高中數(shù)學(xué)人教A版高中選修2-1第二章圓錐曲線與方程-橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

1、課 題：橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（第一課時(shí)）教 材：人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū) 數(shù)學(xué) 選修2-1 教學(xué)內(nèi)容分析：橢圓的定義是一種發(fā)生性定義，教學(xué)內(nèi)容屬概念性知識(shí)，是通過(guò)描述橢圓形成過(guò)程進(jìn)行定義的。作為橢圓本質(zhì)屬性的揭示和橢圓方程建立的基石，理應(yīng)作為本堂課的教學(xué)重點(diǎn)。 同時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程作為今后研究橢圓性質(zhì)的根本依據(jù)，自然成為本節(jié)課的另一教學(xué)重點(diǎn)。 學(xué)生對(duì)“曲線與方程”的內(nèi)在聯(lián)系(數(shù)形結(jié)合思想的具體表現(xiàn))僅在“圓的方程”一節(jié)中有過(guò)一次感性認(rèn)識(shí)。 但由于學(xué)生比較了解圓的性質(zhì)，從“曲線與方程”的內(nèi)在聯(lián)系角度來(lái)看，學(xué)生并未真正有所感受。所以，橢圓定義和橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的聯(lián)系成為了本堂課的教學(xué)難點(diǎn)。圓錐曲線

2、是平面解析幾何研究的主要對(duì)象。圓錐曲線的有關(guān)知識(shí)不僅在生產(chǎn)、日常生活和科學(xué)技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，而且是今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。教科書(shū)以橢圓為學(xué)習(xí)圓錐曲線的開(kāi)始和重點(diǎn)，并以之來(lái)介紹求圓錐曲線方程和利用方程討論幾何性質(zhì)的一般方法，可見(jiàn)本節(jié)內(nèi)容所處的重要地位。通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，學(xué)生一方面認(rèn)識(shí)到一般橢圓與圓的區(qū)別與聯(lián)系，另一方面也為后面利用方程研究橢圓的幾何性質(zhì)以及為學(xué)生類比橢圓的研究過(guò)程和方法，學(xué)習(xí)雙曲線、拋物線奠定了基礎(chǔ)。學(xué)習(xí)過(guò)程啟發(fā)學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題，善于思考，學(xué)會(huì)分析問(wèn)題和創(chuàng)造地解決問(wèn)題；培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力和邏輯思維能力。教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)與技能目標(biāo)：(1)學(xué)生能掌握橢圓的定義,明確焦點(diǎn)、

3、焦距的概念；(2)學(xué)生能推導(dǎo)并掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(3)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中進(jìn)一步感受曲線方程的概念，體會(huì)建立曲線方程的基本方法，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題。過(guò)程與方法目標(biāo)： (1)學(xué)生通過(guò)經(jīng)歷橢圓形成的情境感知橢圓的定義并親自參與歸納培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律、認(rèn)識(shí)規(guī)律的能力；(2)學(xué)生類比圓的方程的推導(dǎo)過(guò)程嘗試推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，培養(yǎng)學(xué)生利用已知方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力；(3)在橢圓定義的獲得和其標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程中進(jìn)一步滲透數(shù)形結(jié)合等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法。情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：(1)通過(guò)橢圓定義的獲得讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際生活的密切聯(lián)系培養(yǎng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)知識(shí)的興趣并感受數(shù)學(xué)美的熏陶；(2)通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)

4、方程的推導(dǎo)培養(yǎng)學(xué)生觀察,運(yùn)算能力和求簡(jiǎn)意識(shí)并能懂得欣賞數(shù)學(xué)的“簡(jiǎn)潔美”；(3)通過(guò)師生、生生的合作學(xué)習(xí)，增強(qiáng)學(xué)生團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力的培養(yǎng)，增強(qiáng)主動(dòng)與他人合作交流的意識(shí)。教學(xué)重點(diǎn)：橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)難點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)學(xué)情分析：在學(xué)習(xí)本課橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程前，學(xué)生已學(xué)習(xí)了直線與圓的方程，對(duì)曲線和方程的概念有了一些了解與運(yùn)用的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)用坐標(biāo)法研究幾何問(wèn)題也有了初步的認(rèn)識(shí)。因此，我們可以充分相信：在教師的合理引導(dǎo)下學(xué)生有獨(dú)立探究有關(guān)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題的知識(shí)基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)能力。但由于學(xué)生學(xué)習(xí)解析幾何時(shí)間還不長(zhǎng)、學(xué)習(xí)程度也較淺，且受高二這一年齡段學(xué)習(xí)心理和認(rèn)知結(jié)構(gòu)的影響，在學(xué)習(xí)過(guò)程中難免會(huì)有些困難。如：由于學(xué)生

