圓錐曲線焦點(diǎn)三角形推導(dǎo)

1、212 # 解：在PFF中，設(shè),FPF=a，12121=r，1|PF|=r，由余弦定理得即rr122b21cosa橢圓焦點(diǎn)三角形1橢圓焦點(diǎn)三角形定義及面積公式推導(dǎo)（1）定義：如圖1,橢圓上一點(diǎn)與橢圓的兩個焦點(diǎn)F,F構(gòu)成的三角形PFF1212稱之為橢圓焦點(diǎn)三角形（2）面積公式推導(dǎo)PFrrcosa=2b2rr1212212 # #212 1.12b2.7sinayaS=rrsina=xxsina=b2=b2tanPF1F221221cosa1+cosa2例1焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2的橢圓4924=1上有一m，若MF1-MF2=0，求MF1F2的面積解:/MF-MF=0,12SMF1F2b2tana24ta

2、j9=24r2212例2.在橢圓的乂蘭=1（ab0）中，F(xiàn),F是它的兩個焦點(diǎn)，B是短軸的a2b2一個端點(diǎn)，M是橢圓上異于頂點(diǎn)的點(diǎn)，求證：，F(xiàn)BF,FMF.1212證明：如圖2，設(shè)M的縱坐標(biāo)為y，0SBF1F2b2tanFBFFMFi2b2tan1222FBFFMF艮卩tani缶tani2,22又LFBF，-FMF都是銳角,212212故丄FBF丄FMF2122120從而有FBFFMF12122雙曲線焦點(diǎn)三角形定義及面積公式推導(dǎo)（1）定義：如圖3,雙曲線上一點(diǎn)P與雙曲線的兩個焦點(diǎn)F,F構(gòu)成的三角12形PFF稱之為雙曲線焦點(diǎn)三角形.12解：在PFF中，設(shè)FPF_a,PF_r,|PF|_r,由余弦定

3、理得121211I2丨2PF2+PF2FF2r2+r2(2c)2COS_1212_13rrcosa_rr2b21212即rr122b21cosSPF1F2.12b2.7sin7_rrsin二一xxsina_b2=b2cot.1221cos1cos2例3、已知雙曲線16x29y2_144，設(shè)F,F是雙曲線得兩個焦點(diǎn).點(diǎn)P在12雙曲線上，PF-PF_32,求FPF的大小.（2）面積公式推導(dǎo)：212 # #212 # #解：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為壬-話_212 S=1PFI，IPFIsinZFPF=132sinZFPF=16sinZFPF,PF22121221212從而有16sinZFPF=16cot，件2=16sinZ件2,1221一cosZFPF1一cosZFPF12cosZFPF=0,12ZFPF=90。12例4：橢圓扌+冷=1與雙曲線彳-y2=1的公共焦點(diǎn)為F1,F2，p是兩曲線的一個交點(diǎn)，求cosZFPF的值.12解：在橢圓和雙曲線中異算PFF面積12T2tan=S2a1tan2=，22PF1F2a=1cot,2cosa二a11tan212=_2=11+tan21+1322開拓：從上例我們不難發(fā)現(xiàn)，若橢圓工+卷=吧b0）和雙曲線1a21X21=1(a0,b0)有公共的焦點(diǎn)F,F和公共點(diǎn)P，那么PFF的面積a2b222