南通市2013屆高三第一次到第三次調(diào)研測試數(shù)學(xué)題2013

1、南通市2013屆高三第一次到第三次調(diào)研測試數(shù)學(xué)題2013.8.12填空題 Nt1 9在ABC中，若AB=1，AC=，則= 滿足的A，B，C構(gòu)成直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且A為直角，于是=1 Nt1 10已知，若，且，則的最大值為 -2 Nt1 11曲線在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程為 在方程中，令x=0，則得Nt1 13已知直線y=ax+3與圓相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在直線y=2x上，且PA=PB,則的取值范圍為 圓心C(-1，0)到直線l：y=ax+3的距離為，解得a0或a 由PA=PB，CA=CB，得PCl，于是，進(jìn)而可求出x0的取值范圍Nt1 14設(shè)P(x，y)為函數(shù)圖象上一動點(diǎn)，記，則當(dāng)m最小

2、時(shí)，點(diǎn) P的坐標(biāo)為 (2，3)法一 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)m取得最小，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為法二 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值Nt2 12. 設(shè)數(shù)列an滿足：，則a1的值大于20的概率為 Nt2 13.設(shè)實(shí)數(shù)x1，x2，x3，x4，x5均不小于1，且x1x2x3x4x5=729，則maxx1x2，x2x3，x3x4，x4x5的最小值是 9 第13題 本題考查不等式的有關(guān)知識與方法. maxx1x2，x2x3，x3x4，x4x5maxx1x2，x3x4，x4x59. 當(dāng)x1= x3= x5=9，x2= x41.Nt2 14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)，B，C是函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，且ABC為正三角形，則ABC的高為 2N

3、t3 11已知函數(shù)是偶函數(shù)，直線與函數(shù)的圖象自左向右依次交于四個(gè)不同點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為考查函數(shù)的圖象與基本性質(zhì)由偶函數(shù)的性質(zhì)，得到由題意知所以，則Nt3 12過點(diǎn)作曲線：的切線，切點(diǎn)為，設(shè)在軸上的投影是點(diǎn)，過點(diǎn)再作曲線的切線，切點(diǎn)為，設(shè)在軸上的投影是點(diǎn)，依次下去，得到第個(gè)切點(diǎn)則點(diǎn)的坐標(biāo)為 設(shè)，則，解得，所以；設(shè)，則，解得，所以；設(shè)，則，解得，所以；，通過歸納可猜想：講評時(shí)提醒學(xué)生本題可推導(dǎo)出是等差數(shù)列用于求解Nt3 13在平面四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AD，BC的中點(diǎn)，且AB，CD若，則的值為 13Nt3 14已知實(shí)數(shù)a1，a2，a3，a4滿足a1a2a3，a1a42a2a4a2，且

4、a1a2a3，則a4的取值范圍是 【答案】14考查一元二次方程，不等式等相關(guān)知識 因?yàn)樗?，消去得，且，兩邊同除以得，解得，所以，解得解答題：Nt1 16.（本題滿分14分）在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，（1）求角C的大??；（2）若ABC的外接圓直徑為1，求的取值范圍解：(1)因?yàn)?，即，所以，?，得 所以，或(不成立)即 , 得 (2)由因， 故= ，故14分Nt1. 18.已知數(shù)列an中，a2=1，前n項(xiàng)和為Sn，且（1）求a1；（2）證明數(shù)列an為等差數(shù)列，并寫出其通項(xiàng)公式；（3）設(shè)，試問是否存在正整數(shù)p，q(其中1pq)，使b1，bp，bq成等比數(shù)列？若存在，求出所有

5、滿足條件的數(shù)組(p，q)；若不存在，說明理由解：(1)令n=1，則a1=S1=0 (2)由，即， 得 ，得 于是， +，得，即 又a1=0，a2=1，a2a1=1，所以，數(shù)列an是以0為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列所以，an=n1 (3)假設(shè)存在正整數(shù)數(shù)組(p，q)，使b1，bp，bq成等比數(shù)列，則lgb1，lgbp，lgbq成等差數(shù)列，于是，所以，()易知(p，q)=(2，3)為方程()的一組解 13分當(dāng)p3，且pN*時(shí)，0，故數(shù)列(p3)為遞減數(shù)列，于是 0，所以f (x)在區(qū)間上只能是單調(diào)增函數(shù)由(x)3(m3)x2 + 90在區(qū)間(，+)上恒成立，所以m3故m的取值范圍是3，) （2）當(dāng)m

