高中數(shù)學人教A版高中必修1第一章集合與函數(shù)概念-描點法Plus

1、描點法Plus教學設計成都樹德中學 鄧連康一、教學內容解析1. 本課的地位與作用函數(shù)是貫穿整個高中數(shù)學的核心內容，而函數(shù)圖象是函數(shù)的主要表達方式，所以函數(shù)圖象及圖象的應用在高中數(shù)學中占有很重要的地位。函數(shù)圖象是函數(shù)概念及其性質的重要內容，也是為后續(xù)學習函數(shù)的零點、方程的根、解不等式等內容打下基礎。2. 本課內容剖析本節(jié)課主要是討論怎么作出復雜函數(shù)圖象。函數(shù)圖象本身是由點構成，所以描點法是基礎。連點成線的過程中，線怎么連是本節(jié)課主要討論解決的問題。進而需要確定函數(shù)的性質，利用函數(shù)性質，結合描點法作函數(shù)圖象是本節(jié)課的重點內容，即描點法升級版，稱之為描點法Plus二、學生學情分析本節(jié)課授課對象是高一

2、年級學生。學生已知的函數(shù)圖象是：一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象。作函數(shù)圖象的基本方法是描點法。對常用函數(shù)的圖象和性質比較熟悉，在通過這段時間對函數(shù)的學習，可以探究部分函數(shù)的一般性質，比如單調性，最值，奇偶性。還沒有經(jīng)歷過畫出一個稍微復雜函數(shù)的圖象，獨立畫出復雜函數(shù)圖象還是有很大困難。三、教學目標設置1.教學目標：利用函數(shù)性質結合描點法作出函數(shù)圖象，構建函數(shù)圖象作圖的一般步驟。2.目標解析：（1）描點法是函數(shù)作圖基本方法。隨著高中數(shù)學的深入學習，需要作出更加準確的函數(shù)圖象。除了分析函數(shù)的單調性、值域、奇偶性等性質，還需要分析特殊點、特殊線等特殊性質。再結合描點法作出函數(shù)圖象。（2）研究函數(shù)

3、的性質比較困難，通過學生獨立分析，老師引導，利用所學知識研究函數(shù)性質。（3）利用函數(shù)性質作圖過程中，注意函數(shù)圖象的特殊線、特殊點，這是本節(jié)課的難點。通過學生自主探究，相互討論，數(shù)值計算等方式讓學生認識漸近線。四、教學策略分析本節(jié)課的教學策略主要采用問答式、自主探究的教學方式。因為每位同學的知識、能力不同，認識問題的習慣和特點也不同，所以本節(jié)課的部分教學過程不是封閉的、靜態(tài)的，而是動態(tài)的、開放的。充分發(fā)揮學生的主觀能動性，調動學生探索未知的積極性，有利于學生學習探究能力的發(fā)展。五、課前準備教具:多媒體（投影儀）、PPT課件、翻頁筆、希沃手機助手，直尺。學具:草稿本、直尺、鉛筆、畫圖和演示用的A4

4、紙。課前思考：已知，需要畫出函數(shù)的圖象，你有哪些思考，請結合你的思考畫出函數(shù)圖象。六、教學過程結合以上分析,本課的教學環(huán)節(jié)擬分為三環(huán)節(jié),教學流程及大致時間分配如下：詩與遠方（4分鐘）數(shù)學與思（30分鐘）數(shù)學與詩（6分鐘）教學內容師生活動設計意圖數(shù)學與詩詩情畫境猜一猜：每個圖象分別對應哪一句詩？華羅庚教授數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難入微。數(shù)形結合百般好，割裂分家萬事非。老師：同學們，高中的學習生涯已經(jīng)拉開帷幕，我們學習函數(shù)也有一段時間了，請回想我們主要學習了函數(shù)的哪些知識？學生：函數(shù)三要素：定義域，對應關系，值域；函數(shù)性質：單調性，最值，奇偶性。老師：在學習函數(shù)

