《數(shù)值分析》課程教學(xué)大綱

1、數(shù)值分析課程教學(xué)大綱 課程編碼：171120010課程性質(zhì)：學(xué)科專業(yè)必修課程適用專業(yè)： 信息與計(jì)算科學(xué)學(xué)時(shí)學(xué)分： 48學(xué)時(shí)3學(xué)分所需先修課：數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、常微分方程編寫單位： 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系一、課程說(shuō)明 1、課程簡(jiǎn)介數(shù)值分析課程主要介紹科學(xué)計(jì)算的基本理論和常用的行之有效的方法，包括誤差、插值法、函數(shù)逼近與曲線擬合、數(shù)值積分與數(shù)值微分、解線性方程組的直接法與迭代法、非線性方程求根等內(nèi)容。適用于信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)學(xué)生。數(shù)值分析是一門運(yùn)用計(jì)算機(jī)解決數(shù)學(xué)計(jì)算問(wèn)題的學(xué)科，在科學(xué)與工程的計(jì)算中發(fā)揮著重要作用。計(jì)算機(jī)與計(jì)算技術(shù)的發(fā)展使數(shù)值分析的研究和應(yīng)用有了更廣闊的前景。數(shù)值模擬方法已成為實(shí)驗(yàn)與理論

2、兩大科學(xué)研究方法之后的第三種方法。因此，學(xué)習(xí)和掌握數(shù)值分析的基本理論，包括算法設(shè)計(jì)和誤差分析，對(duì)于將來(lái)從事科學(xué)研究的學(xué)生來(lái)說(shuō)是必不可少的。 2、教學(xué)目標(biāo)要求 通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)，要求學(xué)生：1. 掌握數(shù)值分析的基本概念和基本原理，進(jìn)一步提高抽象思維和邏輯推理的能力；2. 熟悉數(shù)值計(jì)算方法的構(gòu)造思想和基本方法，掌握常見(jiàn)數(shù)值計(jì)算的方法，進(jìn)一步提高數(shù)值計(jì)算能力；3. 能夠分析計(jì)算中產(chǎn)生誤差的原因，能采取減少誤差的措施；4. 還希望學(xué)生能夠解釋計(jì)算結(jié)果的意義，根據(jù)計(jì)算結(jié)果作合理的預(yù)測(cè)。3、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：絕對(duì)誤差，相對(duì)誤差，有效數(shù)字，拉格朗日插值多項(xiàng)式、牛頓插值多項(xiàng)式，牛頓前差插值多項(xiàng)式，最佳逼近多項(xiàng)式

3、，曲線擬合的最小二乘法，數(shù)值積分與數(shù)值微分的基本思想方法，等距節(jié)點(diǎn)下的幾種低階牛頓-柯特斯公式，外推法的基本思想，龍貝格算法，高斯消去法，選主元的高斯消去法，雅可比迭代法，高斯-塞德?tīng)柕?，不?dòng)點(diǎn)迭代法，牛頓法，弦截法。難點(diǎn)：有效數(shù)字與誤差之間的關(guān)系，埃爾米特插值多項(xiàng)式的公式推導(dǎo)和誤差分析，最佳一致逼近多項(xiàng)式，曲線擬合的最小二乘法，高斯求積公式的構(gòu)造原理和技巧，矩陣的三角分解法，一般的迭代法，其收斂性分析的基本方法和主要應(yīng)用，牛頓法收斂性和收斂速度的討論，一般迭代法的收斂性分析。4、考核方式 本課程是考試課，考試的形式是閉卷，學(xué)期末考試（閉卷筆試），其成績(jī)占總成績(jī)的80，平時(shí)作業(yè)成績(jī)占總成績(jī)

