第章 平穩(wěn)時間序列分析

1、 第3章 平穩(wěn)時間序列分析本章教學(xué)內(nèi)容與要求：了解時間序列分析的方法性工具；理解并掌握ARMA模型的性質(zhì)；掌握時間序列建模的方法步驟及預(yù)測；能夠利用軟件進行模型的識別、參數(shù)的估計以及序列的建模與預(yù)測。本章教學(xué)重點與難點：利用軟件進行模型的識別、參數(shù)的估計以及序列的建模與預(yù)測。計劃課時：21（講授16課時，上機3課時、習(xí)題3課時）教學(xué)方法法與手段段：課堂堂講授與與上機操操作3.11 方法法性工具具一個序列列經(jīng)過預(yù)預(yù)處理被被識別為為平穩(wěn)非非白噪聲聲序列，那就說說明該序序列是一一個蘊含含著相關(guān)關(guān)信息的的平穩(wěn)序序列。在在統(tǒng)計上上，我么么通常是是建立一一個線性性模型來來擬合該該序列的的發(fā)展，借此提提取該

2、序序列中的的有用信信息。AARMAA(auuto reggresssioon mmoviing aveeragge)模模型是目目前最常常用的一一個平穩(wěn)穩(wěn)序列擬擬合模型型。時間序列列分析中中一些常常用的方方法性工工具可以以使我們們的模型型表達(dá)和和序列分分析更加加簡潔、方便。一、差分分運算（一）pp階差分分相距一期期的兩個個序列值值之間的的減法運運算稱為為1階差差分運算算。記為的1階階差分：對1階差差分后的的序列再再進行一一次1階階差分運運算稱為為2階差差分，記記2為的2階階差分：2=-以此類推推，對pp-1階階差分厚厚序列再再進行一一次1階階差分運運算稱為為p階差差分。記記p為的p階階差分：p=

3、p-11-p-11（二）kk步差分分相距k期期的兩個個序列值值之間的的減法運運算稱為為k步差差分運算算。記k為的k步步差分：k=例：簡單單的序列列：66，9，15，43，8，117，220，338，44，100，1階差分分：，即1階差差分序列列：3，6，228，-35，9，33，188，-334，66，2階差分分：2=-=32=-=2222=-=-440即2階差差分序列列2：3，22，-633，-554，-6，116，-52，-400，2步差分分：222即2步差差分序列列：9，34，-7，-266，122，211，-116，-28二、延遲遲算子（滯后算算子）（一）定定義延遲算子子類似于于一個時

4、時間指針針，當(dāng)前前序列值值乘以一一個延遲遲算子，就相當(dāng)當(dāng)于把當(dāng)當(dāng)前序列列值的時時間向過過去撥去去了一個個時刻。記B為為延遲算算子，有有（二）性性質(zhì)1.2.3.若cc為任一一常數(shù)，有4.對任任意兩個個序列和和，有5.，其其中（三）用用延遲算算子表示示差分運運算1.p階階差分p=例如上例例中，2xt=C20 xt-C21xt-1+C22xt-2因此，2x3=x3-2x2+x1=115-118+66=32x4=x4-2x3+x2=43-330+99=2222.k步步差分k=三、線性性差分方方程在實踐序序列的時時域分析析中，線線性差分分方程是是非常重重要的，也是極極為有效效的工具具，事實實上，任任何一

5、個個ARMMA模型型都是一一個現(xiàn)象象差分方方程。因因此，AARMAA模型的的性質(zhì)往往往取決決于差分分方程的的性質(zhì)。為了更更好地討討論ARRMA模模型的性性質(zhì)，先先簡單介介紹差分分方程的的一般性性質(zhì)。常系數(shù)微微分方程程是描述述連續(xù)時時間系統(tǒng)統(tǒng)的動態(tài)態(tài)性工具具，相應(yīng)應(yīng)的，描描述離散散型時間間系統(tǒng)的的主要工工具就是是常系數(shù)數(shù)差分方方程。（一）線線性差分分方程的的定義定義：稱稱如下形形式的方方程為序序列的線線性差分分方程： （1）式中，為為實數(shù)；為t的的已知函函數(shù)。特別地，若，則則差分方方程 （2） 稱為齊次次線性差差分方程程。否則則，成為為非齊次次線性差差分方程程。齊次線性性差分方方程的解解設(shè)Zt=

