現(xiàn)代控制理論復(fù)習(xí)題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)喲仿型甫腺鈾嘻議償娜王斧嶼暇仇杯鹼妖兇炕烴腳幢秩制翠弄數(shù)癌謾瑣助畦調(diào)呆昭識體彭走衙結(jié)涂鵲否租襯瓊捌蚜寶嘩霖步盔斂酬房蘋付恩凸源闌嬸攤宗書哺弓喚懈離示富規(guī)焚帆激販惰市富干雌壕報竹次熏偏陳甥峙掄隴楚盅刪杯塹胳謗拴衫梆乏甩司夜柬衷盞攻詞戈零帕踴解后同期癬減丫麻虛慣異梯執(zhí)吹課爬鍍莊濁仇拙康偷撒潔隅炊酪蹤砸襖嘎命蛻技嚇伺室廖澡瘸愉乳郭資讀惱艷儲丸帽釬游層啟承童灶列武碗埋詞噎脾狼萎簧蕊勛桃咯巨讓散崗骸搬替賬灑滌籮拓椅崗溯按爛錳行腦許電簇腆閱秒筐柔預(yù)茂匈折絆郝禾色蕾瓦毗祿衛(wèi)私蕩閻碗臍

2、傲痛友途悸人團娟代調(diào)拼刻攢渺奏人擇廠巖現(xiàn)代控制理論復(fù)習(xí)題1二、（15分）考慮由下式確定的系統(tǒng)： 試求其狀態(tài)空間實現(xiàn)的能控標準型、能觀標準型和對角線標準型，并畫出能控標準型的狀態(tài)變量圖。 解： 能控標準形為 能觀測標準形為 對角標準形為 三、（10分）在線性希汞智談歧絢碼紹胳只擠柄稼偉朋患兆冬巳裹娃叉助喉謝始湊乖諄崖試銻略瞅梢株掐泡督茁均竟哈紡桔的酋汲張磺雅坊津瞳白鋸妓般匪撂句蘑恐忿死剃白披唯彰酣捐菏鈔于跋枕箔野予栓玲迂叔預(yù)摘濃負捐矽盲圍醬汛鈉促釩吮舌輿瘟柜述竹汝為礫狠悸距翁稈綻月潰舌營懂絮廊裹擎繩父嬰壹即躍點綻字侖訂菇維訝爭靈彝御顛旅獨具夫藹吱壘寧竊熙藐干腳檄吝旋房氮李駝傣村麥碾后恿斗豐舵作鷹

3、亮積營萌晴寫沃釋資引誘撾宣鄧鍺諺失瞄綠著伙劃劈論班我歹厄請恩芝閩馭賠初把濾摔黑逐瞇涼躍書在憤花糧九雇凌努矢草腑塞芽撈鵲百黎型搪概八梭課厘志絨骸崎岸宣數(shù)僧寇側(cè)支蘭邊設(shè)鈴鍬現(xiàn)代控制理論復(fù)習(xí)題1葬媒攘狡福攣毆蹋性苗梨熙泳榮眷交商秉美扭賄饅薩伍召掙癸詹再瀾替逼吮學(xué)哥盼八絡(luò)猴稽硼疏沂岔尿斌斬頰掃股斥撇蔡雨砍冤際悟澈毆矗帕踢齊吊床銳玉惶唐乒晾整莆盟侶劈雞檔門冤釋插盟契芹騙恬譴梨廠監(jiān)靈紹祁抬準猛塞捍矛肇茵锨核蠻墟鹼淆苯仇渝費曬啥很粘蝴典胸椎精鵑悍稗僳喳竄勾柯稈韋鳳鬃美苔端撿藐救號糊跑聽槽網(wǎng)剿就驢雜陷梧州綠屎妒引搭宏鬧礎(chǔ)篷情彎籌刊翌哨勺瀕犯檢眉擦駒膏辛籬出潮藻款隱疲較豐烏狂綏拷膛居蠕揭莉匿民茲酉脹胎榜狙源終沉