4、的20。5、學(xué)時(shí)分配表章次教學(xué)內(nèi)容理論課學(xué)時(shí)數(shù)實(shí)驗(yàn)（實(shí)踐）課學(xué)時(shí)數(shù)第一章數(shù)值分析與科學(xué)計(jì)算引論22第二章插值法64第三章函數(shù)逼近與快速傅里葉變換62第四章數(shù)值積分與數(shù)值微分62第五章解線性方程的直接解法42第六章解線性方程組的迭代法42第七章非線性方程與方程組的數(shù)值解法42小計(jì)3216總計(jì)48二、各部分教學(xué)綱要第一章 數(shù)值分析與科學(xué)計(jì)算引論（4學(xué)時(shí)）教學(xué)目標(biāo)1.了解數(shù)值分析的研究對(duì)象與特點(diǎn)，算法分析與誤差分析的主要內(nèi)容；2.理解學(xué)習(xí)和掌握數(shù)值分析的基本理論在科學(xué)計(jì)算中的重要性和必要性；3.會(huì)計(jì)算絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差、有效數(shù)字，掌握它們之間的關(guān)系及轉(zhuǎn)換；3.掌握避免誤差危害的原則.4.初步了解Ma

5、tlab語(yǔ)言基礎(chǔ)知識(shí).本章重點(diǎn)絕對(duì)誤差，相對(duì)誤差，有效數(shù)字.本章難點(diǎn) 絕對(duì)誤差限與相對(duì)誤差限的關(guān)系，有效數(shù)字與絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限的關(guān)系，數(shù)值運(yùn)算的誤差估計(jì)，Matlab相關(guān)知識(shí)應(yīng)用.教學(xué)內(nèi)容第一節(jié) 數(shù)值分析的對(duì)象、作用與特點(diǎn)一、數(shù)學(xué)科學(xué)與數(shù)值分析二、計(jì)算數(shù)學(xué)與科學(xué)計(jì)算三、計(jì)算方法與計(jì)算機(jī)四、數(shù)值問(wèn)題與算法第二節(jié) 數(shù)值計(jì)算的誤差一、誤差來(lái)源與分類二、誤差與有效數(shù)字（一）絕對(duì)誤差與絕對(duì)誤差限（二）相對(duì)誤差與相對(duì)誤差限（三）有效數(shù)字三、數(shù)值運(yùn)算的誤差估計(jì)第三節(jié) 誤差定性分析與避免誤差危害一、算法的數(shù)值穩(wěn)定性二、病態(tài)問(wèn)題與條件數(shù)三、避免誤差危害的若干原則第四節(jié) 數(shù)值計(jì)算中算法設(shè)計(jì)的技術(shù)一、多項(xiàng)式求

6、值的秦九韶算法二、迭代法與開方求值三、以直代曲與化整為“零”四、加權(quán)平均的松弛技術(shù)第五節(jié) Matlab相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 一、Matlab軟件簡(jiǎn)介二、Matlab應(yīng)用實(shí)例思考題1、問(wèn) 2，2.0，2.00表示的數(shù)是否相同？2、有效數(shù)字與誤差和相對(duì)誤差有什么關(guān)系？3、想想現(xiàn)實(shí)生活中有哪些與這門課程有關(guān)系的例子？第二章 插值法（10學(xué)時(shí)）教學(xué)目標(biāo)1.了解插值是函數(shù)逼近的重要方法，也是數(shù)值積分、數(shù)值微分及微分方程數(shù)值解法的基礎(chǔ)；2.掌握拉格朗日插值多項(xiàng)式、牛頓插值多項(xiàng)式，還有適用于等距節(jié)點(diǎn)的牛頓前差插值多項(xiàng)式和牛頓后差插值多項(xiàng)式；3.了解和掌握埃爾米特插值多項(xiàng)式，包括其公式的推導(dǎo)和誤差分析；4.簡(jiǎn)單了解分

7、段低次插值法的基本思想和樣條插值函數(shù)也是分段插值函數(shù)，它可以保證分段插值函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，因此具有較好的光滑性，收斂性和穩(wěn)定性.5. 了解Lagrange插值多項(xiàng)式和牛頓插值多項(xiàng)式的程序設(shè)計(jì)過(guò)程及Matlab實(shí)現(xiàn).本章重點(diǎn)拉格朗日插值多項(xiàng)式，牛頓插值多項(xiàng)式，牛頓前差插值多項(xiàng)式，埃爾米特插值多項(xiàng)式.本章難點(diǎn) 埃爾米特插值多項(xiàng)式的公式推導(dǎo)和誤差分析，樣條插值函數(shù), 程序設(shè)計(jì)過(guò)程及Matlab實(shí)現(xiàn).教學(xué)內(nèi)容第一節(jié) 引言一、插值問(wèn)題的提出二、多項(xiàng)式插值第一節(jié) 拉格朗日插值一、線性插值與拋物插值（一）線性插值（二）拋物插值二、拉格朗日插值多項(xiàng)式三、插值余項(xiàng)與誤差估計(jì)第三節(jié) 均差與牛頓插