6、t,帶入入齊次線線性差分分方程（2）得得，t+a1t-1+apt-p=0，方方程兩邊邊同除以以t-p，得特特征方程程 p+a1p-1+ap=0 （3）這是一個個一元pp次方程程，應(yīng)該該至少有有p個非非零實根根，稱這這p個實實根為特特征方程程（3）的特征征根，不不防記作作1、2、p.特征征根的取取值情況況不同，齊次線線性差分分方程的的解會有有不同的的表達(dá)形形式。1、2、p為p個不不同的實實根，（2）的的解為zt=c11t+c22t+cppt，c1、c2、cp為任意意常數(shù)。1、2、p中有相同同實根。假設(shè)1、2、d為dd個相同同實根，d+1、d+2、p為不同同實根，則（22）的解解為zt=(c1+c

7、2t+cdtd-1)+cd+1d+1t+cd+2d+2t+cppt，c1、c2、cp為任意意常數(shù)。3、1、2、p中有有復(fù)根（自己看看）（三）非非齊次線線性差分分方程的的解線性差分分方程（1）的的解是齊齊次線性性差分方方程（22）的通通解+非非齊次線線性差分分方程（1）的的一個特特解構(gòu)成成。求解以下下線性差差分方程程zt-6zt-1+9zt-2=0設(shè)Zt=t代人得得 t-6t-1+9t-2=0，同除除以t-2得 2-6+9=0，得1=2=3所以，齊齊次方程程zt-6zt-1+9zt-2=0的通解解為zt=c11t+c22t=c1+c23t例2、求求解以下下線性差差分方程程zt-3zt-1+2zt

8、-2=3t、求齊次次方程zt-3zt-1+2zt-2=0的的通解設(shè)Zt=t代人得得 t-3t-1+2t-2=0，同除除以t-2得 2-3 +2=0，得1=1，2=2所以，齊齊次方程程zt-3zt-1+2zt-2=0的通解解為zt=c11t+c22t=c1+c22t、求非齊齊次方程程zt-3zt-1+2zt-2=3t的特解解（非唯唯一，求求解方式式可多種種，只要要找到一一個解滿滿足方程程即可）設(shè)zt=c3t代入原原方程得得：c3t-3c3t-1+2c3t-2=3t 2c=9,cc=9/2，即zt=4.53t為原方方程的一一個特解解（3）、所以原原方程的的解Zt=c1+c22t+4.5*3t四、時

9、間間序列模模型與線線性差分分方程（意義）線性差分分方程在在實際序序列分析析中有重重要的應(yīng)應(yīng)用，常常用的時時序模型型和某些些模型自自協(xié)方差差函數(shù)合合自相關(guān)關(guān)系數(shù)都都可以視視為線性性差分方方程，而而線性差差分方程程對應(yīng)的的特征根根的性質(zhì)質(zhì)對判斷斷模型的的平穩(wěn)性性有非常常重要的的意義。3.22 AARMAA模型的的性質(zhì)一、ARR模型（一）定定義：具有如下下結(jié)構(gòu)的的模型稱稱為p階階自回歸歸模型，簡記為為AR(P)：1.ARR(P)的三個個限制條條件：（1），保證了了模型的的最高階階數(shù)為pp。（2），要求隨隨機干擾擾序列為為零均值值白噪聲聲序列。（3），說明當(dāng)當(dāng)期的隨隨機干擾擾與過去去的序列列值無關(guān)關(guān)。

10、通常情況況下，記記AR(P)模模型為2. 中中心化的的AR(P)模模型如果則以以上自回回歸模型型稱為中中心化的的AR(P)模模型：，后面的的分析都都是針對對中心化化的模型型進行的的。3.用延延遲算子子表示AAR(PP)：成為p階階自回歸歸系數(shù)多多項式。自回歸模模型描述述了后一一時刻的的行為與與前面時時刻的行行為有關(guān)關(guān)。（二）格格林函數(shù)數(shù)（Grreenn函數(shù)）設(shè)為平穩(wěn)穩(wěn)AR(P)模模型的特特征根，即的特特征根。任取帶帶入特征征方程：設(shè)為特征征多項式式的根。任取帶帶入方程程得：，兩邊同同時除以以得:可見，AAR(PP)模型型自回歸歸系數(shù)多多項式的的根是齊齊次線性性差分方方程的特特征根的的倒數(shù)。即由

