參數(shù)方程典型例題分析

1、學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載 參數(shù)方程典型例題分析 例 1 在方程 （ 為參數(shù)）所表示的曲線(xiàn)上一點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ） （ A）（ 2, 7）（ B）（ , ）（ C）（ , ）（ D）（ 1, 0） 分析 由已知得 可否定（ A）又 ,分別將 , , 1 代入上式得 , , 1,（ , ）是曲線(xiàn)上的點(diǎn),應(yīng)選（ C） 例 2 直線(xiàn) （ 為參數(shù)）上的點(diǎn) A, B 所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為 , ,點(diǎn) P 分 所成的比為 ,那么點(diǎn) P 對(duì)應(yīng)的參數(shù)是（ ） （ D） （ A） （ B） （ C） 分析 將 , 分別代入?yún)?shù)方程, , 得 A 點(diǎn)的橫坐標(biāo)致為 , B 點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得 P 的橫坐標(biāo)為 ,

2、可知點(diǎn) P 所對(duì)應(yīng)的參數(shù)是 故應(yīng)選（ C） 例 3 化以下參數(shù)方程為一般方程,并畫(huà)出方程的曲線(xiàn) （ 1） （ 為參數(shù), ） （ 2） （ 為參數(shù)）； 第 1 頁(yè),共 8 頁(yè)（ 3） 學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載 （ 為參數(shù)）, 解：（ 1） , （ 或 ）,方程的曲線(xiàn)如圖 或 故一般方程為 （ 2） 將 代入得 一般方程為 （ ）,方程的曲線(xiàn)如圖 第 2 頁(yè),共 8 頁(yè)（ 3）兩式相除得 學(xué)習(xí)好資料 得 歡迎下載 代入 整理得 一般方程為 （ ）,方程的曲線(xiàn)如圖 點(diǎn)評(píng)（ l ）消去參數(shù)的常用方法有代入法, 加減消元法, 乘除消元法, 三角消元法等； （ 2） 參數(shù)方程化一般方程在轉(zhuǎn)化過(guò)程中,要留意由參

3、數(shù)給出的 , 的范疇,以保證一般方程與參 數(shù)方程等價(jià) 例 4 已知參數(shù)方程 如 為常數(shù), 為參數(shù),方程所表示的曲線(xiàn)是什么？ 如 為常數(shù), 為參數(shù),方程所表示的曲線(xiàn)是什么？ 解：當(dāng) 時(shí),由（ 1）得 ,由（ 2）得 , , 它表示中心在原點(diǎn), 長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 ,短軸長(zhǎng)為 焦點(diǎn)在 軸上的橢圓 當(dāng) 時(shí), , , 第 3 頁(yè),共 8 頁(yè)它表示在 軸上 學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載 的一段線(xiàn)段 當(dāng) （ ）時(shí),由（ 1）得 , 由（ 2）得 平方相減得 , 即 它表示中心在原點(diǎn),實(shí)軸長(zhǎng)為 ,虛軸長(zhǎng)為 , 焦點(diǎn)在 軸上的雙曲線(xiàn) ,它表示 軸； 當(dāng) （ ）時(shí), 當(dāng) （ ）時(shí), , （ 時(shí)）或 （ 時(shí)） , 方程為 （ ）,

4、 它表示 軸上以（ 2, 0）和（ 2, 0）為端點(diǎn)的向左和向右的兩條射線(xiàn) 點(diǎn)評(píng) 此題的啟示是形式相同的方程, 由于選擇參數(shù)的不同, 可表示不同的曲線(xiàn), 因此要注 意區(qū)分問(wèn)題中的字母是常數(shù)仍是參數(shù) 例 5 直線(xiàn) （ 為參數(shù)）與圓 （ 為參數(shù)）相切,就 直線(xiàn)的傾斜角 為（ ） 或 （ C） 或 （ D） 或 （ A） 或 （B） 分析 將參數(shù)方程化為一般方程,直線(xiàn)為 （ ）, 當(dāng) 時(shí)不合題意 第 4 頁(yè),共 8 頁(yè)由于 學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載 , ,它們相切的充要條件是 解得 ,又 , 或 ,應(yīng)選（ A） 例 6求橢圓 上的點(diǎn)到直線(xiàn) 的最大,最小距離 解 將橢圓一般方程化為參數(shù)方程 （ ）, 就橢