6、3時(shí)，f (x)在1，2上是增函數(shù)，所以f (x) maxf (2)8(m3)184,解得m eq f(5,4)3，不合題意，舍去 當(dāng)m3時(shí)，(x)3(m3) x2 + 9=0，得所以f (x)的單調(diào)區(qū)間為：單調(diào)減，單調(diào)增，單調(diào)減當(dāng)，即時(shí)，所以f (x)在區(qū)間1，2上單調(diào)增，f (x) max f(2)8(m3)184，m eq f(5,4)，不滿足題設(shè)要求當(dāng)，即0m時(shí)，f (x) max舍去當(dāng)，即m0時(shí)，則，所以f (x)在區(qū)間1，2上單調(diào)減，f (x) max f (1)m + 64，m2.綜上所述：m2 Nt2 19在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x2+y2r2和直線l：xa（其中r

7、和a均為常數(shù)，且0 r 0，函數(shù)，記（是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），且當(dāng)x = 1時(shí)，取得極小值2（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）證明【解】（1）由題于是，若，則，與有極小值矛盾，所以令，并考慮到，知僅當(dāng)時(shí)，取得極小值所以解得故，由，得，所以的單調(diào)增區(qū)間為（2）因?yàn)?，所以記因?yàn)椋?所以，故Nt3 16在ABC中，角，所對的邊分別為，c已知 （1）求角的大?。唬?）設(shè)，求T的取值范圍解：（1）在ABC中， ， 因?yàn)?，所以?所以， 因?yàn)?，所以?因?yàn)?，所?（2） 因?yàn)椋裕?故，因此， 所以 Nt3 17某單位設(shè)計(jì)的兩種密封玻璃窗如圖所示：圖1是單層玻璃，厚度為8 mm；圖2是雙層中空玻璃厚度均為4 m

8、m，中間留有厚度為的空氣隔層根據(jù)熱傳導(dǎo)知識，對于厚度為的均勻介質(zhì)，兩側(cè)的溫度差為，單位時(shí)間內(nèi)，在單位面積上通過的熱量，其中為熱傳導(dǎo)系數(shù)假定單位時(shí)間內(nèi)，在單位面積上通過每一層玻璃及空氣隔層的熱量相等（注：玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)為，空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)為）（1）設(shè)室內(nèi)，室外溫度均分別為，內(nèi)層玻璃外側(cè)溫度為，外層玻璃內(nèi)側(cè)溫度為， 且試分別求出單層玻璃和雙層中空玻璃單位時(shí)間內(nèi)，在單位面積上通過 的熱量（結(jié)果用，及表示）； （2）為使雙層中空玻璃單位時(shí)間內(nèi)，在單位面積上通過的熱量只有單層玻璃的4%，應(yīng)如何設(shè)計(jì)的大?。繄D1圖2墻墻8T1T2室內(nèi)室外墻墻x4T1T2室內(nèi)室外4（第17題） 解：（1）設(shè)單層玻璃和雙層中

9、空玻璃單位時(shí)間內(nèi)，在單位面積上通過的熱量分別為， 則， （2）由（1）知， 當(dāng)4%時(shí)，解得（mm） 答：當(dāng)mm時(shí)，雙層中空玻璃通過的熱量只有單層玻璃的4% Nt3 18如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率為（第18題）分別過，的兩條弦，相交于點(diǎn)（異于，兩點(diǎn)），且（1）求橢圓的方程；（2）求證：直線，的斜率之和為定值 （1）解：由題意，得，故， 從而， 所以橢圓的方程為 （2）證明：設(shè)直線的方程為， 直線的方程為， 由得，點(diǎn)，的橫坐標(biāo)為， 由得，點(diǎn)，的橫坐標(biāo)為， 記， 則直線，的斜率之和為 Nt3. 19已知數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列 （1）若

10、，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（2）若存在正整數(shù)，使得試比較與的大小，并說明理由解：（1）依題意， 故， 所以， 令， 則， 得， ， 所以 （2）因?yàn)椋?所以，即， 故， 又， 所以 （）當(dāng)時(shí)，由知 ， （）當(dāng)時(shí)，由知 ， 綜上所述，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，Nt3 20設(shè)是定義在的可導(dǎo)函數(shù)，且不恒為0，記若對定義域內(nèi)的每一個(gè)，總有，則稱為“階負(fù)函數(shù)”；若對定義域內(nèi)的每一個(gè)，總有，則稱為“階不減函數(shù)”（為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)）（1）若既是“1階負(fù)函數(shù)”，又是“1階不減函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）對任給的“2階不減函數(shù)”，如果存在常數(shù)，使得恒成立，試判斷是 否為“2階負(fù)函數(shù)”？并說明理由 解：（1）依題意，在上單調(diào)遞增， 故 恒成立，得， 因?yàn)?，所?而當(dāng)時(shí)，顯然在恒成立， 所以 （2）先證： 若不存在正實(shí)數(shù)，使得，則恒成立 假設(shè)存在正