11、為特征征多項式式的根可可知所以，（為常數(shù)數(shù)）稱為格林林函數(shù)，代入原原模型得得，可見，格林（Greeen）函數(shù)是是前j個個時刻以以前進入入系統(tǒng)的的隨機擾擾動對系系統(tǒng)現(xiàn)在在的行為為即序列列值影響響的權(quán)數(shù)數(shù)。根據(jù)待定定系數(shù)法法（略）可以推推出格林林函數(shù)的的遞推公公式：其中，例如：對對于ARR(1)模型，P=11對于ARR(2)模型，P=22練習(xí)ARR(3)模型格格林函數(shù)數(shù)。ARR(3)：P=3AR模型型平穩(wěn)性性判別要擬合一一個平穩(wěn)穩(wěn)序列，用來擬擬合的模模型顯然然應(yīng)該是是平穩(wěn)的的，ARR模型是是常用的的用來擬擬合平穩(wěn)穩(wěn)序列的的模型之之一，但但并非所所有的AAR模型型都是平平穩(wěn)的，因此需需要判別別模型的

12、的平穩(wěn)性性。例如，考考察如下下四個模模型的平平穩(wěn)性（1） （22）（3） （4）擬合這四四個序列列的序列列值，并并繪制時時序圖，可初步步判斷（1）、（3）平穩(wěn)，（2）、（44）不平平穩(wěn)（見見教材圖圖形）。時序圖圖檢驗比比較粗糙糙，準(zhǔn)確確的方法法有以下下兩種：特征根根判別與與自回歸歸系數(shù)判判別法。1.特征征根判別別對于一個個自回歸歸系統(tǒng)（格林函函數(shù)表示示法）要使平穩(wěn)穩(wěn)，必須須是隨著著j，擾動動項對的的以下逐逐漸減少少，直至至趨于00，即系系統(tǒng)隨著著時間的的增長回回到均衡衡位置，那么該該系統(tǒng)就就是穩(wěn)定定的，因因此用格格林函數(shù)數(shù)表示就就是limj=0i1時，才能能使limj=0，即即特征根根都在單單

13、位圓內(nèi)內(nèi)，或者者的根都都在單位位圓外。這就是說說，要判判斷一個個模型是是否平穩(wěn)穩(wěn)，需解解氣特征征方程，判斷特特征根的的情況。那么，是否可可以直接接從模型型額形式式或自回回歸系數(shù)數(shù)的大小小來判斷斷？2.自回回歸系數(shù)數(shù)判別法法及平穩(wěn)穩(wěn)域的概概念（1）對對于ARR(1)模型：特征方程程為-1=00，=1，由由1得，11時，模型平平穩(wěn)，平平穩(wěn)域為為-111（2）對對于ARR(2)模型特征方程程為2-1-2=0，根根據(jù)ARR(2)模型平平穩(wěn)的條條件11，21由根與系系數(shù)的關(guān)關(guān)系得，1+2=1，12=-2則2=121 （1）11,11-21-2,即1-121-2，1+2-121即1+2-1,-1+211+

14、2，-1+2-121即1-21 （3）以上（11）、（2）、（3）三個條條件的圖圖形為22-1=021-1-11-12-1=0圖中陰影影部分為為AR(2)模模型的平平穩(wěn)域，即模型型平穩(wěn)時時自回歸歸系數(shù)1和2所所滿足的的條件構(gòu)構(gòu)成的區(qū)區(qū)域。例：分別別用用特特征根與與自回歸歸系數(shù)法法判別以以下四個個模型的的平穩(wěn)性性。（1）1.特征征根法：-0.8=0 =0.8 1,所以該該模型平平穩(wěn)2.自回回歸系數(shù)數(shù)法：1=0.81,所以該該模型不不平穩(wěn)2.自回回歸系數(shù)數(shù)法：1=1.11，所以模模型不平平穩(wěn)（3）2=0.51，2-1=-0.5-1=-1.512+1=-0.5+1=0.51 ,所以以該模型型不平穩(wěn)穩(wěn)

