因式分解教案2

1、學習好資料輔歡迎下載案個性化導教授課時間 ：2022 年 11 月 30 日備課時間 ：2022 年 11 月 27 日年級： 初二 科目： 數(shù)學 課時： 2 同學姓名：方雪瑜課題：因式分解（二）老師姓名 ：郭孔優(yōu)教學 1, 進一步把握因式分解的概念,加深對提公因式法和公式法的懂得,目標 2,學會用十字相乘法,分組分解法分解因式重點敏捷運用分組分解法分解因式難點一,上節(jié)內容回憶1因式分解1定義把一個多項式化為幾個整式的積的形式,像這樣的式子變形叫做把這個多項式因式分解,也叫做把這個多項式分解因式2因 式分解與整式乘法的關系 因式分解與整式乘法是相反方向的變形如：教學ababa 2b 2. 即多

2、項式乘以多項式或單項式乘以多項式整式乘法 是“ 積化和” ,而因式分解就是“ 和化積” ,故可以用整式乘法來檢驗因式分解的正確性談重點因式分解的懂得1因式分解專指多項式的恒等變形,等式的左邊必需是多項式,右邊每個因式必需是整式2因式分解的結果必需要以積的形式表示 ,否就不是因式分解 3因式分解中每個括號內如有同類項要合并,因式分解的結果要求必需將每個因式分解完全內【例 1】 以下各式由左邊到右邊的變形中,是因式分解的是容AaxyaxayBy 24y4yy44 C10a 25a5a2a1 Dy 216yy4y4y答案： C 點撥：A 是整式乘法, B、D 等號右邊不是整式積的形式,而是和的形式,

3、不是因式分解2公因式1定義 多項式的各項中都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因 式2確定多項式的公因式的方法確定一個多項式的公因式時,要對數(shù)字系數(shù)和字母分別進行考慮,確定學習好資料 歡迎下載公因式時：一看系數(shù),二看字母,三看指數(shù)解技巧確定公因式的方法確定公因式的方法： 1對于系數(shù) 只考慮正數(shù),取各項系數(shù)的最大公約數(shù)作為公因式的系數(shù)2對于字母, 需考慮兩條,一是取各項相同的字母； 二是各相同字母的指數(shù)取次數(shù)最低次,即取相同字母的最低次冪最終仍要依據(jù)情形確定符號【例 2】 把多項式 6a 3b 23a 2b 212a 2b 3 分解因式時,應提取的公因式是 A3a 2b B3ab 2C3a

4、3b 3D3a 2b 2答案： D 點撥： 在多項 式 6a 3b 23a 2b 212a 2b 3 中,這三項系數(shù)的最大公約數(shù)是 3,各項都含有字母 a,b,字母 a 的最低次冪是 a 2,字母 b 的最低次冪是 b 2,所以各項的公因式是 3a 2b 2,應選 D. 3提公因式法1定義一般地, 假如多項式的各項有公因式, 可以把這個公因式提取出來,將多項式寫成公因式與另一 因式法個因式的乘積的形式,這種分解因式的方法叫做提公2提公因式的步驟 確定應提取的公因式；用公因式去除這個多項式,所得的商作為另一個因式；把多項式寫成這兩個因式的積的形式警誤區(qū)提公因式要完全1所提的公因式必需是 “ 最大

5、公因式 ” ,即提取公因式后,另一個因式中不能仍有公因式；2假如多項式的首項系數(shù)是負數(shù),應先提出 “ ” 號可按以下口訣分解因式： 各項有 “ 公” 先提“ 公” ,首項有 “ 負” 先提“ 負” ,某項提出莫漏 “ 1” ,括號里面分到 “ 底” 【例 3】 用提公因式法分解因式：112x 2y18xy 224x 3y 3；25x 215x5；327a 2b9ab 218ab；42xa2b3y2ba4za2b解： 112x 2y18xy 224x 3y 36xy2x6xy3y6xy4x 2y 26xy2x3y4x 2y 2；25x 215x5 5x 23x1；學習好資料 歡迎下載327a 2