5、對(duì)坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題掌握還不夠，故從研究圓到橢圓，學(xué)生思維上會(huì)存在一定障礙。教法分析：通過(guò)對(duì)學(xué)情的分析，制定教法.在橢圓的定義形成環(huán)節(jié)，采用類比的方法和實(shí)驗(yàn)教學(xué)法；在標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)過(guò)程中采用合作教學(xué)法；并通過(guò)多媒體輔助教學(xué)，提高教學(xué)質(zhì)量。學(xué)法分析：本節(jié)課以問(wèn)題為載體，以學(xué)生活動(dòng)為主線，讓學(xué)生在實(shí)驗(yàn)中分析，在類比中發(fā)現(xiàn)，在思考中概括。在探究中獲取新知，幫助學(xué)生逐步形成自主探究、合作交流的學(xué)習(xí)方式.教學(xué)流程設(shè)計(jì)：創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課回顧舊知，類比猜想(動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，親身體會(huì)小組討論，形成定義合作探究，推導(dǎo)方程注重本質(zhì)，理解方程)自我評(píng)價(jià)，反饋調(diào)節(jié)初步應(yīng)用，強(qiáng)化理解歸納總結(jié)，提煉升華布置作業(yè)，課后鞏固教學(xué)過(guò)

6、程：一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課展示生活中橢圓圖片，由生活中的橢圓引出課題首先讓學(xué)生明確本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)，同時(shí)教師板書(shū)標(biāo)題：橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程二、回顧舊知，類比猜想1讓學(xué)生直觀認(rèn)識(shí)橢圓（動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，親身體會(huì)）類比圓的畫(huà)法，導(dǎo)出橢圓的畫(huà)法：將細(xì)繩的兩端固定在硬紙板上的兩點(diǎn)，當(dāng)繩長(zhǎng)大于兩點(diǎn)間的距離時(shí)，用鉛筆把繩子拉緊，使鉛筆在紙板上慢慢移動(dòng)，畫(huà)出一個(gè)橢圓。2橢圓的定義（1）教師提出問(wèn)題在上面的作圖過(guò)程中，哪些量是不變的，哪些量是變化的？（兩個(gè)定點(diǎn)及繩長(zhǎng)是不變的，點(diǎn)的位置是運(yùn)動(dòng)變化的）在此基礎(chǔ)上，請(qǐng)學(xué)生闡述“繩長(zhǎng)不變”的意義。（2）學(xué)生概括橢圓的定義（小組討論，形成定義）平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（大

7、于）的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距。教學(xué)預(yù)案：若學(xué)生將定義敘述為“與兩個(gè)定點(diǎn)、的距離的和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓”，這時(shí)教師要說(shuō)明橢圓是平面圖形，故應(yīng)在前面加上“平面內(nèi)”三個(gè)字然后與學(xué)生共同探討“滿足平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)、的距離的和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是否一定是橢圓？”由此引發(fā)學(xué)生大膽質(zhì)疑、推理教師再通過(guò)計(jì)算機(jī)課件演示支持質(zhì)疑，說(shuō)明若這個(gè)常數(shù)等于，則點(diǎn)的軌跡是線段；若這個(gè)常數(shù)小于，則點(diǎn)的軌跡不存在；若這個(gè)常數(shù)大于，則點(diǎn)的軌跡是橢圓所以要使軌跡是橢圓，必須添加條件：“此常數(shù)大于”（3）強(qiáng)調(diào)定義的條件強(qiáng)調(diào)“平面內(nèi)”三個(gè)字不可少，條件“常數(shù)大于”不可缺總結(jié)：常

8、數(shù)大于橢圓；常數(shù)等于線段；常數(shù)小于無(wú)軌跡例1 已知兩定點(diǎn)且動(dòng)點(diǎn)分別滿足下列條件時(shí)的軌跡是什么？解：（1）線段；（2）橢圓；（3）無(wú)軌跡3.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（合作探究，推導(dǎo)方程）（1）復(fù)習(xí)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的基本步驟（由學(xué)生回答，不正確的教師給予糾正）（2）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的探求（由學(xué)生自己畫(huà)的橢圓展示兩種情況，即焦點(diǎn)落在x軸與焦點(diǎn)落在y軸兩種情況；設(shè)點(diǎn)；列式分兩種情況；學(xué)生分組化簡(jiǎn)出最后結(jié)果）（）建系以兩定點(diǎn)、所在的直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系（如圖1）可以看出對(duì)稱性，設(shè)，則，（）設(shè)點(diǎn)設(shè)為橢圓上的任意一點(diǎn)，與、的距離的和等于()由定義得到橢圓上點(diǎn)的集合為（）列式（限制條件）將條件