5、的相關概念時，為了更好的理解概念，常用三種語言表示概念，還記得三種語言是指哪三種語言？學生：圖形語言，文字語言，符號語言。老師：非常好。數(shù)學概念的學習過程，實際上是圖形語言、文字語言，符號語言互相轉化和內化的過程。三種語言各有特點。我們牙牙學語的時候就開始接觸文字語言，中國的語言文化更是沉淀了幾千年，并且積累了大量的經(jīng)典文學著作。我們熟悉的唐代詩人王之渙的名作登鸛雀樓就是其中之一。老師：詩句以文字語言向讀者表達情境，數(shù)學老師我分別用四個數(shù)學圖象表達四句詩中的意境，請同學們猜一猜每個圖象分別對應哪一句詩？學生：很快指出第三句和第四句對應的圖象，第一二句可以稍作討論。老師：以上四個數(shù)學圖象能夠將詩

6、句中的意境直觀的表達。每一組圖象，都是先已知解析式，再作出相應的圖象。例如，看到熟知的高斯函數(shù)，請回想它的圖象是怎樣畫出來的？學生：高斯函數(shù)本質上是分段函數(shù)，寫出分段函數(shù)的解析式（PPT展示分段函數(shù)解析式），然后作出圖象。老師：那第一句和第二句對應的函數(shù)圖象又是怎樣畫出來？學生：不清楚。老師：這兩個函數(shù)我們都還沒有學習，所以現(xiàn)在還不能回答這個問題。但是作出函數(shù)圖象，結合解析式在研究函數(shù)性質、方程、不等式等問題中有著重要的作用。這正是數(shù)形結合思想。數(shù)學家華羅庚教授還專門作了一首詩。老師：既然數(shù)形結合如此好，那這節(jié)課就先探究函數(shù)的形，即：函數(shù)圖象怎么畫？讓學生感受圖象表達的直觀性。說明探究函數(shù)圖象

7、作圖的必要性，為下一個環(huán)節(jié)做鋪墊。（二）數(shù)學與思探究1：課前思考：已知，若要畫出函數(shù)圖象，你有哪些思考，請結合思考畫出函數(shù)圖象。描點法函數(shù)性質+描點法問題分析函數(shù)解析式，判斷函數(shù)圖象是否關于軸對稱？奇偶性：偶函數(shù)。問題：分析函數(shù)解析式，判斷函數(shù)圖象在是不是下降的？寫出分析過程。單調性與最值：在單調遞減，無最小值問題：，函數(shù)圖象在下降，函數(shù)圖象是一直在軸上方，還是穿過軸？數(shù)值計算：23456710100漸近線：函數(shù)圖象：問題：在上，函數(shù)圖象下降的速度由快到慢，下降速度的快慢又與函數(shù)的什么性質有關？探究1小結描點法Plus老師：課前給同學們布置了思考問題，同學們都完成了嗎？左側板書：1、學生：完成

8、了。老師：我們一起看看這幾位同學的完成的情況。展臺展示：展示四位學生的函數(shù)圖象。老師：首先不談圖象的對與錯，我們先看看圖象是否規(guī)范：注意：關注：作圖工具；坐標軸及原點標識，平滑曲線連點等。老師：同學們再來看看這四位同學畫對了嗎？學生：不知道/不確定/對了。老師：數(shù)學是理學，有嚴密的分析過程，就能得到準確的結論。下面就請這幾位同學說一說他們怎么畫出這個函數(shù)圖象的。學生：用描點法畫出的函數(shù)圖象。老師：很好，描點法是作圖的基本方法。還有其他的思考嗎？學生：先描點法作出一些特殊的點，然后再分析函數(shù)性質，結合性質再作出函數(shù)圖象。老師：這位同學先分析函數(shù)性質，再結合描點法作出函數(shù)圖象，你為什么想到要去分析

