫做總體容量.為了研究總體R的有關(guān)性質(zhì)，一般從總體中隨機抽取一部分：，研究，

10、我們稱它為樣本.其中個體的個數(shù)稱為樣本容量.簡單隨機抽樣，也叫純隨機抽樣。就是從總體中不加任何分組、劃類、排隊等，完全隨機地抽取調(diào)查單位。特點是：每個樣本單位被抽中的可能性相同（概率相等），樣本的每個單位完全獨立，彼此間無一定的關(guān)聯(lián)性和排斥性。簡單隨機抽樣是其它各種抽樣形式的基礎(chǔ)。通常只是在總體單位之間差異程度較小和數(shù)目較少時，才采用這種方法。簡單隨機抽樣常用的方法：（1）抽簽法；隨機數(shù)表法；計算機模擬法；使用統(tǒng)計軟件直接抽取。在簡單隨機抽樣的樣本容量設(shè)計中，主要考慮：總體變異情況；允許誤差范圍；概率保證程度。4抽簽法:（1）給調(diào)查對象群體中的每一個對象編號；（2）準(zhǔn)備抽簽的工具，實施抽簽（3

11、）對樣本中的每一個個體進行測量或調(diào)查例：請調(diào)查你所在的學(xué)校的學(xué)生做喜歡的體育活動情況。5隨機數(shù)表法：例：利用隨機數(shù)表在所在的班級中抽取10位同學(xué)參加某項活動。2.1.2系統(tǒng)抽樣1系統(tǒng)抽樣（等距抽樣或機械抽樣）：把總體的單位進行排序，再計算出抽樣距離，然后按照這一固定的抽樣距離抽取樣本。第一個樣本采用簡單隨機抽樣的辦法抽取。（抽樣距離）（總體規(guī)模）（樣本規(guī)模）前提條件：總體中個體的排列對于研究的變量來說，應(yīng)是隨機的，即不存在某種與研究變量相關(guān)的規(guī)則分布。可以在調(diào)查允許的條件下，從不同的樣本開始抽樣，對比幾次樣本的特點。如果有明顯差別，說明樣本在總體中的分布承某種循環(huán)性規(guī)律，且這種循環(huán)和抽樣距離重

12、合。2系統(tǒng)抽樣，即等距抽樣是實際中最為常用的抽樣方法之一。因為它對抽樣框的要求較低，實施也比較簡單。更為重要的是，如果有某種與調(diào)查指標(biāo)相關(guān)的輔助變量可供使用，總體單元按輔助變量的大小順序排隊的話，使用系統(tǒng)抽樣可以大大提高估計精度。2.1.3分層抽樣1分層抽樣（類型抽樣）：先將總體中的所有單位按照某種特征或標(biāo)志（性別、年齡等）劃分成若干類型或?qū)哟危缓笤僭诟鱾€類型或?qū)哟沃胁捎煤唵坞S機抽樣或系用抽樣的辦法抽取一個子樣本，最后，將這些子樣本合起來構(gòu)成總體的樣本。兩種方法：1先以分層變量將總體劃分為若干層，再按照各層在總體中的比例從各層中抽取。2先以分層變量將總體劃分為若干層，再將各層中的元素按分層的

13、順序整齊排列，最后用系統(tǒng)抽樣的方法抽取樣本。2分層抽樣是把異質(zhì)性較強的總體分成一個個同質(zhì)性較強的子總體，再抽取不同的子總體中的樣本分別代表該子總體，所有的樣本進而代表總體。分層標(biāo)準(zhǔn)：（1）以調(diào)查所要分析和研究的主要變量或相關(guān)的變量作為分層的標(biāo)準(zhǔn)。（2）以保證各層內(nèi)部同質(zhì)性強、各層之間異質(zhì)性強、突出總體內(nèi)在結(jié)構(gòu)的變量作為分層變量。（3）以那些有明顯分層區(qū)分的變量作為分層變量。3分層的比例問題：（1）按比例分層抽樣：根據(jù)各種類型或?qū)哟沃械膯挝粩?shù)目占總體單位數(shù)目的比重來抽取子樣本的方法。（2）不按比例分層抽樣：有的層次在總體中的比重太小，其樣本量就會非常少，此時采用該方法，主要是便于對不同層次的子總

14、體進行專門研究或進行相互比較。如果要用樣本資料推斷總體時，則需要先對各層的數(shù)據(jù)資料進行加權(quán)處理，調(diào)整樣本中各層的比例，使數(shù)據(jù)恢復(fù)到總體中各層實際的比例結(jié)構(gòu)。2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征TOC o 1-5 h z-X+XHFXX=2n1、本均值：n（XX）2+（XX）2FF（XX）2S=qs2=:-12n2、.樣本標(biāo)準(zhǔn)差：、n3用樣本估計總體時，如果抽樣的方法比較合理，那么樣本可以反映總體的信息，但從樣本得到的信息會有偏差。在隨機抽樣中，這種偏差是不可避免的。雖然我們用樣本數(shù)據(jù)得到的分布、均值和標(biāo)準(zhǔn)差并不是總體的真正的分布、均值和標(biāo)準(zhǔn)差，而只是一個估計，但這種估計是合理的，特別是當(dāng)樣本量很大時，它們確實反映了總體的信息。4.（1）如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個共同的常數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差不變（2）如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)乘以一個共同的常數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差變?yōu)樵瓉淼谋叮?）一組數(shù)據(jù)中的最大值和最小值對標(biāo)準(zhǔn)差的影響，區(qū)間（X3s,X+3s）的應(yīng)用；“去掉一個最高分，去掉一個最低分”中的科學(xué)道理2.3.2兩個變量的線性相關(guān)1、概念:（1）回歸直線方程（2）回歸系數(shù).最小二乘法.直線回歸方程的應(yīng)用(1)描述兩變