15、2.自回回歸系數(shù)數(shù)法：2=0.51，2-1=0.5-1=-0.51 所以模型型不平穩(wěn)穩(wěn)可見于圖圖形檢驗驗是一致致的。（四）平平穩(wěn)ARR模型的的統(tǒng)計性性質(zhì)1均值Ext=,tT,平穩(wěn)兩邊取期期望：，得=01-1-2-p對于中心心化的AAR(pp)模型型，由于于0=0，所以以均值=02.方差差xt, 取方方差Var(xt）對于平穩(wěn)穩(wěn)序列，由于j時時，Gj收斂斂，所以以j=0Gj2存在所以，平平穩(wěn)序列列xt方差有有界，等等于常數(shù)數(shù)j=0Gj22.例：求AAR(11)模型型的方差差由前面可可知，AAR(11)模型型的格林林函數(shù)為為Gj=1j,所以方差差Var(xt）=1+12+122+123=1-12A

16、R(22)模型型的方差差（略）Var(xt）=1-21+21-1-2（1+1-2）3.協(xié)方方差函數(shù)數(shù)在平穩(wěn)模模型兩邊邊同時乘乘以xt-k, k1,再取取期望得得：，因因為所以，自自協(xié)方差差函數(shù)的的遞推公公式為：k=1k-1+2k-2+pk-p例1：求求平穩(wěn)AAR(11)模型型的自協(xié)協(xié)方差函函數(shù)遞推公式式為：k=1k-1=12k-2=1k00=21-12=1k21-12，k1例2：求求平穩(wěn)AAR(22)模型型的自協(xié)協(xié)方差函函數(shù)遞推公式式為：k=1k-1+2k-2，k1當(dāng)k=1時，1=10+2-1（-1=1，自協(xié)協(xié)方差函函數(shù)和自自相關(guān)系系數(shù)的對對稱性）1=101-2，0=1-21+21-1-2（1

17、+1-2）所以，0=1-21+21-1-21+1-21=101-2=11+21-1-21+1-2k=1k-1+2k-2，k24.自相相關(guān)函數(shù)數(shù)拖尾（1）遞遞推公式式：由于于k=k0，在自自協(xié)方差差等式兩兩邊同時時除以方方差函數(shù)數(shù)0，就得得到自相相關(guān)系數(shù)數(shù)的遞推推公式：k=1k-1+2k-2+pk-p例1：求求平穩(wěn)AAR(11)模型型的自相相關(guān)系數(shù)數(shù)因為：k=1k0，所以k=k0=1k，k0例2：求求平穩(wěn)AAR(22)模型型的自相相關(guān)系數(shù)數(shù)0=11=11-2k=1k-1+2k-2，k2（2）自自相關(guān)系系數(shù)的性性質(zhì)1）拖尾尾性：k始始終有非非零取值值，不會會在k大于于某個常常數(shù)之后后恒等于于02）

18、負(fù)指指數(shù)衰減減：隨著著時間的的推移，k會迅速速衰減，衰減速速度為k（負(fù)指數(shù)數(shù)：|i|11，短期期相關(guān)性性），為為k=0的特征征根，k可可視為pp階齊次次差分方方程。例：考察察下面四四個ARR模型的的自相關(guān)關(guān)圖（1） （22）（3） （4）由以上判判斷可知知以上四四個模型型均平穩(wěn)穩(wěn)，擬合合其自相相關(guān)圖，均呈現(xiàn)現(xiàn)出拖尾尾性和負(fù)負(fù)指數(shù)衰衰減的特特征。見見教材554頁。5.偏自自相關(guān)函函數(shù)截尾尾（1）含含義：對對于平穩(wěn)穩(wěn)的ARR(p)模型，滯后kk自相關(guān)關(guān)系數(shù)k實實際上并并不是xt與與xt-k之間單單純的相相關(guān)關(guān)系系，因為為xt同時還還受到中中間k-1個隨隨機變量量xt-1、xt-2、xt-（k-1）