6、b9ab 218ab 9ab 3ab2；42xa2b3y2ba4za2b2xa2b3ya2b4za2b a2b2x3y4z4用平方差公式分解因式1因式分解的平方差公式 兩個數(shù)的平方差,等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積即a 2b 2abab這個公式就是把整式乘法的平方差公式等號左右兩邊顛倒過來2平方差公式的特點 左邊是二項式, 兩項都能寫成平方的形式, 且符號相反； 右邊是兩個數(shù) 或 整式的和與這兩個數(shù) 或整式 的差的積凡是符合平方差公式左邊特點的多項 式都可以用這個公式分解因式【例 4】 把以下多項式分解因式：14x 29；216m 29n 2；3a 3bab；4xp2xq2. 解： 14x

7、 292x23 22x32x3；216m 29n 24m 23n 24m3n 4m3n；3a 3bababa 21aba1a1；4xp 2xq2xpxq xpxq 2xpqpq5用完全平方公式分解因式1因式分解的完全平方公式兩個數(shù)的平方和加上 或減去 這兩個數(shù)的積的 2 倍,等于這兩個數(shù)的和 或差的平方即 a 22abb 2ab 2,a 22abb 2ab 2. 這個公式就是把整式乘法的完全平方公式等號左右兩邊顛倒過來2完全平方公式的特點左邊是一個三項式,其中兩項同號且均為一個整式的平方 平方項 ,另一項是平方項冪的底數(shù)的2 倍乘積項 ,符號可正也可負,右邊是兩個整式的和或差 的平方,中間的符

8、號同左邊的乘積項的符號【例 5】 把以下多項式分解因式：1x 214x49；2mn 26mn9；33ax 26axy3ay 2；4x 24y 24xy. 解： 1x 214x49x 22 7x7 2x7 2；2 mn 26mn 9mn 22mn 33 2mn3 2；學習好資料 歡迎下載33ax 26axy3ay 23ax 22xyy 2 3axy 2；4x 24y 24xy x 24xy4y 2 x 22x2y2y 2 x2y 2. 6因式分解的一般步驟依據(jù)多項式的特點敏捷挑選分解因式的方法,其一般步驟可概括為： 一提、二套、三查一提：假如多項式的各項有公因式, 第一考慮提取公因式； 二套：提

9、公因式后或沒有公因式可提,就要考慮運用公式法, 即平方差公式或完全平方公式； 三查：因式分解肯定要分解到不能分解為止,要檢查每個因式是否仍可以連續(xù)分解7運用公式法分解因式易顯現(xiàn)的錯誤在分解因式時, 多項式的項數(shù)如是兩項, 且含有平方項, 就考慮用平方差公式進行分解因式 如多項式是三項式, 就考慮用完全平方公式 在應用公式法分解因式經常顯現(xiàn)的錯誤是：對公式的結構特點把握不熟, 懂得不透徹, 易顯現(xiàn)符號、項數(shù)上的錯誤,二次項、一次項系數(shù)搞錯,把兩個公式混淆等【例 6】 把以下各式分解因式：118x 2y50y 3；2ax 3yaxy 32ax 2y 2. 解： 118x 2y50y 32y9x 2

10、25y 2 2y3x5y3x5y；2ax 3yaxy 32ax 2y 2axyx 2y 22xyaxyxy 2. 【例 7】 以下各式能用完全平方公式分解因式的是 24x 24xyy 2； x 22 5x 1 25； 1aa 4； m 2n 2 44mn； a 22ab4b 2； x 28x9. A1 個 B2 個 C3 個 D4 個解析： 不符合完全平方公式的結構特點,不能用完全平方公式分解因式符合完全平方公式的特點, 提取 “ ” 號后也符合完全平方公式的特點,所以 能用完全平方公式分解 中的 y 2前面是 “ ” 號,不能用完全平方公式分解中中間項有 a、b 的積的 2 倍,前后項都是平