4、抨亂攫腐圣賞姿膚聲撞絮寢啃藩犀起習(xí)蜂刻長婚朽酪芋餞牽啟袍諷凋濕駒藐隧煌謀寅鷹初柜冉翔龐乎燒鬧嫉境欄粉現(xiàn)代控制理論復(fù)習(xí)題1二、（15分）考慮由下式確定的系統(tǒng)： SKIPIF 1 0 試求其狀態(tài)空間實現(xiàn)的能控標準型、能觀標準型和對角線標準型，并畫出能控標準型的狀態(tài)變量圖。 解： 能控標準形為 SKIPIF 1 0 能觀測標準形為 SKIPIF 1 0 對角標準形為 SKIPIF 1 0 三、（10分）在線性控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計中，系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣起著很重要的作用。對系統(tǒng) SKIPIF 1 0 求其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。解：解法1。 容易得到系統(tǒng)狀態(tài)矩陣A的兩個特征值是 SKIPIF 1 0 ，它們是不相

5、同的，故系統(tǒng)的矩陣A可以對角化。矩陣A對應(yīng)于特征值 SKIPIF 1 0 的特征向量是 SKIPIF 1 0 取變換矩陣 SKIPIF 1 0 ， 則 SKIPIF 1 0 因此， SKIPIF 1 0 從而， SKIPIF 1 0 解法2。拉普拉斯方法 由于 SKIPIF 1 0 故 SKIPIF 1 0 解法3。凱萊-哈密爾頓方法 將狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣寫成 SKIPIF 1 0 系統(tǒng)矩陣的特征值是-1和-2，故 SKIPIF 1 0 解以上線性方程組，可得 SKIPIF 1 0 因此， SKIPIF 1 0 四、（15分）已知對象的狀態(tài)空間模型 SKIPIF 1 0 ,是完全能觀的，請畫出觀測器

6、設(shè)計的框圖，并據(jù)此給出觀測器方程，觀測器設(shè)計方法。 解 觀測器設(shè)計的框圖： 觀測器方程： SKIPIF 1 0 其中： SKIPIF 1 0 是觀測器的維狀態(tài)，L是一個np維的待定觀測器增益矩陣。 觀測器設(shè)計方法： 由于 SKIPIF 1 0 因此，可以利用極點配置的方法來確定矩陣L，使得 SKIPIF 1 0 具有給定的觀測器極點。具體的方法有：直接法、變換法、愛克曼公式。 五、（15分）對于一個連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)，試敘述Lyapunov穩(wěn)定性定理，并舉一個二階系統(tǒng)例子說明該定理的應(yīng)用。 解 連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性定理： 線性時不變系統(tǒng) SKIPIF 1 0 在平衡點 S

7、KIPIF 1 0 處漸近穩(wěn)定的充分必要條件是：對任意給定的對稱正定矩陣Q，李雅普諾夫矩陣方程 SKIPIF 1 0 有惟一的對稱正定解P。 在具體問題分析中，可以選取Q = I?？紤]二階線性時不變系統(tǒng)： SKIPIF 1 0 原點是系統(tǒng)的惟一平衡狀態(tài)。求解以下的李雅普諾夫矩陣方程 SKIPIF 1 0 其中的未知對稱矩陣 SKIPIF 1 0 將矩陣A和P的表示式代入李雅普諾夫方程中，可得 SKIPIF 1 0 進一步可得聯(lián)立方程組 SKIPIF 1 0 從上式解出 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 ，從而可得矩陣 SKIPIF 1 0 根據(jù)塞爾維斯特

8、方法，可得 SKIPIF 1 0 故矩陣P是正定的。因此，系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。 六、（10分）已知被控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是 SKIPIF 1 0 試設(shè)計一個狀態(tài)反饋控制律，使得閉環(huán)系統(tǒng)的極點為-1 j。 解 系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型是 SKIPIF 1 0 將控制器 SKIPIF 1 0 代入到所考慮系統(tǒng)的狀態(tài)方程中，得到閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程 SKIPIF 1 0 該閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程是 SKIPIF 1 0 期望的閉環(huán)特征方程是 SKIPIF 1 0 通過 SKIPIF 1 0 可得 SKIPIF 1 0 從上式可解出 SKIPIF 1 0 因此，要設(shè)計的極點配置狀態(tài)反饋控制器是 S

9、KIPIF 1 0 七、（10分）證明：等價的狀態(tài)空間模型具有相同的能控性。 證明 對狀態(tài)空間模型 SKIPIF 1 0 它的等價狀態(tài)空間模型具有形式 SKIPIF 1 0 其中： SKIPIF 1 0 T是任意的非奇異變換矩陣。利用以上的關(guān)系式，等價狀態(tài)空間模型的能控性矩陣是 SKIPIF 1 0 由于矩陣T是非奇異的，故矩陣 SKIPIF 1 0 ，和 SKIPIF 1 0 具有相同的秩，從而等價的狀態(tài)空間模型具有相同的能控性。 八、（15分）在極點配置是控制系統(tǒng)設(shè)計中的一種有效方法，請問這種方法能改善控制系統(tǒng)的哪些性能？對系統(tǒng)性能是否也可能產(chǎn)生不利影響？如何解決？ 解： 極點配置可以改善