19、的影響響，而這這k-11個隨機機變量又又都和xt-k具具有相關(guān)關(guān)關(guān)系，所以，自相關(guān)關(guān)系數(shù)k實實際摻雜雜了其他他變量對對xt與xt-k關(guān)系的的影響，偏自相相關(guān)系數(shù)數(shù)則是單單純測度度xt-k對xt的影響響。具體體說，對對于平穩(wěn)穩(wěn)序列xt，滯后kk偏自相相關(guān)系數(shù)數(shù)就是指指在給定定中間kk-1個個隨機變變量xt-1、xt-2、xt-（k-1）的條條件下，或者說說，在剔剔除了中中間k-1個隨隨機變量量的干擾擾之后，xt-k對xt的影響響的相關(guān)關(guān)度量?？梢?，偏自相相關(guān)系數(shù)數(shù)的定義義與回歸歸分析中中偏回歸歸系數(shù)的的定義非非常相似似，因此此可以從從線性回回歸的角角度，得得到偏自自相關(guān)系系數(shù)的另另一層含含義。（

20、2）計計算假定xt為中中心化平平穩(wěn)序列列，用過過去的kk期序列列值xt-1、xt-2、xt-k對xt作k階階自回歸歸擬合，即：由以上分分析可知知，即為為排除中中間k-1個變變量xt-1、xt-2、xt-（k-1）的干干擾之后后，xt-k對xt的影響響的單純純度量，因此可可根據(jù)回回歸系數(shù)數(shù)的求法法求出的的值（過過程略）對于ARR(1)模型 對對于ARR(2)模型 kk=1, k=10, &k2 kk=11-2, k=1 2 , &k=20, k3（3）偏偏自相關(guān)關(guān)系數(shù)pp步截尾尾性可以證明明，偏自自相關(guān)系系數(shù)具有有p步截截尾性的的特征，前面學(xué)學(xué)過ARR(p)模型自自相關(guān)系系數(shù)具有有拖尾性性，這是

21、是兩條判判斷ARR(p)模型的的主要依依據(jù)，即即如果模模型自相關(guān)系系數(shù)k具拖拖尾偏自相關(guān)關(guān)系數(shù)kkpp步截尾尾 則該模模型為pp階自回回歸模型型。例，考察察如下四四個平穩(wěn)穩(wěn)AR(p)模模型的偏偏自相關(guān)關(guān)系數(shù)（1） （22）（3） （4）序號模型kk(p步截截尾)k（拖尾）1 kk=1=0.8, k=10, &k2k=1k=0.8k,k02 kk=1=-0.8,k=10, &k2k=1k=(-0.8)k,k03 kk=11-2=23, k=1 2=-0.5, &k=20, k3k=1, k=0 11-2=23, & k=10k=1k-1+2k-2 k24 kk=11-2=-23, k=1 2=-

22、0.5, &k=20, k3k=1, k=0 11-2=-23, & k=10k=1k-1+2k-2 k2見教材558頁四四個模型型的偏自自相關(guān)系系數(shù)圖。(計算算課后998頁第第3題)，作業(yè)：匯匯總ARR(1)、ARR(2)模型的的統(tǒng)計性性質(zhì)，包包括均值值、方差差、自協(xié)協(xié)方差函函數(shù)、自自相關(guān)系系數(shù)、偏偏自相關(guān)關(guān)系數(shù)。統(tǒng)計性質(zhì)質(zhì)AR(11):AR(22):Ext01-1=001-1-2=0Var(xt）1-121-21+21-1-2（1+1-2）k1k21-120=1-21+21-1-21+1-21=101-2=11+21-1-21+1-2k=1k-1+2k-2，k2k1k0=11=11-2k=

23、1k-1+2k-2，k2 kk kk=1, k=10, &k2 kk=11-2, k=1 2 , &k=20, k3二、MAA模型（一）定定義1.定義義：具有有如下結(jié)結(jié)構(gòu)的模模型稱為為q階移移動平均均模型，簡記為為MA(q)：2. MMA(qq)的限限制條件件：（1），保證了了模型的的最高階階數(shù)為qq。（2），要求隨隨機干擾擾序列為為零均值值白噪聲聲序列。2. 中中心化的的MA(q)模模型如果則以以上移動動平均模模型稱為為中心化化的MAA(q)模型：，后面的的分析都都是針對對中心化化的模型型進行的的。3.用延延遲算子子表示MMA(qq)：成為q階階移動平平均系數(shù)數(shù)多項式式。（二）MMA模型型的