9、函數(shù)性質呢？學生：比如說如果知道函數(shù)的單調性，就可以知道函數(shù)圖象是上升還是下降。（若學生回答較困難，老師可以引導）（老師：比如說知道函數(shù)的單調性，就可以知道函數(shù)圖象的什么特點？學生：圖象是上升還是下降）老師：回答的非常好，知道函數(shù)的性質可以知道函數(shù)圖象有什么特點。剛才看到同學們畫的函數(shù)圖象都是關于軸對稱的，那首先就來檢驗這個圖象特點是否正確，請同學們完成以下問題。性質1：奇偶性問題分析函數(shù)解析式，判斷圖象是否關于軸對稱？學生：是的。老師：你是通過函數(shù)什么性質判斷的？學生：是偶函數(shù)。老師：你又是怎樣判斷是偶函數(shù)的？學生：定義法。右側板書：，偶函數(shù)。老師：很好！定義法是判函數(shù)奇偶性的基本方法，說明

10、同學們基本概念很清楚。還有不同的方法嗎？學生：奇偶性的運算。老師：非常好，奇偶性運算法也是非常重要而且好用的方法。老師：通過分析，函數(shù)圖象是關于軸對稱的。老師：既然函數(shù)圖象關于軸對稱，我們就可以只研究軸右側的函數(shù)圖象怎么畫。即只需要畫出函數(shù)在上的圖象。研究范圍就縮小一半，作圖也就更加的簡單。性質2：單調性與最值老師：再看看這幾位同學們的圖象，在軸右側都是下降的。接下來就檢驗這個圖象特點正確與否，請同學們完成以下問題。問題：分析函數(shù)解析式，判斷函數(shù)在的圖象是不是下降的？寫出分析過程。學生：是。老師：你是通過函數(shù)的什么性質判斷的？學生：單調性，函數(shù)在上單調遞減。老師：你又是怎么判斷函數(shù)在上單調遞減

11、的？學生：定義法。老師手機拍照展示，學生簡述。（或者學生說老師板書）老師：很好，定義法是判函數(shù)單調的基本法。還有不同的方法嗎？學生：復合函數(shù)法。老師手機拍照展示并點評，學生簡述，老師簡評（或者學生說老師板書）。老師：非常好，復合函數(shù)能夠判斷一些復雜函數(shù)的單調性，是判斷函數(shù)單調性的常用方法。雖然方法不同，但是都得到同一個結論。PPT展示：在單調遞減老師：清楚了函數(shù)的單調性，就可以順其自然的得到函數(shù)的另一個重要性質，是什么性質？學生：函數(shù)最大值，最小值。PPT展示：，無最小值老師：同學們分析了函數(shù)的奇偶性，單調性，最值。再看看這幾位同學畫的函數(shù)圖象草圖大致對了嗎？學生：分析，判斷出哪些是與性質明顯

12、矛盾的，哪些是與性質完全符合的，并且檢驗自己的圖象。但是，圖象在下降，圖象是否穿過軸是學生的困惑點。性質3：漸近線老師：到此時此刻，同學們再次看到這幾個函數(shù)圖象，心中還有無困惑？學生1：有，函數(shù)圖象在下降，函數(shù)圖象是一直在軸上方，還是穿過軸呢？老師：這個問題很好。請同學們共同討論回答這個問題。學生2：沒有。老師：老師我有一個困惑，已知，函數(shù)圖象在下降，為什么函數(shù)圖象是一直在軸上方，而不是穿過軸？請同學們互相討論回答問題。問題：，函數(shù)圖象在下降，函數(shù)圖象是一直在軸上方，還是穿過軸？學生1：，所以圖象一直在軸上方（右側板書）學生2：，方程無解，所以圖象與軸無交點，且一直在軸上方（右側板書）。老師：

13、回答正確，而且非常妙的用了數(shù)形結合思想。正如華羅庚教授說的“形少數(shù)時難入微，數(shù)形結合百般好”，同學討論了函數(shù)值和零的大小關系（或方程是否有根），知道了函數(shù)圖象一直在軸上方。老師：并且通過具體的數(shù)值計算，當增大時，函數(shù)值漸漸接近于零，但是永遠不等于零。PPT展示：數(shù)值計算：23456710100老師：這說明隨著增大，函數(shù)圖象無限靠近軸，且永不相交。此時稱：軸，即：是函數(shù)圖象的漸近線。用幾何畫板畫出函數(shù)圖象如下。PPT展示：老師：同學們看到這個函數(shù)圖象，還有困惑嗎？學生1：有：函數(shù)圖象下降的速度由快到慢，而不是由慢到快。圖象下降的速度快慢又與函數(shù)的什么性質有關呢？老師：這個問題非常好，同學觀察的很