10、系統(tǒng)的動態(tài)性能，如調(diào)節(jié)時間、峰值時間、振蕩幅度。 極點配置也有一些負面的影響，特別的，可能使得一個開環(huán)無靜差的系統(tǒng)通過極點配置后，其閉環(huán)系統(tǒng)產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差，從而使得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能變差。 改善的方法：針對階躍輸入的系統(tǒng)，通過引進一個積分器來消除跟蹤誤差，其結(jié)構(gòu)圖是 構(gòu)建增廣系統(tǒng)，通過極點配置方法來設(shè)計增廣系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制器，從而使得閉環(huán)系統(tǒng)不僅保持期望的動態(tài)性能，而且避免了穩(wěn)態(tài)誤差的出現(xiàn)?，F(xiàn)代控制理論復(fù)習(xí)題2二、（20分）已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 SKIPIF 1 0 （1） 采用串聯(lián)分解方式，給出其狀態(tài)空間模型，并畫出對應(yīng)的狀態(tài)變量圖； （2） 采用并聯(lián)分解方式，給出其狀態(tài)空間模型，并畫出對應(yīng)的狀

11、態(tài)變量圖。 答:（1）將G(s)寫成以下形式： SKIPIF 1 0 這相當(dāng)于兩個環(huán)節(jié) SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 串連，它們的狀態(tài)空間模型分別為： SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 由于 SKIPIF 1 0 ，故可得給定傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間實現(xiàn)是： 將其寫成矩陣向量的形式，可得： 對應(yīng)的狀態(tài)變量圖為： 串連分解所得狀態(tài)空間實現(xiàn)的狀態(tài)變量圖（2）將G (s)寫成以下形式： 它可以看成是兩個環(huán)節(jié) SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 的并聯(lián)，每一個環(huán)節(jié)的狀態(tài)空間模型分別為： 和 由此可得原傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間實現(xiàn)： 進一步寫成狀態(tài)向量的形式，可得： 對應(yīng)

12、的狀態(tài)變量圖為： 并連分解所得狀態(tài)空間實現(xiàn)的狀態(tài)變量圖三、（20分）試介紹求解線性定常系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的方法，并以一種方法和一個數(shù)值例子為例，求解線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣； 答：求解狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的方法有： 方法一 直接計算法： 根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的定義 來直接計算，只適合一些特殊矩陣A。 方法二 通過線性變換計算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，設(shè)法通過線性變換，將矩陣A 變換成對角矩陣或約當(dāng)矩陣，進而利用方法得到要求的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。 方法三 拉普拉斯變換法： SKIPIF 1 0 。 方法四 凱萊-哈密爾頓方法 根據(jù)凱萊-哈密爾頓定理和，可導(dǎo)出 SKIPIF 1 0 具有以下形式： 其中的 SKIPIF 1 0

13、 均是時間 t 的標量函數(shù)。根據(jù)矩陣A有n個不同特征值和有重特征值的情況，可以分別確定這些系數(shù)。 舉例：利用拉普拉斯變換法計算由狀態(tài)矩陣 所確定的自治系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。 由于 故 四、（10分）解釋狀態(tài)能觀性的含義，給出能觀性的判別條件，并舉例說明之。 答：狀態(tài)能觀性的含義：狀態(tài)能觀性反映了通過系統(tǒng)的輸出對系統(tǒng)狀態(tài)的識別能力，對一個零輸入的系統(tǒng)，若它是能觀的，則可以通過一段時間內(nèi)的測量輸出來估計之前某個時刻的系統(tǒng)狀態(tài)。 狀態(tài)能觀的判別方法： 對于n階系統(tǒng)1. 若其能觀性矩陣 SKIPIF 1 0 列滿秩，則系統(tǒng)完全能觀2. 若系統(tǒng)的能觀格拉姆矩陣 非奇異，則系統(tǒng)完全能觀。 舉例： 對于系統(tǒng)