8、值公式一、插值多項(xiàng)式的逐次生成二、均差及其性質(zhì)（一）均差（二）性質(zhì)三、牛頓插值多項(xiàng)公式四、差分形式的牛頓插值公式（一）差分及其性質(zhì)（二）牛頓前插公式第四節(jié) 埃爾米特插值兩點(diǎn)三次埃爾米特插值二、低階含導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的埃爾米特插值第五節(jié) 分段低次插值一、高次插值的的病態(tài)性質(zhì)二、分段線性插值三、分段三次埃爾米特插值第六節(jié) 三次樣條插值一、三次樣條函數(shù)二、樣條插值函數(shù)的建立第七節(jié) Matlab與應(yīng)用實(shí)例一、Lagrange插值多項(xiàng)式的程序設(shè)計(jì)過(guò)程及Matlab實(shí)現(xiàn)二、牛頓插值多項(xiàng)式的程序設(shè)計(jì)過(guò)程及Matlab實(shí)現(xiàn)思考題1、Ln(x)一定是n次的多項(xiàng)式嗎？2、牛頓插值法與拉格朗日插值法有什么異同？3、埃爾米特插

9、值與一般插值區(qū)別是什么？4、如何利用計(jì)算機(jī)語(yǔ)言來(lái)實(shí)現(xiàn)這些插值法？第三章 函數(shù)逼近與快速傅里葉變換（8學(xué)時(shí)）教學(xué)目標(biāo)1.理解函數(shù)逼近的基本思想和基本概念；2.了解正交多項(xiàng)式，掌握和理解構(gòu)造正交多項(xiàng)式的方法及幾種特殊正交多項(xiàng)式；3.理解最佳平方逼近的思想，掌握利用勒讓德多項(xiàng)式求最佳平方逼近多項(xiàng)式的方法；4.掌握曲線擬合的最小二乘法，并能進(jìn)行低次多項(xiàng)式的擬合；5.要求學(xué)生能夠應(yīng)用Matlab數(shù)學(xué)軟件了解曲線擬合的方法。本章重點(diǎn)正交多項(xiàng)式，最佳一致逼近多項(xiàng)式，曲線擬合的最小二乘法.本章難點(diǎn) 最佳平方逼近多項(xiàng)式，曲線擬合的最小二乘法.教學(xué)內(nèi)容第一節(jié) 函數(shù)逼近的基本概念一、函數(shù)逼近與函數(shù)空間二、范數(shù)與賦范

10、線性空間（一）范數(shù)定義（二）幾種特殊范數(shù)三、內(nèi)積與內(nèi)積空間第二節(jié) 正交多項(xiàng)式一、正交函數(shù)族與正交多項(xiàng)式二、勒讓德多項(xiàng)式三、切比雪夫多項(xiàng)式（一）切比雪夫多項(xiàng)式性質(zhì)（二）利用切比雪夫求最佳逼近多項(xiàng)式四、切比雪夫多形式零點(diǎn)插值五、其他常用的正交多項(xiàng)式第三節(jié) 最佳平方逼近多項(xiàng)式一、最佳平方逼近及其計(jì)算二、用正交函數(shù)族作最佳平方逼近第五節(jié) 曲線擬合的最小二乘法一、最小二乘法及其計(jì)算二、用正交多項(xiàng)式做最小二乘法第七節(jié) Matlab與應(yīng)用實(shí)例一、曲線擬合的Matlab實(shí)現(xiàn)思考題1、范數(shù)與絕對(duì)值運(yùn)算的異同？2、正交多項(xiàng)式在本章有什么作用？3、利用最小二乘法解決問(wèn)題時(shí)，需要分幾步？需要注意的是什么？4、平方逼近