14、細致。但這個問題需要我們有更多的知識積累才能回答，如果有提前學習導數(shù)相關知識的同學，可以在課后探究。學生2：沒有。老師：我們從圖象中還看到，函數(shù)圖象下降的速度由快到慢，而不是由慢到快。圖象下降的速度快慢又與函數(shù)的什么性質有關呢？問題：在上，函數(shù)圖象下降的速度由快到慢，下降速度的快慢又與函數(shù)的什么性質有關？學生：不知道。老師：這個問題需要我們有更多的知識積累才能回答，若有提前學習導數(shù)相關知識的同學，可以在課后探究。探究1小結老師：以前我們常觀察函數(shù)圖象研究函數(shù)性質。今天我們先研究函數(shù)性質，再以描點法為基礎，結合函數(shù)性質作出函數(shù)圖象。這就是描點法的升級版，即：描點法Plus。根據(jù)以上的過程，用思維

15、導圖總結描點法Plus作圖的步驟如下。PPT展示：通過對課前的思考，作圖，以及這里再次對問題深入探究，讓學生體會僅用描點法作圖的局限性。進而通過研究函數(shù)性質，通過性質再去作函數(shù)圖象，體會描點法的升級版。探究2：已知，按描點法Plus作圖步驟畫出函數(shù)圖象：分析并寫出函數(shù)的性質，結合函數(shù)性質畫出函數(shù)圖象。函數(shù)圖象：老師：實踐是檢驗真理的唯一標準。接下來請同學們獨立完成下面的探究2。學生：研究函數(shù)性質，并寫出過程，然后再結合描點法作出函數(shù)圖象。學生：首先分析函數(shù)的奇偶性，得到函數(shù)是奇函數(shù)學生：接著分析函數(shù)的單調性，可能用定義法，和復合函數(shù)法兩法。若大部分學生一開始就選擇定義法，因為定義法的有計算的難

16、度，老師可適當引導學生用復合函數(shù)法。老師：用展臺按描點法Plus作圖步驟順序直播學生分析過程和畫圖過程。四位同學每位同學直播一個完整的階段，大致分為對稱性、單調性與最值，漸近線，作圖四個階段。并拍照最后的結果。PPT展示：一位同學的分析過程和作出的函數(shù)圖象。老師：我們一起看看這位同學的解答。并且請這位同學講解整個分析性質和作圖過程。學生：上講臺，根據(jù)自己的作圖過程講解。學生分析函數(shù)性質結果：（1）（2）是奇函數(shù)（3）在單調遞增，在單調遞減，無最小值（4）漸近線：注意：若學生對于函數(shù)性質回答的很全面，則進入幾何畫板展示階段。若學生可能回答不全面（漸近線），讓其他同學進行補充。老師：同學完成的非常

17、好。函數(shù)奇偶性、單調性、最值很清楚，而且分析出了函數(shù)有漸近線。最終作出了圖象。最后用我們幾何畫板作圖檢驗。PPT展示：幾何畫板作出的函數(shù)圖象老師：看來同學們已經(jīng)能畫出一些復雜函數(shù)的函數(shù)圖象，已經(jīng)完成了這節(jié)課的學習目標，把最熱烈的掌聲送給你們自己。檢驗學生對描點法Plus的掌握情況。有一定的困難。能夠運用描點法Plus作出函數(shù)圖象是本節(jié)課的重要目標。（三）思與遠方課堂小結：函數(shù)作圖方法草圖不草函數(shù)草圖不草率定義性質先掛帥冷靜細致有慢快切記點線要裝怪老師：學海無涯，學無止境。作函數(shù)圖象，除了今天學習的“描點法Plus”之外，今后還要學習“圖象變換法”PPT展示：思維導圖：函數(shù)圖象的作法：（1）描點法Plus，（2）圖象變換法老師：最后我們用一首詩