數(shù)學(xué)物理方法-13.1 三類數(shù)理方程推導(dǎo)課件

1、數(shù)學(xué)物理方程1、基本方程的推導(dǎo)及基本概念(1周)2、分離變量法(2周)3、線性偏微分方程的分類與化簡(jiǎn)(1周)4、行波法(1周)5、格林函數(shù)法(1周)6、積分變換法(1周)數(shù)理方程是指在物理學(xué)、力學(xué)、工程技術(shù)等問(wèn)題中經(jīng)過(guò)一些簡(jiǎn)化后所得到的、反映客觀世界物理量之間關(guān)系的一些偏微分方程。數(shù)量方程之概述常微分方程（組）描述的是孤立質(zhì)點(diǎn)(系)的運(yùn)動(dòng)或演變規(guī)律。連續(xù)體的變化規(guī)律如何描述？含有某未知多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的方程稱為偏微分方程。表示物理量在空間或時(shí)間中變化規(guī)律的偏微分方程稱為數(shù)學(xué)物理方程。 數(shù)量方程之基本任務(wù)數(shù)物方程的基本任務(wù)以物理學(xué)、力學(xué)及工程技術(shù)中的具體問(wèn)題為研究對(duì)象，基本任務(wù)有：（1）建立描繪某

2、類物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，并提供這些問(wèn)題的求解方法；（2）通過(guò)理論分析，研究客觀問(wèn)題變化發(fā)展的一般規(guī)律。 問(wèn)題描述和分析如果空間某物體G內(nèi)各點(diǎn)處的溫度不同，則熱量就會(huì)從溫度較高的點(diǎn)向溫度較低的點(diǎn)流動(dòng)，這種現(xiàn)象就叫做熱傳導(dǎo)。熱量傳遞如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示：由于熱量的傳導(dǎo)過(guò)程總是表現(xiàn)為溫度隨時(shí)間和空間的變化，因此，熱傳導(dǎo)問(wèn)題求解本質(zhì)上是求溫度的分布。若用u(x, y, z, t)表示物體G內(nèi)一點(diǎn)(x, y, z)在t時(shí)刻的溫度, 記為u(M, t), 點(diǎn)M(x, y, z)熱傳導(dǎo)問(wèn)題的建模既是建立溫度函數(shù)u(x, y, z, t)所滿足的偏微分方程！熱傳導(dǎo)（擴(kuò)散）方程的推導(dǎo)熱傳導(dǎo)方程的推導(dǎo)建模采用的等量關(guān)

3、系熱量守恒：任意時(shí)段內(nèi)t1,t2，溫度變化所需的熱量Q2 +流出區(qū)域的熱量Q1 區(qū)域自身產(chǎn)生的熱量Q3。建模采用的方法微（單）元體方法，考慮任意一個(gè)區(qū)域，其表面是S。流出熱量：根據(jù)Fourier定律表示溫度變化所需的熱量：與物體的比熱有關(guān)自身產(chǎn)生的熱量： 本身是熱源Q2 +Q1 Q3熱傳導(dǎo)方程：溫度變化與熱量的關(guān)系溫度變化需要的熱量Q2熱量（吸收或釋放）溫度差密度比熱從t到t+dt時(shí)間內(nèi)，點(diǎn)(x, y, z)處的溫度自u(píng)(x, y, z, t)變?yōu)閡(x, y, z, t+dt)，在t, t+dt微元時(shí)間段，溫差如何表示?t, t+dt時(shí)間內(nèi)，區(qū)域溫度變化所需熱量為在t1, t2時(shí)間內(nèi)，溫度變

4、化所需要的熱量為熱傳導(dǎo)方程：流進(jìn)（出）的熱量Q1比例系數(shù)k0稱為導(dǎo)熱率，與材料有關(guān)，一般視為常數(shù)符號(hào)表示熱流方向和溫度增大的方向相反。傅立葉定律溫度梯度的定義：熱流強(qiáng)度矢量：q（單位時(shí)間流經(jīng)單位面積的熱量）計(jì)算t到t+dt時(shí)間內(nèi)，在點(diǎn)(x, y, z)流經(jīng)微元面積dS的熱量其中，n為微元面積dS的外法線向量。t1至t2時(shí)間內(nèi)流出S的熱量為兩處dS的區(qū)別，前者是微元面積，后者向量Laplace方程、位勢(shì)方程考慮無(wú)熱源的熱傳導(dǎo)問(wèn)題，經(jīng)過(guò)了相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)間后，溫度趨于穩(wěn)定，則熱傳導(dǎo)方程變?yōu)榉Q為L(zhǎng)aplace方程，或位勢(shì)方程，記為弦的振動(dòng)方程弦振動(dòng)如何描述弦是連續(xù)的而非離散的質(zhì)點(diǎn)組，弦是橫向振動(dòng)的，在時(shí)刻t，弦的形狀是曲線u(x, t)它的運(yùn)動(dòng)應(yīng)符合牛頓運(yùn)動(dòng)定律，簡(jiǎn)化假設(shè)如下：設(shè)弦在未受擾動(dòng)時(shí)平衡位置是x軸；兩端分別固定在x=0及x=l處，而其上各點(diǎn)均以該點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示；輕，忽略重力；質(zhì)量均勻分布；柔軟，張力方向與弦相切；無(wú)內(nèi)力抵抗彎曲變形應(yīng)用模型假設(shè)得到的結(jié)論：弦的振動(dòng)方程經(jīng)化簡(jiǎn)：平衡方程最后的結(jié)論：進(jìn)一步假設(shè)：弦的橫振動(dòng)方程 弦的振動(dòng)方程一維：二維：三維： 自由振動(dòng) 強(qiáng)迫振動(dòng)波動(dòng)方程三類典型的數(shù)理方程三種典型方程簡(jiǎn)析物理量關(guān)于時(shí)間的變化率1、波動(dòng)方程含有關(guān)于時(shí)間t的二階偏導(dǎo)數(shù)，物理現(xiàn)