11、與最小二乘法有什么異同？第四章 數(shù)值積分與數(shù)值微分（8學(xué)時(shí)）教學(xué)目標(biāo)1.了解數(shù)值積分與數(shù)值微分的基本思想方法；2.掌握等距節(jié)點(diǎn)下的幾種低階牛頓-柯特斯公式；初步了解不等距節(jié)點(diǎn)下的高斯求積公式的構(gòu)造原理和技巧；3.理解外推法的基本思想，了解龍貝格算法；4.掌握數(shù)值微分基本公式，了解數(shù)值微分的外推算法；5.了解和掌握辛普森求積公式和復(fù)合的辛普森求積公式的Matlab實(shí)現(xiàn).本章重點(diǎn)數(shù)值積分與數(shù)值微分的基本思想方法，等距節(jié)點(diǎn)下的幾種低階牛頓-柯特斯公式，數(shù)值微分基本思想.本章難點(diǎn) 高斯求積公式的構(gòu)造原理和技巧.教學(xué)內(nèi)容第一節(jié) 數(shù)值積分概論一、數(shù)值求積的基本思想二、代數(shù)精度的概念三、插值型的求積公式四、

12、求積公式的收斂性與穩(wěn)定性第二節(jié) 牛頓-柯特斯公式柯特斯系數(shù)偶階求積公式的代數(shù)精度幾種低階求積公式的余項(xiàng) 第三節(jié) 復(fù)合求積公式一、復(fù)合梯形公式二、復(fù)合辛普森求積公式第五節(jié) 高斯求積公式一般理論高斯-勒讓德求積公式第六節(jié) 數(shù)值微分中點(diǎn)方法與誤差分析插值型的求導(dǎo)公式三次樣條求導(dǎo)數(shù)值微分的外推算法第七節(jié) Matlab與應(yīng)用實(shí)例一、辛普森求積公式Matlab實(shí)現(xiàn)二、復(fù)合辛普森求積公式Matlab實(shí)現(xiàn)Matlab實(shí)現(xiàn)思考題1、對(duì)給定求積公式的節(jié)點(diǎn)，給出兩種計(jì)算求積系數(shù)的方法.2、什么是牛頓-柯特斯求積？它的特點(diǎn)是什么？3、什么是復(fù)合求積法？研究它的必要性？4、為什么稱高斯求積公式是具有最高代數(shù)精度的求積公

13、式？第五章 解線性方程組的直接方法（6學(xué)時(shí)）教學(xué)目標(biāo)1.了解研究求解線性代數(shù)方程組的數(shù)值方法的必要性，算法的分類及直接法的應(yīng)用范圍；2.理解高斯消去法的基本原理，掌握選主元的高斯消去法；3.了解矩陣的三角分解法的基本思想，平方根法及其改進(jìn)方法；4.了解求解特殊線性代數(shù)方程組的追趕法；5.理解向量和矩陣的范數(shù)；6.了解代數(shù)方程組的性態(tài)概念，理解系數(shù)矩陣的條件數(shù)是度量線性代數(shù)方程組良態(tài)或病態(tài)的主要指標(biāo)；7. 掌握Gauss消去法求解線性方程組的具體matlab實(shí)現(xiàn)，學(xué)會(huì)范數(shù)和條件數(shù)的求法.本章重點(diǎn)高斯消去法，選主元的高斯消去法.本章難點(diǎn) 矩陣的三角分解法，平方根法，追趕法.教學(xué)內(nèi)容第一節(jié) 引言與預(yù)