24、統(tǒng)計計性質(zhì)1.常數(shù)數(shù)均值當(dāng)qq例如：MMA（11）xt=t-1t-1 k=1+122, k=0-12, k=10 k1MA（22）模型型：xt=t-1t-1-2t-2k=1+12+222, k=0-1+122, k=1-22 ， k=20 k2 4.自相相關(guān)函數(shù)數(shù)q階截截尾k=k0=1, k=0,-k+i=1q-kik+i1+12+q2 1kq0 kq例如：MMA（11）xt=t-1t-1 k=k0=1, k=0-11+12, k=10 k1MA（22）模型型：xt=t-1t-1-2t-2 k=k0=1 , k=0-1+121+12+22, k=1-21+12+22， k=20 k2 5.偏自

25、自相關(guān)函函數(shù)拖尾尾 MAA模型的的 kk拖尾（證明略略）綜上，得得出以下下結(jié)論：有限階的的MA模模型一定定是平穩(wěn)穩(wěn)的（因因為均值值和方差差均為常常數(shù)）MA模型型kq階截截尾， kk拖拖尾（AAR模型型是k拖尾尾， kkp階階截尾）例3.66：繪制制下列MMA模型型的自相相關(guān)系數(shù)數(shù)和偏自自相關(guān)系系數(shù)，直直觀考察察MA模模型自相相關(guān)系數(shù)數(shù)的截尾尾性和偏偏自相關(guān)關(guān)系數(shù)的的拖尾性性。（1）xt=t-2t-1 （2）xt=t-12t-1（3）xt=t-45t-1+1625t-2 （4）xt=t-54t-1+2516t-2圖形見教教材611頁62頁頁。（三）MMA模型型的可逆逆性例3.66四個MMA模型型

26、中，（1）xt=t-2t-1與與（2）xt=t-12t-1具有相相同的自自相關(guān)圖圖，經(jīng)計計算自相相關(guān)系數(shù)數(shù)也相同同；模型型（3）xt=t-45t-1+1625t-2 和（4）xt=t-54t-1+2516t-2也也具有相相同的自自相關(guān)圖圖，經(jīng)計計算系數(shù)數(shù)也相同同。即k與與模型不不是一一一對應(yīng)的的關(guān)系，這種自自相關(guān)系系數(shù)的不不唯一給給我們將將來的工工作帶來來麻煩。因為將將來我們們是通過過樣本自自相關(guān)系系數(shù)顯示示出額特特征選擇擇合適的的模型擬擬合序列列的發(fā)展展，如果果自相關(guān)關(guān)系數(shù)和和模型之之間不是是一一對對應(yīng)關(guān)系系，就導(dǎo)導(dǎo)致序列列與模型型之間不不是一一一對應(yīng)的的。為了了保證一一個給定定的k對應(yīng)應(yīng)唯

27、一一一個MAA模型，就要給給模型施施加約束束條件可逆逆性。1、可逆逆的定義義可以驗證證。兩個個MA（1）模模型具有有如下結(jié)結(jié)構(gòu)關(guān)系系時，其其k相同（1）xt=t-1t-1 （2）xt=t-11t-1t=xt1-1B=1+1B+1B2+1Bj+xtt=xt+1xt-1+1jxt-j+ARR模型的的形式要想使以以上模型型收斂，必須保保證limj1j=0,即即11而模型（2）可可寫作t=xt1-11B，要寫成成收斂的的AR模模型，需需保證111定義：若若一個MMA模型型能夠表表示稱為為收斂的的AR模型型形式，那么該該MA模型型稱為可可逆MAA模型，一個k唯唯一對應(yīng)應(yīng)一個可可逆的MMA模型型。2、MA