5、圓任意一點(diǎn) 的坐標(biāo)可設(shè)為 （ , ）, 于是點(diǎn) 到直線(xiàn) 的距離 ,此時(shí) ,此時(shí) ； 點(diǎn)評(píng) 利用參數(shù)方程, 將圓錐曲線(xiàn)上的點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為參數(shù)形式, 這樣削減曲線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)所 含變量的個(gè)數(shù),將二元函數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的問(wèn)題 例 7 已知點(diǎn) P 是圓 C： 上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn) P 關(guān)于點(diǎn) A（ 5, 0）的對(duì)稱(chēng) 點(diǎn)為 Q,半徑 CP 繞圓心 C 按逆時(shí)針?lè)较蛐?后得到點(diǎn) M,求 的最大值和最小值 轉(zhuǎn) 解 如圖,設(shè)點(diǎn) （ , ）, 第 5 頁(yè),共 8 頁(yè)就點(diǎn) M 為學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載 , ）, （ 即 M（ , ） Q 為, ）, 又點(diǎn) A（ 5, 0）為 Q 的中點(diǎn),就點(diǎn) （ 且 所以 時(shí), 取得最大

6、值 時(shí), 取得最小值 點(diǎn)評(píng) 此題依據(jù)圓的參數(shù)方程是利用轉(zhuǎn)角 作參數(shù), 由點(diǎn) 坐標(biāo)求點(diǎn) M 坐標(biāo),再把與坐, 標(biāo) 相關(guān)的 的最值轉(zhuǎn)化成 與橢圓 的最值來(lái)求解 變化時(shí),求線(xiàn)段 AB 中 例 8 直線(xiàn) 交于 A, B 兩點(diǎn),當(dāng) 點(diǎn) M 的軌跡 解 設(shè) AB 中點(diǎn) M, ）, （ , 為參數(shù)） （ 直線(xiàn) 的方程為 代入橢圓方程有 中可得 設(shè) A, B 對(duì)應(yīng)的參數(shù)值分別, ,就有 , 為 又 ,即 ,又 , , 故 第 6 頁(yè),共 8 頁(yè)所以 M 點(diǎn)的軌跡是直學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載 在橢圓 內(nèi)部的一條線(xiàn)段 線(xiàn) 例 9已知線(xiàn)段 ,直線(xiàn) 垂直平分 交 于點(diǎn) O,并且在 上 O 點(diǎn)的同側(cè)取點(diǎn) P, ,使 ,求直線(xiàn) BP 與直兩 的交點(diǎn) M 的軌, 線(xiàn) 跡 如圖,以 O 為原解 為 軸, 為 軸,建立直角坐標(biāo)系 點(diǎn), 依題意,可知 B（ 0, 2）, （ 0, 2）, 為參數(shù),可取任意非零的實(shí)數(shù) 又可設(shè) P（ , 0）, （ , 0）,其中 直線(xiàn) BP 的方程 為 直線(xiàn) 的方程為 兩直線(xiàn)方程化簡(jiǎn)為 解得直線(xiàn) BP的交點(diǎn)坐標(biāo)為： （ 為參數(shù)） 與 消去參數(shù) 得 （ ） 點(diǎn) 所求點(diǎn) M 的軌跡是長(zhǎng)軸6,短軸為 4 的橢圓除去 B, 為 第 7 頁(yè),共 8 頁(yè)點(diǎn)評(píng) 學(xué)習(xí)好資料