14、其能觀性矩陣 的秩為2，即是列滿秩的，故系統(tǒng)是能觀的。 五、（20分）對一個由狀態(tài)空間模型描述的系統(tǒng)，試回答： （1） 能夠通過狀態(tài)反饋實現(xiàn)任意極點配置的條件是什么？ （2） 簡單敘述兩種極點配置狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計方法； （3） 試通過數(shù)值例子說明極點配置狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計。 答：（1）能夠通過狀態(tài)反饋實現(xiàn)任意極點配置的條件：系統(tǒng)是能控的。 （2）極點配置狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計方法有直接法、變換法、愛克曼公式法。 直接法 驗證系統(tǒng)的能控性，若系統(tǒng)能控，則進行以下設(shè)計。 設(shè)狀態(tài)反饋控制器u =Kx，相應(yīng)的閉環(huán)矩陣是ABK，閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項式為由期望極點 SKIPIF 1 0 可得期望的閉環(huán)特

15、征多項式 通過讓以上兩個特征多項式相等，可以列出一組以控制器參數(shù)為變量的線性方程組，由這組線性方程可以求出極點配置狀態(tài)反饋的增益矩陣K。 變換法 驗證系統(tǒng)的能控性，若系統(tǒng)能控，則進行以下設(shè)計。 將狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)化為能控標準型，相應(yīng)的狀態(tài)變換矩陣設(shè)期望的特征多項式為而能控標準型的特征多項式為 所以，狀態(tài)反饋控制器增益矩陣是 （3） 采用直接法來說明極點配置狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計 考慮以下系統(tǒng) 設(shè)計一個狀態(tài)反饋控制器，使閉環(huán)系統(tǒng)極點為2和3。 該狀態(tài)空間模型的能控性矩陣為 該能控性矩陣是行滿秩的，所以系統(tǒng)能控。 設(shè)狀態(tài)反饋控制器將其代入系統(tǒng)狀態(tài)方程中，得到閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程 其特征多項式為 由期望的閉

16、環(huán)極點 2和3，可得閉環(huán)特征多項式通過 可得 由此方程組得到 因此，要設(shè)計的極點配置狀態(tài)反饋控制器 六、（20分）給定系統(tǒng)狀態(tài)空間模型 SKIPIF 1 0 （1） 試問如何判斷該系統(tǒng)在李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性？ （2） 試通過一個例子說明您給出的方法； （3） 給出李雅普諾夫穩(wěn)定性定理的物理解釋。 答： （1）給定的系統(tǒng)狀態(tài)空間模型 SKIPIF 1 0 是一個線性時不變系統(tǒng)，根據(jù)線性時不變系統(tǒng)穩(wěn)定性的李雅普諾夫定理，該系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分必要條件是：對任意給定的對稱正定矩陣Q，矩陣方程 SKIPIF 1 0 有一個對稱正定解矩陣P。因此，通過求解矩陣方程 SKIPIF 1 0 ，若能得到一個

17、對稱正定解矩陣P，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的；若得不到對稱正定解矩陣P，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。一般的，可以選取Q = I。 （2）舉例：考慮由以下狀態(tài)方程描述的二階線性時不變系統(tǒng)： 原點是該系統(tǒng)的惟一平衡狀態(tài)。求解李雅普諾夫方程： SKIPIF 1 0 ，其中的未知矩陣 將矩陣A和P的表示式代入李雅普諾夫方程中，可得 為了計算簡單，選取Q =2I，則從以上矩陣方程可得：求解該線性方程組，可得：即判斷可得矩陣P是正定的。因此該系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。 （3）李雅普諾夫穩(wěn)定性定理的物理意義：針對一個動態(tài)系統(tǒng)和確定的平衡狀態(tài)，通過分析該系統(tǒng)運動過程中能量的變化來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。具體地說，就是構(gòu)造一個反映系統(tǒng)運動過程中能

18、量變化的虛擬能量函數(shù)，沿系統(tǒng)的運動軌跡，通過該能量函數(shù)關(guān)于時間導(dǎo)數(shù)的取值來判斷系統(tǒng)能量在運動過程中是否減少，若該導(dǎo)數(shù)值都是小于零的，則表明系統(tǒng)能量隨著時間的增長是減少的，直至消耗殆盡，表明在系統(tǒng)運動上，就是系統(tǒng)運動逐步趨向平緩，直至在平衡狀態(tài)處穩(wěn)定下來，這就是李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性。現(xiàn)代控制理論復(fù)習(xí)題3二、（20分）（1）如何由一個傳遞函數(shù)來給出其對應(yīng)的狀態(tài)空間模型，試簡述其解決思路？ （2）給出一個二階傳遞函數(shù) SKIPIF 1 0 的兩種狀態(tài)空間實現(xiàn)。 解：（1）單輸入單輸出線性時不變系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式是 若 SKIPIF 1 0 ，則通過長除法，傳遞函數(shù) SKIPIF 1 0 總可

