數(shù)學(xué)思想方法在小學(xué)數(shù)學(xué)解題中的滲透

1、數(shù)學(xué)思想方法在小學(xué)數(shù)學(xué)解題中的滲透數(shù)學(xué)思想方法是人們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識(shí)和對(duì)所使用的方法和規(guī)律 的理性認(rèn)識(shí)。 小學(xué)數(shù)學(xué)解題中會(huì)涉及到許多數(shù)學(xué)思想方法， 重視對(duì)這些數(shù)學(xué)思想 方法的滲透和運(yùn)用，能增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，啟迪學(xué)生的思維，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué) 智能，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力；有利于學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的真諦，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué) 地思考問題，掌握解決數(shù)學(xué)問題的途徑、手段和策略，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)及分 析問題和解決問題的能力。一、轉(zhuǎn)化的思想方法轉(zhuǎn)化是解決數(shù)學(xué)問題常用的思想方法。轉(zhuǎn)化就是將有待解決或未解決的問 題，通過某種轉(zhuǎn)化手段， 歸結(jié)為另一個(gè)相對(duì)比較容易解決的或者已經(jīng)有解決程序 的問題，以求得問題的解答。

2、小學(xué)數(shù)學(xué)解題中，遇到一些數(shù)量關(guān)系復(fù)雜、隱蔽而 難以解決的問題時(shí)，可通過轉(zhuǎn)化，使生疏的問題熟悉化、抽象的問題具體化、復(fù) 雜的問題簡(jiǎn)單化，從而順利解決問題。例 1 ：甲、乙兩校共有學(xué)生 2100 人，甲校人數(shù)的 2 等于乙校人數(shù)的 10 。甲、5 17 乙兩校各有學(xué)生多少人？分析與解 ：題中甲校學(xué)生總數(shù)和乙校學(xué)生總數(shù)的關(guān)系比較隱蔽復(fù)雜， 可以把 已知條件“甲校人數(shù)的 2等于乙校人數(shù)的 10 ”轉(zhuǎn)化為“甲校人數(shù)與乙校人數(shù)的5 171010 2比是 25 17（甲 =乙 ，甲乙 = =2517）”，本是復(fù)雜的問題就51717 525變得十分簡(jiǎn)單了。由此可求出甲校學(xué)生人數(shù) =2100 25 =1250（

3、人），乙校學(xué)25 1717生人數(shù) =2100 17 =850（人）。25 17例 2 ： 上學(xué)期六（ 1 ）班的男生是女生的 5 ，這學(xué)期六（ 1）班又轉(zhuǎn)來了 23名女同學(xué)，現(xiàn)在六（ 1）班的男生是女生的 3 。上學(xué)期六（ 1）班有男生和女生共2多少人？分析與解： 題中先后出現(xiàn)兩個(gè)分率，都是以女生人數(shù)為單位“ 1”，但恰恰是1）女生的人數(shù)發(fā)生了變化，讓人難以下手解答?？梢园杨}中條件“上學(xué)期六（ 班的男生是女生的 5 ”轉(zhuǎn)化成“上學(xué)期六（ 1）班的女生是男生的 現(xiàn)在正好是原來的 23借助線段圖，很清楚地看出 700 千克與 5和 2的相互重疊處相對(duì)應(yīng)，由此83 可以得到以下幾種解法：解法 1：從

4、左往右看，700 千克是 2 與 1- 5 的差，解法為：700 2 -（1- 5 ） 。 8 3 8 ”，再把“現(xiàn)35在六（ 1）班的男生是女生的 3 ”轉(zhuǎn)化成“現(xiàn)在六（ 1）班的女生是男生的 2 ”。23 這樣，通過轉(zhuǎn)化就把男生轉(zhuǎn)化成了單位“ 1”，由于男生人數(shù)沒有發(fā)生變化，很容 易找到“轉(zhuǎn)來 2 名女同學(xué)”的對(duì)應(yīng)分率 23= 1 。由此可求出上學(xué)期六（ 1）5 15 13 班有男生 2 1 =30（人），有女生 30 3 =18（人），所以，上學(xué)期六（ 1）班有15 5男生和女生共 30 18=48（人）。二、數(shù)形結(jié)合的思想方法 數(shù)形結(jié)合思想方法，就是把問題的數(shù)量關(guān)系和空間形式結(jié)合起來去

