課件理論力學(xué)a2第九章

1、1第九章 拉格朗日方程L=T-V : 拉格朗日函數(shù)(系統(tǒng)的動(dòng)勢(shì)) : 作用于系統(tǒng)的非有勢(shì)力對(duì)應(yīng)的廣義力2例：由拉格朗日方程導(dǎo)出質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程(牛頓第二定律)。 1. 自由質(zhì)點(diǎn)為三自由度； 2. 取空間直角坐標(biāo) (x, y, z) 為廣義坐標(biāo)； 3. 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能： 4. 作用在質(zhì)點(diǎn)上的合力為 F ； 5. 計(jì)算廣義力： 取虛位移： y = z = 0 , x 0 合力做功： 對(duì)應(yīng)廣義坐標(biāo) x 的廣義力： 3 同理： 6. 代入拉格朗日方程：4剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程設(shè)：剛體具有 質(zhì)量對(duì)稱面，對(duì)稱面在自身所在的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，作用在剛體上的力系可簡(jiǎn)化為對(duì)稱平面內(nèi)的一個(gè)平面力系。利用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和相對(duì)質(zhì)心

2、的動(dòng)量矩定理51. 剛體運(yùn)動(dòng)分解成隨質(zhì)心的平動(dòng)+繞質(zhì)心的(定軸)轉(zhuǎn)動(dòng)；例：由拉格朗日方程導(dǎo)出剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程。2. 作用在剛體上的力向質(zhì)心簡(jiǎn)化：三自由度，取廣義坐標(biāo)：3. 剛體的動(dòng)能：. 計(jì)算廣義力： 取虛位移： 力系做功： 6 取虛位移： 取虛位移： . 代入拉格朗日方程：7第九章 拉格朗日方程1. 動(dòng)力學(xué)普遍方程2. 拉格朗日方程 3. 拉格朗日方程的首次積分 8動(dòng)力學(xué)的基本方法牛頓定律動(dòng)量定理動(dòng)量矩定理動(dòng)能定理達(dá)朗貝爾原理/動(dòng)靜法虛位移原理拉格朗日方程守恒律首次積分99-3、拉格朗日方程的首次積分什么是首次積分？通過(guò)拉格朗日方程：系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程：10如果存在函數(shù)使得將系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程

3、的任意解代入其中后，有：則稱 為系統(tǒng)的首次積分。11例：質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)的自由振動(dòng)方程通解：取：將通解代入：為系統(tǒng)的首次積分。129-3、拉格朗日方程的首次積分一、質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能表達(dá)式的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)13對(duì)于定常約束的質(zhì)點(diǎn)系有：14已知非定常約束則系統(tǒng)的自由度為 k=1系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)： q 系統(tǒng)的動(dòng)能為：15設(shè)：系統(tǒng)主動(dòng)力為有勢(shì)力循環(huán)坐標(biāo)：拉格朗日函數(shù) L 中不顯含的廣義坐標(biāo)拉格朗日函數(shù)表示成：二、循環(huán)積分則：該式稱為循環(huán)積分 稱為對(duì)應(yīng)于廣義坐標(biāo) 的廣義動(dòng)量拉格朗日方程：如果：16拉格朗日方程：三、能量積分：如果拉格朗日函數(shù)中不顯含時(shí)間 t，17廣義能量積分對(duì)于具有定常約束的保守系統(tǒng)有：機(jī)械能守恒18例：

4、水平面光滑，給出系統(tǒng)拉格朗日方程的首次積分。解：系統(tǒng)的主動(dòng)力為有勢(shì)力系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能分別為拉格朗日函數(shù) 中不顯含廣義坐標(biāo) x 和時(shí)間 t系統(tǒng)的水平動(dòng)量守恒系統(tǒng)的機(jī)械能守恒1919例：圖示系統(tǒng)：地面光滑，圓柱(半徑為 r )作純滾動(dòng)，求系統(tǒng)的首次積分。解：系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)：循環(huán)積分：整體水平動(dòng)量守恒能量積分：機(jī)械能守恒20例：考慮圖示系統(tǒng)，設(shè)質(zhì)量塊 A 和 B 的質(zhì)量分別為 和 ,彈簧常數(shù)為 k，約束面水平光滑。循環(huán)坐標(biāo)的存在與廣義坐標(biāo)的取法有關(guān)取質(zhì)量塊的絕對(duì)位移 為廣義坐標(biāo)，其中 的坐標(biāo)原點(diǎn)取在固定位置， 的坐標(biāo)原點(diǎn)取在距 的原點(diǎn)距離為l (彈簧未變形時(shí)長(zhǎng)度)的固定位置21取 A 的絕對(duì)位移

5、 、質(zhì)量塊 B 相對(duì) A 的位移 為廣義坐標(biāo):顯然 為循環(huán)坐標(biāo)22例：圖示機(jī)構(gòu)在鉛垂面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，假定地面光滑，均質(zhì)桿AB用光滑鉸鏈與均質(zhì)圓盤連接。求系統(tǒng)的首次積分。AB=2l解：系統(tǒng)的主動(dòng)力均為有勢(shì)力AB23拉格朗日函數(shù) L 中不顯含廣義坐標(biāo) x、 和時(shí)間 t系統(tǒng)的水平方向動(dòng)量守恒圓輪關(guān)于輪心的動(dòng)量矩守恒機(jī)械能守恒24例：圖示機(jī)構(gòu)在鉛垂面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，均質(zhì)圓盤在地面上純滾動(dòng)，均質(zhì)桿AB用光滑鉸鏈與圓盤連接。求系統(tǒng)的首次積分。AB=2lAB解：系統(tǒng)的主動(dòng)力均為有勢(shì)力拉格朗日函數(shù) 中不顯含廣義坐標(biāo) x 和時(shí)間 t系統(tǒng)的廣義動(dòng)量守恒25研究整體：AB研究圓盤：（1）（2）26例：圖示機(jī)構(gòu)在鉛垂面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，假定

6、地面光滑，均質(zhì)桿AB用光滑鉸鏈與均質(zhì)圓盤連接。求系統(tǒng)的首次積分。設(shè)初始時(shí)系統(tǒng)靜止，桿水平。AB=2lAB1. 如何求積分常數(shù)27初始條件：28例：系統(tǒng)如圖所示，已知： m, k, = const., l0 為彈簧原長(zhǎng)。 求滑塊的拉格朗日方程首次積分。解：系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)為 q拉格朗日函數(shù) 中不顯含時(shí)間 t則拉格朗日方程有廣義能量積分滑塊的相對(duì)動(dòng)能牽連慣性力的勢(shì)能29例：系統(tǒng)如圖所示，求系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程；維持 AB 勻角速 轉(zhuǎn)動(dòng)所需的控制力偶 M. 已知： 為彈簧原長(zhǎng)。解：系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)為當(dāng) 時(shí)30相對(duì)運(yùn)動(dòng)中的動(dòng)能定理與離心勢(shì)能一、質(zhì)點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)基本方程動(dòng)系(非慣性參考系)定系（慣性參考系）動(dòng)點(diǎn)牽連慣性力: 科氏慣性力： 3132相對(duì)運(yùn)動(dòng)中的動(dòng)能定理離心勢(shì)能 相對(duì)運(yùn)動(dòng)中動(dòng)能的改變, 等于內(nèi)力、外力之功與牽連慣性力之功的和.當(dāng)動(dòng)系作勻速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí), 牽連慣性力(離心力)是有勢(shì)力.離心勢(shì)能33例：系統(tǒng)如圖所示，已知： m