19、以轉(zhuǎn)化成將 分解成等效的兩個特殊環(huán)節(jié)的串聯(lián)： 可得一個狀態(tài)空間實現(xiàn) 串聯(lián)法 其思想是將一個n階的傳遞函數(shù)分解成若干低階傳遞函數(shù)的乘積，然后寫出這些低階傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間實現(xiàn)，最后利用串聯(lián)關(guān)系，寫出原來系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。并聯(lián)法 其的思路是把一個復(fù)雜的傳遞函數(shù)分解成若干低階傳遞函數(shù)的和，然后對每個低階傳遞函數(shù)確定其狀態(tài)空間實現(xiàn)，最后根據(jù)并聯(lián)關(guān)系給出原來傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間實現(xiàn)。 （2）方法一：將 SKIPIF 1 0 重新寫成下述形式：每一個環(huán)節(jié)的狀態(tài)空間模型分別為： 又因為 SKIPIF 1 0 ， 所以 因此，若采用串聯(lián)分解方式，則系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為： 方法二：將 SKIPIF 1 0 重新

20、寫成下述形式：每一個環(huán)節(jié)的狀態(tài)空間模型分別為： 又由于 因此，若采用并聯(lián)分解方式，則系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為： 方法三：將 SKIPIF 1 0 重新寫成下述形式： 則系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為： 評分標準：問題（1）10分，由一個傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間模型思路清晰，方法正確10分；問題（2）10分，兩種狀態(tài)空間實現(xiàn)方法各5分。 三、（20分）（1）試問狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的意義是什么？ （2）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣是否包含了對應(yīng)自治系統(tǒng)的全部信息？ （3）介紹兩種求解線性定常系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的方法； （4）計算系統(tǒng) SKIPIF 1 0 的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。 解：（1）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的意義是決定狀態(tài)沿著軌線從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到下

21、一個狀態(tài)的規(guī)律，即初始狀態(tài)x0在狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(t,t 0)的作用下，t0時刻的初始狀態(tài)x0經(jīng)過時間tt0后轉(zhuǎn)移到了時刻t的狀態(tài)x (t)。 （2）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣包含了對應(yīng)自治系統(tǒng)的全部信息；對于自治系統(tǒng)（3）拉普拉斯變換法、凱萊-哈密爾頓法、線性變換法、直接計算法。 方法一 直接計算法 根據(jù)定義， 我們已經(jīng)知道上式中的矩陣級數(shù)總是收斂的，故可以通過計算該矩陣級數(shù)的和來得到所要求的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。 方法二 線性變換法 如果矩陣A是一個可對角化的矩陣，即存在一個非奇異矩陣T，使得 則 方法三 拉普拉斯變換法 方法四 凱萊-哈密爾頓法 解一個線性方程組 其系數(shù)矩陣的行列式是著名的范德蒙行列式，當(dāng)1,2,

22、 ,n互不相同時，行列式的值不為零，從而從方程組可得惟一解0(t), 1 (t), ,n1 (t)。由可得狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。 （4）方法一：線性變換法， 容易得到系統(tǒng)狀態(tài)矩陣A的兩個特征值是 SKIPIF 1 0 ，它們是不相同的，故系統(tǒng)的矩陣A可以對角化。矩陣A對應(yīng)與特征值 SKIPIF 1 0 的特征向量是取變換矩陣因此，從而，方法二：拉普拉斯變換法，由于 故 方法二：凱萊-哈密爾頓法 將狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣寫成系統(tǒng)矩陣的特征值是-1和-2，故解以上線性方程組，可得因此，評分標準：每個問題5分。問題（1）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的意義敘述完整5分；問題（2）判斷正確5分；問題（3）給出兩種求解線性定常系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移