5、分析問 題、解決問題，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，使得抽象的 數(shù)學(xué)概念或復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系直觀化、形象化、簡(jiǎn)單化。小學(xué)數(shù)學(xué)解題中，有些問 題數(shù)量關(guān)系復(fù)雜， 用一般的思考方法難以發(fā)現(xiàn)解題線索， 可以把題中的條件和問 題用圖形直觀形象地表示出來，然后“按圖索驥” ，便能很快發(fā)現(xiàn)解題的線索， 使問題迅速得到解決。5例 3：水果店有一批水果，運(yùn)出總數(shù)的 5 后，又運(yùn)進(jìn) 700千克，現(xiàn)在水果店8里的水果正好是原來的 2 。原來水果店的水果是多少千克？3分析與解： 讀題后，畫出線段圖：原來？千克運(yùn)出總數(shù)的 85運(yùn)進(jìn) 700 千克解法 2：從右往左看，700千克是 5與 1- 2的差，解法為：

6、700 5-（1- 2 ） 。8 3 8 3解法 3：從兩端往中間看， 700千克是夾在 1- 5與1- 2中間的一段，解法為： 8352 7001- （ 1- ）-（1- ） 。83解法 4：從整體上看，700千克是 2與5的重疊部分，解法為：700（ 2+5-1）3 8 3 8例 4：全班同學(xué)去劃船，如果減少一條船，每條船正好坐 9 個(gè)同學(xué)；如果增加一條船，每條船正好坐 6 個(gè)同學(xué)。這個(gè)班有多少個(gè)同學(xué)？H FDS2CGK JS1A E B L分析與解： 如圖，用長(zhǎng)方形的長(zhǎng)表示船的條數(shù)，寬表示每條船坐的學(xué)生數(shù)， 用長(zhǎng)方形的面積表示這個(gè)班的學(xué)生數(shù)。 “如果減少一條船，每條船正好坐 9 個(gè)同 學(xué)

7、。”即長(zhǎng)方形的長(zhǎng)減少 1，寬增加到 9；“如果增加一條船，每條船正好坐 6 個(gè) 同學(xué)” 即長(zhǎng)方形的長(zhǎng)增加 1，寬減少到到 6。由于這個(gè)班的學(xué)生數(shù)不變，也就是 長(zhǎng)方形的面積不變，所以圖中 S1（長(zhǎng)方形 ELJK）=S2（長(zhǎng)方形 GKFH），從而長(zhǎng)方 形 AEFH=6 2（ 96） 9=36，即這個(gè)班有 36 個(gè)同學(xué)。三、假設(shè)的思想方法 假設(shè)是一種常用的推測(cè)性的數(shù)學(xué)思想方法。小學(xué)數(shù)學(xué)解題中，有些問題數(shù)量 關(guān)系比較隱蔽，難以建立數(shù)量之間的聯(lián)系，或數(shù)量關(guān)系抽象，無從下手?？梢愿?據(jù)問題的具體情況合理假設(shè)，由此得出一些關(guān)系和結(jié)論，產(chǎn)生差異與矛盾，通過 分析與思考，找出差異的原因，使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，數(shù)量關(guān)