9、式代數(shù)化，得 （*）（）化簡(jiǎn)（代入化簡(jiǎn)）先讓學(xué)生各自在練習(xí)本上自行化簡(jiǎn)，教師巡視若學(xué)生采用兩次平方的方法化簡(jiǎn)，最后應(yīng)得到 （* *）在此過(guò)程中，教師一邊巡視，一邊給予指導(dǎo)和提示，最后學(xué)生講解化解過(guò)程，教師給予評(píng)價(jià)的引入由橢圓的定義可知，,，讓點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到軸正半軸上（如圖2），由學(xué)生觀察圖形自行獲得，的幾何意義，進(jìn)而自然引進(jìn)，此時(shí)，于是得，兩邊同時(shí)除以，得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（3）標(biāo)準(zhǔn)方程的說(shuō)明（注重本質(zhì)，理解方程）（1）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式：左邊是兩個(gè)分式的平方和，右邊是1.（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中三個(gè)參數(shù)a、b、c滿足a=b+c.（3）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以求出三個(gè)參數(shù)a、b、c的值.（4）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

10、中，x2與y2的分母哪一個(gè)大焦點(diǎn)在那一個(gè)軸上.三、自我評(píng)價(jià)，反饋調(diào)節(jié)練習(xí)1 填空 （口答訓(xùn)練）(1)若，則a 5 ，b 3 ，c= 4 .(2)若，則a 3 ，b ，c= .(3)如果橢圓上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F2的距離為6,則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)F1的距離是_4_.練習(xí)2 判斷下列橢圓的焦點(diǎn)位置，并說(shuō)出焦點(diǎn)坐標(biāo)、焦距.（1） （2）解：(1)焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)(0,1)、(0,-1)，焦距為2.焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)、，焦距為.四、初步應(yīng)用，強(qiáng)化理解例2 求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是、，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)分析：對(duì)于此題有兩種解題思路.思路1：利用待定系數(shù)法，由已知得橢圓焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)出相應(yīng)

11、標(biāo)準(zhǔn)方程，再結(jié)合化簡(jiǎn)求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；思路2：利用橢圓定義（橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)、的距離之和為常數(shù)）求出值，再結(jié)合已知條件和、間的關(guān)系求出的值，進(jìn)而寫(xiě)出標(biāo)準(zhǔn)方程，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為要求教師板書(shū)示范。歸納總結(jié)，提煉升華標(biāo)準(zhǔn)方程不同點(diǎn)圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)相同點(diǎn)定義平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡,b,c的關(guān)系焦點(diǎn)位置的判斷分母哪個(gè)更大，焦點(diǎn)就在那個(gè)軸上六、課后作業(yè)，鞏固提高1必做題：教材P49 1，22思考題：方程 什么時(shí)候表示橢圓？什么時(shí)候表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓？什么時(shí)候表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓？七、板書(shū)設(shè)計(jì)：橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程一、定義：M|MF1|+|MF2|=2a（2a |F1F

12、2|)二、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在X軸上： 在Y軸上：圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)電子白板放映PPT例1的解題過(guò)程（思路2）教學(xué)反思這節(jié)課由同學(xué)們熟悉的生活中的橢圓，引入新課，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。通過(guò)復(fù)習(xí)圓的相關(guān)知識(shí)，讓同學(xué)們類比圓的畫(huà)法畫(huà)出橢圓，根據(jù)動(dòng)手實(shí)踐與觀察幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)圖，由小組討論得出橢圓的定義，并由教師強(qiáng)調(diào)相關(guān)細(xì)節(jié)問(wèn)題。然后復(fù)習(xí)求解曲線與方程的一般步驟，推到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。由于建坐標(biāo)系時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)可能位于X軸也可能位于Y軸，因此需要分類討論。同學(xué)們比較容易根據(jù)橢圓的定義列出兩個(gè)方程，但在化簡(jiǎn)中存在一定困難，因此，我將同學(xué)們分成兩組，并在教師指導(dǎo)下，分別化簡(jiǎn)兩個(gè)方程，得出橢圓的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程，并分析兩類標(biāo)準(zhǔn)方程的特征。 接下來(lái)，設(shè)計(jì)兩個(gè)練習(xí)題，使同學(xué)們能夠根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程快速得出橢圓的焦點(diǎn)位置位于X軸還是位于Y軸，且說(shuō)出相應(yīng)的的值。設(shè)計(jì)一個(gè)例題，求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，引出求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法，即待定系數(shù)法和定義法。但是由于時(shí)間問(wèn)題，例題沒(méi)能展示。一方面，在橢圓定義形成過(guò)程可稍微縮短一些時(shí)間，另一方面，學(xué)生在化簡(jiǎn)方程過(guò)程中問(wèn)題較多，計(jì)算能力還需進(jìn)一步提高。