14、備知識(shí)引言向量和矩陣矩陣的特征值與譜半徑特殊矩陣第二節(jié) 高斯消去法高斯消去法矩陣的三角分解列主元素消去法第三節(jié) 矩陣三角分解法直接三角分解法平方根法追趕法第五節(jié) 向量和矩陣的范數(shù)向量的范數(shù)矩陣的范數(shù)第六節(jié) 誤差分析矩陣的條件數(shù)迭代改善法第七節(jié) Matlab與應(yīng)用實(shí)例一、Gauss消去法求解方程組Matlab實(shí)現(xiàn)二、范數(shù)和條件數(shù)的Matlab實(shí)現(xiàn)思考題1、用高斯消去法為什么要選主元？可不可以不選主元？2、高斯消去法與LU分解有什么關(guān)系？3、哪些線性方程組可以用平方根法求解？4、矩陣范數(shù)和向量范數(shù)有什么異同？5、如何判斷線性方程組是否是病態(tài)的？第六章 解線性方程組的迭代法（6學(xué)時(shí)）教學(xué)目標(biāo)1.了解

15、算法的分類及迭代法的應(yīng)用范圍及構(gòu)造迭代法時(shí)必須考慮的收斂性和收斂速度問(wèn)題； 2.理解雅可比迭代法，高斯-塞德?tīng)柕?，SOR方法及SSOR方法的構(gòu)造原理；3.對(duì)于上述常用的迭代法，掌握其收斂的條件，對(duì)一般的迭代法，掌握其收斂性分析的基本方法和主要結(jié)果；4. 掌握雅可比迭代法，高斯-塞德?tīng)柕ㄔ谇蠼饩€性方程組時(shí)的具體實(shí)現(xiàn).本章重點(diǎn)雅可比迭代法，高斯-塞德?tīng)柕?，SOR方法及SSOR方法，線性代數(shù)方程組的性態(tài)，上述常用的迭代法其收斂的條件.本章難點(diǎn) 一般的迭代法，其收斂性分析的基本方法和主要應(yīng)用.教學(xué)內(nèi)容第一節(jié) 迭代法的基本概念一、引言二、向量序列與矩陣序列的極限三、迭代法及其收斂性第二節(jié) 雅

16、克比迭代法與高斯-塞德?tīng)柕ㄒ匝趴吮鹊ǜ咚?塞德?tīng)柕ㄑ趴吮鹊c高斯-塞德?tīng)柕諗啃缘谌?jié) 超松弛迭代法逐步超松弛迭代法SOR迭代法的收斂性塊迭代法第四節(jié) Matlab與應(yīng)用實(shí)例一、Jacobi法求解線性方程組的Matlab實(shí)現(xiàn)二、Gauss-Seidel法求解線性方程組的Matlab實(shí)現(xiàn)思考題1、解線性方程組的直接方法與迭代法有什么區(qū)別？2、什么是矩陣的分裂？3、雅克比迭代法與高斯塞德?tīng)柕ㄓ惺裁磪^(qū)別？4、什么叫矩陣的嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)？第七章 非線性方程與方程組的數(shù)值解法（6學(xué)時(shí)）教學(xué)目標(biāo)1.了解方程求根問(wèn)題，掌握二分法和不動(dòng)點(diǎn)迭代法，了解不動(dòng)點(diǎn)迭代法收斂性； 2.理解和掌握牛頓

17、法及其收斂性；3.了解和掌握弦截法和拋物線法；4.了解非線性方程組的數(shù)值解法；5.了解牛頓法在Matlab中的具體實(shí)現(xiàn)，能夠應(yīng)用牛頓法求解具體方程.本章重點(diǎn)二分法、不動(dòng)點(diǎn)法、弦截法和拋物線法，及其它們的收斂性.本章難點(diǎn) 不動(dòng)點(diǎn)法、弦截法和拋物線法，及其它們的收斂性的判定.第一節(jié) 方程求根與二分法一、引言二、二分法第二節(jié) 不動(dòng)點(diǎn)迭代法與其收斂性一、不動(dòng)點(diǎn)與不動(dòng)點(diǎn)迭代法二、不動(dòng)點(diǎn)的存在性與迭代法的收斂性三、局部收斂與收斂階第三節(jié) 牛頓法一、牛頓法及其收斂性二、牛頓法應(yīng)用舉例三、簡(jiǎn)化牛頓法與牛頓下山法四、重根情形第四節(jié) 弦截法與拋物線法一、弦截法二、拋物線法第五節(jié) 非線性方程組的數(shù)值解法一、非線性方程組二、多變量方程的不動(dòng)點(diǎn)迭代法非線性