8、系明朗化，從而達(dá)到 解決問題的目的。例 5：甲乙兩人同時(shí)從相距 36 千米的 A 地向 B 地行駛，甲騎自行車每小時(shí) 行 12千米，乙步行每小時(shí)行 4千米。甲到 B地后休息 2 小時(shí)返回 A地，中途與 乙相遇，相遇時(shí)乙行了多少千米？分析與解： 假設(shè)甲到 B地后沒有休息，繼續(xù)行駛，那么相遇時(shí)甲乙兩人共行 的路程是： 362122=96（千米）。由此可求出兩人經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間相遇，也就 是乙行駛的時(shí)間是 96（ 12 4） 6（小時(shí)），所以相遇時(shí)乙行了 46=24（千 米）。1例 6： 養(yǎng)雞場(chǎng)分三次把一批肉雞投放市場(chǎng)，第一次買出的比總數(shù)的 1 多 10031只，第二次買出的比總數(shù)的 1 少 120只，

9、第三次買出 320 只。這批雞共有多少只？2分析與解： 本題的特點(diǎn)是分率后面還有個(gè)具體數(shù)量，給思考帶來麻煩?？梢?假設(shè)沒有后面的具體數(shù)量，去零為整，這樣便于思考。假設(shè)第一次正好買出總數(shù) 的 1 ，把多的 100 只放在第三次買出，即第三次要多買出 100 只；假設(shè)第二次正3好買出總數(shù)的 1 ，那么少的 120只需要從第三次取來，即第三次要少買出 120只。2這樣，第三次多買出的只數(shù)是 320100120=300（只）。由此可求出這批雞共 11有 300（1 1 1 ）=1800（只）。32四、整體的思想方法整體的思想方法就是從整體觀點(diǎn)出發(fā)，有意識(shí)地放大思考問題的“視角”， 縱觀全局，通過研究問

10、題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)、整體特征，并對(duì)其進(jìn)行調(diào)節(jié)和 轉(zhuǎn)化，從而使問題得到解決。小學(xué)數(shù)學(xué)解題中，有些問題從每個(gè)部分或條件去思 考不易解決時(shí)，可以把問題的各個(gè)部分或條件作為一個(gè)整體，全面考慮，往往能 收到意想不到的效果，使繁難的問題得到迅速巧妙的解決。例 7：如下圖，在三角形內(nèi)分別以三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，畫三個(gè)半徑 3 厘米的扇 形，這三個(gè)扇形面積的和是多少平方厘米？分析與解： 按常規(guī)解法，求三個(gè)扇形面積的和是多少平方厘米，只要分別找 到三個(gè)扇形的半徑和圓心角的度數(shù)， 求出每個(gè)扇形的面積， 再把結(jié)果相加就很容 易求出答案， 但題中無法找到這三個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)。 由題中條件可知這三 個(gè)扇形的圓心角剛好

11、是三角形的三個(gè)內(nèi)角， 從整體考慮， 這三個(gè)扇形圓心角的度 數(shù)和剛好是三角形的內(nèi)角和 1800。如果把這三個(gè)扇形合并起來正好是一個(gè)半徑為 3 厘米的半圓，所以這三個(gè)扇形面積的和是 3.14 322=14.13 （平方厘米）。1例 8：甲、乙、丙三人合修一段公路，甲修的路是乙丙所修路的 1 ，乙修的2 路是甲丙所修路的 7 ，丙修了 1350 米。這段公路長(zhǎng)多少米？17分析與解：從“甲修的路是乙丙所修路的 1 ”和“乙修的路是甲丙所修路的27 ”去思考，問題難于解答，主要原因是單位“ 1 ”在不斷變化。不妨從整體上17分析：以這段公路的全長(zhǎng)為單位“ 1”，那么甲修的路是這段公路的1 ，乙修127

12、1 7 3 的路是這段公路的 7 。這樣，丙就修了這條路的 1 1 7 =3 。所以7 17 1 2 7 17 8 這段公路長(zhǎng) 1350 3 =3600（米）8五、比較的思想方法教育家烏申斯基說過： “比較是一切理解和思維的基礎(chǔ)，我們正是通過比較 來了解世界上的一切。 ”顯然烏申斯基所強(qiáng)調(diào)的是一種思想方法，即比較的思想 方法。比較的思想方法就是通過對(duì)問題的相同點(diǎn)、不同點(diǎn)的對(duì)比，全面而深刻地 認(rèn)識(shí)問題的本質(zhì)。小學(xué)數(shù)學(xué)解題中，可以對(duì)題中的條件或問題進(jìn)行比較，找出它 們之間存在的差異，分析存在差異的原因，從而找到解決問題的方法。例 9：小強(qiáng)買 2 枝真彩水筆和 3 塊橡皮，用去 2.2 元，小華買同

