北師大版數學高一必修1練習 4.2實際問題的函數建模

1、2實際問題的函數建模課后篇鞏固提升1.在固定電壓差(電壓為常數)的前提下,當電流通過圓柱形的電線時,其電流強度I(單位:安)與電線半徑r(單位:毫米)的三次方成正比.若已知電流通過半徑為4毫米的電線時,電流強度為320安,則電流通過半徑為3毫米的電線時,電流強度為( )A.60安 B.240安 C.75安 D.135安解析:設比例系數為k,則電流強度I=kr3,由已知可得當r=4時,I=320,故有320=43k,解得k=5,所以I=5r3,則當r=3時,I=533=135(安).答案:D2.某種動物繁殖數量y(單位:只)與繁殖時間x(單位:年)的關系為y=alog2(x+1),設這種動物第一

2、年有100只,則第七年它們發(fā)展到( )A.300只 B.400只 C.500只 D.600只解析:由題意知,當x=1時,y=100,即100=alog22,a=100.y=100log2(x+1).當x=7時,y=100log28=300(只).答案:A3.某中學的研究性學習小組為考察珠江口某小島的濕地開發(fā)情況,從某碼頭乘汽艇出發(fā),沿直線方向勻速開往該島,靠近島時,繞小島環(huán)行兩周后,把汽艇?？堪哆吷习犊疾?然后又乘汽艇沿原航線提速返回.設t為出發(fā)后的某一時刻,s為汽艇與碼頭在時刻t時的距離,下列圖像中能大致表示s=f(t)的函數關系的為( )解析:由題中所述,只有C符合題意.答案:C4.某公司

3、招聘員工,面試人數按擬錄用人數分段計算,計算公式為y=其中x代表擬錄用人數,y代表面試人數,若應聘的面試人數為60,則該公司擬錄用人數為( )A.15 B.40 C.25 D.130解析:令y=60,若4x=60,則x=1510,不合題意;若2x+10=60,則x=25,滿足題意;若1.5x=60,則x=40100,不合題意.故擬錄用人數為25.答案:C5.某產品的總成本y(單位:萬元)與產量x(單位:臺)之間的函數關系是y=3 000+20 x-0.1x2(0 x240,xN),若每臺產品的售價為25萬元,則生產者不虧本時(銷售收入不小于總成本)的最低產量是( )A.100臺 B.120臺

4、C.150臺 D.180臺解析:由題意知即解之,得150 x240且xN.不虧本時的最低產量為150臺.答案:C6.某種商品投放市場以來,曾經過三次降價,其價格由a元降至b元,那么該商品每次平均降價的百分數是 .解析:此題是一個平均增長率的數學模型,要用到M=N(1p%)a這一關系.設每次平均降價為x,則由題意,得a(1-x)3=b,解得x=1-.故該產品每次平均降價的百分數為100%.答案:100%7.用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的,要使存留的污垢不超過1%,則至少要清洗的次數是 (lg 20.301 0).解析:設至少要清洗x次,則,x3.322,所以需4次.答案:48.有一長為24 m

5、的籬笆,一面利用墻(墻最大長度是10 m)圍成一個矩形花圃,設該花圃的一邊AB為x m,面積是y m2.(1)求出y關于x的函數解析式,并指出x的取值范圍;(2)當花圃一邊AB為多少米時,花圃面積最大?并求出這個最大面積.解:(1)024-2x10,7x12,y=x(24-2x)=-2x2+24x(7x12).(2)由(1)得y=-2x2+24x=-2(x-6)2+72,當AB=7 m時,y最大為70 m2.9.某化工廠生產一種溶液,按市場要求,雜質含量不能超過0.1%,若初時含雜質2%,每過濾一次可使雜質含量減少,問至少應過濾幾次才能使產品達到市場要求?(已知:lg 20.301 0,lg

6、30.477 1)解:依題意,得2%0.1%,即.則n(lg 2-lg 3)-(1+lg 2),故n7.4,考慮到 nN+,即至少要過濾8次才能使產品達到市場要求.10.某地有甲、乙兩家乒乓球俱樂部,兩家設備和服務都很好,但收費方式不同,甲家每張球臺每小時5元;乙家按月計費,一個月中30小時以內(含30小時)每張球臺90元,超過30小時的部分每張球臺每小時2元.某公司準備下個月從這兩家中的一家租一張球臺開展活動,其活動時間不少于15小時,也不超過40小時.(1)設在甲家租一張球臺開展活動x小時的收費為f(x)元(15x40),在乙家租一張球臺開展活動x小時的收費為g(x)元(15x40),試求f(x)和g(x);(2)問:選擇哪家比較合算?為什么?解:(1)f(x)=5x,15x40;g(x)=(2)當5x=90時,x=18,即當15x18時,f(x)g(x);當x=18時,f(x)=g(x);當18g(x);當15x18時,選甲家比較合算;當x=18時,兩家一樣合算;當180.1時,函數解析式為y=,而A(0.1,1)在這段函數圖像上,代入得:1=,所以有0.1-a=0,解得a=0.1.故當t0.1時,y=.綜上,血液中麻醉劑的含量y(毫克)與時間t(小時)