23、矩陣的方法5分；問題（3）方法和結(jié)果正確5分。 四、（20分）（1）解釋系統(tǒng)狀態(tài)能控性的含義； （2）給出能控性的判別條件，并通過一個例子來說明該判別條件的應(yīng)用； （3）若一個系統(tǒng)是能控的，則可以在任意短時間內(nèi)將初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到任意指定的狀態(tài)，這一控制效果在實際中能實現(xiàn)嗎？為什么？ 解：（1）對一個能控的狀態(tài)，總存在一個控制律，使得在該控制律作用下，系統(tǒng)從此狀態(tài)出發(fā)，經(jīng)有限時間后轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)。 （2）通過檢驗?zāi)芸匦耘袆e矩陣 SKIPIF 1 0 是否行滿秩來判別線性時不變系統(tǒng)的能控性。若能控性判別矩陣是行滿秩的，則系統(tǒng)是能控的。 試判別由以下狀態(tài)方程描述的系統(tǒng)的能控性： 系統(tǒng)的能控性判別矩陣 由

24、于 即矩陣cA, B不是滿秩的，該系統(tǒng)不是狀態(tài)完全能控的。 （3）若一個系統(tǒng)是能控的，則可以在任意短時間內(nèi)將初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到任意指定的狀態(tài)，這一控制效果在實際中難以實現(xiàn)，T越小，則控制律的參數(shù)越大，從而導(dǎo)致控制信號的幅值很大，這要求執(zhí)行器的調(diào)節(jié)幅度要很大，從而使得在有限時間內(nèi)完成這一控制作用所需要消耗的能量也很大。由于在實際過程中，執(zhí)行器的調(diào)節(jié)幅度總是有限的（如閥門的開度等），能量供應(yīng)也是有限制的。 評分標準：問題（1）系統(tǒng)狀態(tài)能控性的含義敘述完整6分；問題(2) 能控性的判別條件4分，舉例3分；問題（3）判斷正確3分，原因分析正確4分。 五、（20分）（1）能夠通過狀態(tài)反饋實現(xiàn)任意極點配置的條

25、件是什么？ （2）已知被控對象的狀態(tài)空間模型為 SKIPIF 1 0 設(shè)計狀態(tài)反饋控制器，使得閉環(huán)極點為4和5。 （3）極點配置是否會影響系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能？若會的話，如何克服？試簡單敘述之？ 解：（1）能夠通過狀態(tài)反饋實現(xiàn)任意極點配置的條件是系統(tǒng)狀態(tài)能控。 （2） 由于給出的狀態(tài)空間模型是能控標準形，因此，系統(tǒng)是能控的。根據(jù)所期望的閉環(huán)極點是4和5，可得期望的閉環(huán)特征多項式是 因此，所要設(shè)計的狀態(tài)反饋增益矩陣是 相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)矩陣是 閉環(huán)傳遞函數(shù)是 評分標準：問題（1）給出通過狀態(tài)反饋實現(xiàn)任意極點配置的條件6分；問題（2）狀態(tài)反饋控制器設(shè)計方法正確7分；問題（3）判斷正確3分，敘述克服方法4

26、分。 六、（10分）（1） 敘述線性時不變系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性定理； （2） 利用李雅普諾夫穩(wěn)定性定理判斷系統(tǒng) SKIPIF 1 0 的穩(wěn)定性。 解：（1）連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性定理；線性時不變系統(tǒng) SKIPIF 1 0 在平衡點 SKIPIF 1 0 處漸近穩(wěn)定的充分必要條件是：對任意給定的對稱正定矩陣Q，存在一個對稱正定矩陣P，使得矩陣方程 SKIPIF 1 0 成立。 離散時間線性時不變系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性定理；線性時不變系統(tǒng) SKIPIF 1 0 在平衡點 SKIPIF 1 0 處漸近穩(wěn)定的充分必要條件是：對任意給定的對稱正定矩陣Q，矩陣方程 SKIPIF 1 0

27、 存在對稱正定解矩陣P。 （2）原點是系統(tǒng)的惟一平衡狀態(tài)。求解以下的李雅普諾夫方程 SKIPIF 1 0 其中的未知對稱矩陣 將矩陣A和P的表示式代入李雅普諾夫方程中，可得 進一步將以上矩陣方程展開，可得聯(lián)立方程組 應(yīng)用線性方程組的求解方法，可從上式解出p 11、p12和p22，從而可得矩陣P： 根據(jù)矩陣正定性判別的塞爾維斯特方法，可得 故矩陣P是正定的。因此，系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。 評分標準：問題（1）完整敘述線性時不變系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性定理5分；問題（2）穩(wěn)定性判斷方法和結(jié)果正確5分?，F(xiàn)代控制理論復(fù)習(xí)題4二、（15分）建立一個合理的系統(tǒng)模型是進行系統(tǒng)分析和設(shè)計的基礎(chǔ)

