化歸思想在立幾中的探究

1、化歸思想在立幾中的探究我們?cè)诮鉀Q代數(shù)問(wèn)題時(shí)經(jīng)常使用化歸思想方法。數(shù)學(xué)解題過(guò)程實(shí)際上就是不斷的進(jìn)展化歸的過(guò)程，化歸是數(shù)學(xué)研究中普遍采用的一種思想，也是解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵，而這一思想的應(yīng)用在立體幾何的學(xué)習(xí)中尤為突出，不管是線線、線面、面面之間平行、垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，空間圖形的證明與計(jì)算轉(zhuǎn)化為平面圖形的證明與計(jì)算，還是空間幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算關(guān)系，幾乎貫穿于立體幾何的全部領(lǐng)域，而數(shù)學(xué)課堂上學(xué)生往往只注意了這些知識(shí)的學(xué)習(xí)，注意了新知識(shí)的增長(zhǎng)，并未曾注意聯(lián)想到這些知識(shí)的觀點(diǎn)以及由此出發(fā)產(chǎn)生的解決問(wèn)題的方法和策略，所以要增強(qiáng)學(xué)生對(duì)各種關(guān)系轉(zhuǎn)化的意識(shí)是關(guān)鍵，而這一意識(shí)的培養(yǎng)、增強(qiáng)全靠教師在教學(xué)中幫助學(xué)生有

2、效地、有目的地進(jìn)展化歸，從而進(jìn)步解題才能。不妨先從實(shí)例來(lái)作研究。一、題型的化歸：1、化歸為基此題型：立體幾何中我們知道有一些基此題形是我們平時(shí)經(jīng)常研究的，如：正方體、四個(gè)面全為直角的三棱錐中的問(wèn)題等。棱長(zhǎng)為a的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)均在一個(gè)球面上，求此球的外表積與體積解：以正四面體的每條棱作為一個(gè)正方體的面的一條對(duì)角線構(gòu)造如下列圖的正方體，那么該正四面體的外接球也就是正方體的外接球分析：聯(lián)絡(luò)正四面體，如圖3，pa、pb、p兩兩成600，高p與棱pa所成的角即為圖8中p與pa所成的角，而在正四面體中，p與pa所成角的正弦值為，故pe=。3、幾何問(wèn)題代數(shù)化如圖4，在長(zhǎng)方形中，為的中點(diǎn)，為線段端點(diǎn)除外上

3、一動(dòng)點(diǎn)現(xiàn)將沿折起，使平面平面在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作，為垂足設(shè)，那么的取值范圍是此題在解的過(guò)程中引進(jìn)了變量，從而將求的范圍問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求關(guān)于函數(shù)值域問(wèn)題。二、圖形的化歸1、化歸為平面幾何問(wèn)題在立體幾何中，一般求外表間隔 最短問(wèn)題通常都轉(zhuǎn)化為將此幾何體按一定要求側(cè)展，變空間問(wèn)題為平面幾何問(wèn)題。如圖6，在四面體pab中，papbp2，apbbpap30，一只螞蟻從a點(diǎn)出發(fā)沿著四面體的外表繞一周，再回到a點(diǎn)。問(wèn)：螞蟻沿著怎樣的途徑爬行時(shí)路程最短，最短路程是多少？解：如右圖，將四面體沿pa剪開，并將其側(cè)面展開平鋪在一個(gè)平面上，連接aa分別交pb，p于e，f兩點(diǎn)，那么當(dāng)螞蟻沿著aefa途徑爬行時(shí)，路程最短在apa中

4、，apa90，papa2，aa22，即最短路程aa的長(zhǎng)為22.2、化歸為平面圖形在立體幾何中常將空間圖形中的條件有目的地化歸到幾何體內(nèi)的一個(gè)平面圖形中去，再結(jié)合平面幾何知識(shí)來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。如圖7，在正方體abda1b11d1中，棱長(zhǎng)為a,e為棱1上的的動(dòng)點(diǎn)1求證：a1ebd；2當(dāng)e恰為棱1的中點(diǎn)時(shí)，求證：平面a1bd平面ebd.證明：1略，3、整體與局部的化歸1補(bǔ)成整體：設(shè)p，a，b，是球外表上的四個(gè)點(diǎn)，pa、pb、p兩兩垂直，且，求球的體積與外表積。解：在球中構(gòu)造一個(gè)正方體，使該正方體的棱長(zhǎng)為1，那么此正方體中的某四個(gè)點(diǎn)必滿足條件，故正方體的對(duì)角線長(zhǎng)即為該球直徑，所以有體積為，外表積為。將三

5、棱錐補(bǔ)成正方體，是解決該題的關(guān)鍵。2割成局部：如圖8，平行六面體abda1b11d1的底面abd是菱形，且1b=1d=bd，證明：1bd；分析：假設(shè)我們從該圖中僅觀察三棱錐b1d，就可以研究上面問(wèn)題。綜上可見，運(yùn)用化歸法解立體幾何題是一種很有力的工具，我們?cè)诮忸}當(dāng)中，應(yīng)當(dāng)熟悉和掌握這一工具，并能自覺地運(yùn)用這一工具?；瘹w是一種重要的數(shù)學(xué)思想。實(shí)際上，中學(xué)數(shù)學(xué)中，化歸方法的應(yīng)用不僅表達(dá)在立體幾何中，它無(wú)處不在。所以數(shù)學(xué)中注意化歸思想的培養(yǎng)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，開展解題才能都無(wú)疑是至關(guān)重要的?；瘹w方法之間彼此親密聯(lián)絡(luò)，只是表現(xiàn)形式有所側(cè)重，總的來(lái)說(shuō)，化歸方法就是把未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為問(wèn)題，把陌生問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉問(wèn)題，把繁雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題。而這里所說(shuō)的轉(zhuǎn)化，不是無(wú)目的活動(dòng)，問(wèn)題