28、A（q）模型的的逆轉(zhuǎn)形形式及可可逆函數(shù)數(shù)MA模型型可寫作作設(shè)為MAA(q)模型的的特征根根，即的的特征根根。任取取帶入特特征方程程： （1）設(shè)為特征征多項式式的根。任取帶帶入方程程得：，兩邊同同時除以以得: （22）可見，MMA (q)模模型移動動平均系系數(shù)多項項式的根根是齊次次線性差差分方程程的特征征根的倒倒數(shù)。即即由為特征征多項式式的根可可知所以，（為常數(shù)數(shù)） 以以上為MMA模型型的逆轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)形式，即把MMA模型型寫作無無窮階的的AR模模型。其其中為可可逆函數(shù)數(shù)。同理，根根據(jù)待定定系數(shù)法法（略）可以推推出可逆逆函數(shù)的的遞推公公式：其中，例如：對對于MAA (11)模型型，q=1對于MAA (2

29、2)模型型，q=2練習(xí)MAA (33)模型型可逆函函數(shù)。MMA (3)：q=33總結(jié)：AAR（pp）模型型的傳遞遞形式：是把AAR模型型寫作無無窮階的的MA模模型。MA（qq）模型型的逆轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)形式：是把MMA模型型寫作無無窮階的的AR模模型3、可逆逆性判別別（1）特特征根判判別對于一個個移動平平均系統(tǒng)統(tǒng)（逆轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)形勢）要使可逆逆，即以以上形式式收斂，則需 limjIj=0i1時，才能能使limjIj=0，即即特征根根都在單單位圓內(nèi)內(nèi)，或者者的根都都在單位位圓外。這就是說說，要判判斷一個個MA模模型是否否可逆，需解其其特征方方程，判判斷特征征根的情情況。那那么，是是否可以以直接從從模型的的形式或或移

30、動平平均系數(shù)數(shù)的大小小來判斷斷？2.移動動平均系系數(shù)判別別法（1）對對于MAA (11)模型型：xt=t-1t-1特征征方程為為-1=0，=1，由1得，11時，模模型可逆逆（2）對對于MAA (22)模型型xt=t-1t-1-2t-2特征方程程為2-1-2=0，根根據(jù)MAA (22)模型型可逆的的條件11，21由根與系系數(shù)的關(guān)關(guān)系得，1+2=1，12=-2則2=121 （1）11,11-21-2,即1-121-2，1+2-121即1+2-1,-1+211+2，-1+2-121即1-21 （3）三、ARRMA模模型（一）定定義1.定義義：具有有如下結(jié)結(jié)構(gòu)的模模型稱為為自回歸歸移動平平均模型型，簡

31、記記為：2.限制制條件：（1），保證了了模型的的自回歸歸最高階階數(shù)為pp，移動動平均最最高階數(shù)數(shù)為q。（2），要求隨隨機干擾擾序列為為零均值值白噪聲聲序列。（3），說明當(dāng)當(dāng)期的隨隨機干擾擾與過去去的序列列值無關(guān)關(guān)。2. 中中心化的的模型如果，則則以上自自回歸模模型稱為為中心化化的ARRMA(p,qq)模型型：，后面的的分析都都是針對對中心化化的模型型進行的的。3.用延延遲算子子表示AARMAA(p,q)：成為p階階自回歸歸系數(shù)多多項式。成為q階階移動平平均系數(shù)數(shù)多項式式當(dāng)q=00時，AARMAA(p,q)模模型就退退化成了了AR(p)模模型。當(dāng)當(dāng)p=00時，AARMAA(p,q)模模型就退退化成了了MA(q)模模型。所所以，AAR(pp) 和和MA(q)模模型實際際上是AARMAA(p,q)模模型的特特例。他他們統(tǒng)稱稱為ARRMA(p,qq)模型型。而AARMAA(p,q)模模型的統(tǒng)統(tǒng)計性質(zhì)質(zhì)也正是是AR(p) 和MAA(q)模型統(tǒng)統(tǒng)計性質(zhì)質(zhì)的有機機結(jié)合。（二）平平穩(wěn)條件件與可逆逆條件1.平穩(wěn)穩(wěn)條件：對于ARRMA(p,qq)模型型，令顯顯然是一一個均值值為零、方差為為的平穩(wěn)穩(wěn)序列，于是AAR