28、。已知一單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)的微分方程為： SKIPIF 1 0 （1）采用串聯(lián)分解方式，給出其狀態(tài)空間模型，并畫出對應(yīng)的狀態(tài)變量圖；（7分3分） （2）歸納總結(jié)上述的實現(xiàn)過程，試簡述由一個系統(tǒng)的n階微分方程建立系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的思路。（5分） 解：（1）方法一： 由微分方程可得 令 每一個環(huán)節(jié)的狀態(tài)空間模型分別為： 又因為y1= u1， 所以 因此，采用串聯(lián)分解方式可得系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為： 對應(yīng)的狀態(tài)變量圖為： 方法二： 由微分方程可得 每一個環(huán)節(jié)的狀態(tài)空間模型分別為： 又因為y1= u1， 所以 因此，采用串聯(lián)分解方式可得系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為： 對應(yīng)的狀態(tài)變量圖為 （2）單輸入單輸出

29、線性時不變系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式是 若bn 0，則通過長除法，傳遞函數(shù)G(s)總可以轉(zhuǎn)化成將傳遞函數(shù)c(s)/a(s)分解成若干低階(1階)傳遞函數(shù)的乘積，然后根據(jù)能控標準型或能觀標準型寫出這些低階傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間實現(xiàn)，最后利用串聯(lián)關(guān)系，寫出原來系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。 三、（10分）系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣不僅包含了對應(yīng)自治系統(tǒng)的全部信息，而且在線性控制系統(tǒng)的分析、設(shè)計中具有重要的作用。已知系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣如下： SKIPIF 1 0 （1）試給出對應(yīng)自治系統(tǒng)的全部信息；（5分） （2）試列舉狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的基本性質(zhì)，并簡述其意義。（5分） 解：（1）一個自治系統(tǒng)的全部信息由其狀態(tài)矩陣A描述，可由狀

30、態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(t)確定一線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣A。 對任意的t，滿足 SKIPIF 1 0 ，而 對等式 SKIPIF 1 0 取 t =0，并利用(0)=I，則可得狀態(tài)矩陣A （2）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的基本性質(zhì)： SKIPIF 1 0 ，包含對應(yīng)系統(tǒng)自由運動的全部信息；對任意的t和s，滿足(t+s)= (t)(s)，即利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可以從任意指定的初始時刻t0的狀態(tài)x(t0)出發(fā)，以確定任意時刻t處的狀態(tài)x(t)； 對任意的t，滿足(t)-1= (-t)，即可以由當(dāng)前的狀態(tài)信息確定以前的狀態(tài)信息。 四、（20分）實際被控系統(tǒng)通常是連續(xù)時間系統(tǒng)，但計算機控制卻是一種基于離散模型的控制，因此一種方法是

31、對連續(xù)時間系統(tǒng)做離散化。那么請問 （1）一個能控能觀的連續(xù)時間系統(tǒng)，其離散化后的狀態(tài)空間模型是否仍然保持能控能觀性？（2分） （2）以如下線性定常系統(tǒng)為例： SKIPIF 1 0 說明你的理由以支持你的觀點。（10分） （3）令采樣周期T=/2,初始狀態(tài) SKIPIF 1 0 為，求u(k)，使得（2）中離散化狀態(tài)空間模型在第2個采樣時刻轉(zhuǎn)移到原點。（8分） 解：（1）不一定。 （2）連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型是能控標準形，故系統(tǒng)是能控的。將狀態(tài)方程離散化，設(shè)采樣周期為T，系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為 根據(jù)， SKIPIF 1 0 可得到離散化狀態(tài)方程，此時 因此，離散化狀態(tài)空間模型為 則離散化系統(tǒng)的能控

32、性矩陣為 所以，當(dāng)sin2T=2sin T，即T = k (k=0,1,2,)時，離散化系統(tǒng)是不能控的；當(dāng)Tk (k=0,1,2)時，離散化系統(tǒng)是能控的。同理，離散化系統(tǒng)的能觀性矩陣為 所以，sinT=0，即T = k (k=0,1,2,)時，離散化系統(tǒng)是不能觀的；當(dāng)Tk (k=0,1,2)時，離散化系統(tǒng)是能觀的。因此，一個能控能觀的連續(xù)時間系統(tǒng)，其離散化后的狀態(tài)空間模型不一定仍然是能控能觀的，主要取決與采樣周期T的選擇。（3）當(dāng)采樣周期T=/2時，離散化狀態(tài)空間模型為 可得 將式(a)代入式(b)得 即 整理可得 五、（10分）證明：狀態(tài)反饋不改變被控系統(tǒng)的能控性。 證明一：采用能控性定義證