13、樣的真彩水 筆 4 枝和 3 塊橡皮，用去 3.8 元。求每枝真彩水筆和每塊橡皮售價(jià)各多少元？ 分析與解： 摘錄題中條件，列表如下：真彩水筆（枝）橡皮（塊）用錢（元）小強(qiáng)232.2小華433.8比較“小強(qiáng)”、“小華”兩組數(shù)量會(huì)發(fā)現(xiàn)，兩人所買橡皮的塊數(shù)相同，小華比小強(qiáng)多買了（ 42）枝真彩水筆，多用了（ 3.8 2.2 ）元。所以每枝真彩水筆售 價(jià)是（ 3.8 2.2 ）（ 42）=0.8（元），而每塊橡皮售價(jià)是（ 2.2 0.8 2） 3=0.2 （元）。例 10：某班男生人數(shù)的 1 與女生人數(shù)的 5共有 20人，而男生人數(shù)的 1與女8 2 生人數(shù)的 2 共有 26 人。這個(gè)班有男生和女生各多

14、少人？3分析與解：將題中條件列表如下：條件人數(shù)第一種情況男生的 1 女生的 54820人第二種情況男生的 1 與女生的 22326人直接比較有困難，可以將第一種情況的條件擴(kuò)大 2 倍，人數(shù)也相應(yīng)擴(kuò)大 2 倍， 則第一種情況變?yōu)椋耗猩藬?shù)的 1 與女生人數(shù)的 5 2（ 5 ）共有 40 人。這時(shí)比 2 8 4 較第一、第二兩種情況可以發(fā)現(xiàn)女生的 5 比 2 多（ 4026）人。從而可求出：女 43221生人數(shù)是（ 4026）（ 5 2 ）=24（人），男生人數(shù)是（ 2624 2 ）1 =204 33251（人），或（ 2024 5 ） 1 =20（人）。84六、分類的思想方法有些數(shù)學(xué)問題，由于條

15、件與問題之間的聯(lián)系不是單一的，情況比較復(fù)雜，為 了解決問題的方便，需要對(duì)各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這 就是分類的思想方法。 它是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法， 應(yīng)用分類的思想方法要做 到分類恰當(dāng)，不重復(fù)不遺漏。例 11：給一本書編頁碼，一共用去 732 個(gè)數(shù)字，這本書一共有多少頁？分析與解： 按照每個(gè)頁碼所用數(shù)字的個(gè)數(shù)分類：只用一個(gè)數(shù)字的有19頁，共用了 9 個(gè)數(shù)字；用二個(gè)數(shù)字的有 1099 頁，共用了 2（ 999）=180 （個(gè)）數(shù)字；余下的（ 7321809）個(gè)數(shù)字用來編三位數(shù)的頁碼， 可以編（732 180 9）3=18（1 個(gè)）頁碼。于是可以求出這本書一共有 990181=280（頁）。例 12 ：一段長(zhǎng)方體木料，長(zhǎng)、寬、高分別是 10 厘米 、 8 厘米和 6 厘米?，F(xiàn) 在把它加工成一個(gè)最大的圓柱體模型， 加工成的最大圓柱體模型的體積是多少？ 分析與解： 用這段長(zhǎng)方體木料加工一個(gè)最大的圓柱體模型， 可以有三種不同 的加工方法，加工的圓柱體模型體積也不同，因此不能直接求解，可運(yùn)用分類的 思想方法求解。以長(zhǎng)方體木料上下面為底，以長(zhǎng)方體木料高為圓柱體高，由此圓柱體底面