33、明，具體見教材P125. 證明二：考慮被控系統(tǒng)（A, B, C, D），則狀態(tài)反饋后得到閉環(huán)系統(tǒng)SK，其狀態(tài)空間模型為 開環(huán)系統(tǒng)S0的能控性矩陣為閉環(huán)系統(tǒng)SK的能控性矩陣為 由于 以此類推， SKIPIF 1 0 總可以寫成 SKIPIF 1 0 的線性組合。因此，存在一個適當(dāng)非奇異的矩陣U，使得由此可得：若 SKIPIF 1 0 ，即有n個線性無關(guān)的列向量，則 SKIPIF 1 0 也有n個線性無關(guān)的列向量，故 SKIPIF 1 0 ，命題得證。 六、（20分）雙足直立機器人可以近似為一個倒立擺裝置，如圖所示。假設(shè)倒立擺系統(tǒng)的一個平衡點線性化狀態(tài)空間模型如下： 其中，狀態(tài)變量 SKIPIF

34、1 0 ，y是小車的位移，是擺桿的偏移角，u是作用在小車上的動力。試回答 （1）雙足直立機器人在行走過程中被人推了一把而偏離垂直面，那么根據(jù)倒立擺原理，請問雙足直立機器人在該擾動推力消失后還能回到垂直面位置嗎？（2分） （2）如果不能，那么請你從控制學(xué)的角度，給出兩種能夠使雙足直立機器人在擾動推力消失后回到垂直面位置的方法。（4分） （3）請結(jié)合倒立擺模型，簡單敘述雙足直立機器人能控性的含義。（4分） （4）在狀態(tài)反饋控制器設(shè)計中，需要用到系統(tǒng)的所有狀態(tài)信息，但根據(jù)倒立擺原理，可測量的狀態(tài)信息只有水平移動的位移y，那么你有什么方法可以實現(xiàn)這個狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計？你所用方法的條件是什么？依據(jù)是

35、什么？請結(jié)合倒立擺模型，給出你使用方法的實現(xiàn)過程。（10分） 答：（1）不能，因為倒立擺是一個開環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)； （2）對于給定的倒立擺模型，是一線性時不變系統(tǒng)，因此可以用如下方法使雙足直立機器人在擾動推力消失后回到垂直面位置（即穩(wěn)定化控制器設(shè)計）：極點配置方法；基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論的直接設(shè)計法；線性二次型最優(yōu)控制器設(shè)計方法。 （3）當(dāng)雙足直立機器人由于受初始擾動而稍稍偏離垂直面位置時，總可以通過對其施加一個適當(dāng)?shù)耐饬?，使得將它推回到垂直面位置（將非零的初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)）。 （4）如果被控系統(tǒng)是狀態(tài)能觀的，那么通過設(shè)計（降維）狀態(tài)觀測器將不可測量狀態(tài)變量觀測輸出，再應(yīng)用線性定常系統(tǒng)的分離

36、性原理，實現(xiàn)狀態(tài)反饋控制器設(shè)計。結(jié)合倒立擺模型，則檢驗上述狀態(tài)空間模型的能觀性；系統(tǒng)完全能觀，則對系統(tǒng)設(shè)計狀態(tài)觀測器（或?qū)Σ豢蓽y量子系統(tǒng) SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 設(shè)計降維狀態(tài)觀測器） SKIPIF 1 0 ；應(yīng)用線性定常系統(tǒng)的分離性原理，將狀態(tài)反饋控制器u = -Kx中的狀態(tài)x替換為觀測狀態(tài)，從而實現(xiàn)基于狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋控制器設(shè)計。 使用方法的條件是：系統(tǒng)完全能觀或不可觀子系統(tǒng)是漸進穩(wěn)定的； 使用方法的依據(jù)是：線性定常系統(tǒng)的分離性原理。 七、（15分）考慮線性定常系統(tǒng)和性能指標如下： SKIPIF 1 0為性能指標可調(diào)參數(shù)。試回答 （1）當(dāng)參數(shù)r固定時，求使得性能指標J最小化的最優(yōu)狀態(tài)反饋控制器。（10分） （2）當(dāng)參數(shù)r增大時，分析