11、方式,但中間項不是 “ 首尾積的 2 倍” ,不能用完全平方公式分解也不符合答案： C 學習好資料 歡迎下載例 8,把以下式子分解因式：x2a4y24xy ；2 4 b c25 a b184 a b3281 a b . 3 51（3）22 bc22（4）xy4xy注：能運用完全平方公式分解因式的多項式的特點是：有三項,并且這三項是一個完全平方式,有時需對所給的多項式作一些變形,使其符合完全平方公式1. 2 x . 練習：、a6162 a ；a2 22ab2；416x482 x1；x22 14 x x2注： 整體代換思想： a、b比較復雜的單項式或多項式時,先將其作為整體替代公式中字母 . 仍要

12、留意分解到不能分解為止 . 二,十字相乘法【1】二次三項式 多項式ax2bxc,稱為字母 x 的二次三項式,其中2 ax 稱為二次項, bx 為一次項, c 為常數(shù)項例如,x22x3和x25 x6都是關于 x 的二次三項式 在多項式x26學習好資料歡迎下載x 的二次三項式；xy8y2中,假如把 y 看作常數(shù),就是關于假如把 x 看作常數(shù),就是關于y 的二次三項式2 ab27ab3,就 在多項式2 a2 b27ab3中,把 ab 看作一個整體,即是關于 ab 的二次三項式 多項式xy27 xy12,把 xy 看作一個整體,就是關于xy 的二次三項式十字相乘法是適用于二次三項式的因式分解的方法【2

13、】十字相乘法的依據(jù)和詳細內容 利用十字相乘法分解因式, 實質上是逆用 axb cxd 豎式乘法法就 它的一般規(guī)律是：（1）對于二次項系數(shù)為1 的二次三項式x2pxq,假如能把常數(shù)項q 分解成兩個因數(shù) a,b 的積,并且 ab 為一次項系數(shù) p,那么它就可以運用公式x2abxabxaxb分解因式 這種方法的特點是“ 拆常數(shù)項,湊一次項” 公式中的 x 可以表示單項式,也可以表示多項式, 當常數(shù)項為正數(shù)時, 把它分解為兩個同號因數(shù)的積,因式的符號與一次項系數(shù)的符號相同；當常數(shù)項為負數(shù)時, 把它分解為兩個異號因數(shù)的積,其中肯定值較大的因數(shù)的符號與一次項系數(shù)的符號相同（2）對于二次項系數(shù)不是1 的二次

14、三項式ax2bxc a,b,c 都是整數(shù)且 aa 1a 2a 0 來說,假如存在四個整數(shù)a 1,a 2,c 1,c 2,使,c 1c 2c,且a 1 c 2a 2c 1b那么：c 1a 2xc2ax2bxca 1 a2x2a 1 c2a 2c 1xc 1c2a 1x 它的特點是“ 拆兩頭,湊中間” ,這里要確定四個常數(shù),分析和嘗試都要比首項系數(shù)是 1 的情形復雜, 因此,一般要借助“ 畫十字交叉線”的方法來確定 學習時要留意符號的規(guī)律為了削減嘗試次數(shù),使符號問題簡潔化,當 二次項系數(shù)為負數(shù)時,先提出負號,使二次項系數(shù)為正數(shù),然后再看常數(shù)項；常數(shù)項為正數(shù)時,應分解為兩同號因數(shù), 它們的符號與一次

15、項系數(shù)的符號相同；常數(shù)項為負數(shù)時, 應將它分解為兩異號因數(shù), 使十字連線上兩數(shù)之積肯定值較學習好資料 歡迎下載大的一組與一次項系數(shù)的符號相同 用十字相乘法分解因式, 仍要留意防止以下兩種錯誤顯現(xiàn)：一是沒有仔細地驗證交叉相乘的兩個積的和是否等于一次項系數(shù)；漏寫字母如：5x26xy8y2x2 5x4 【3】因式分解一般要遵循的步驟二是由十字相乘寫出的因式 多項式因式分解的一般步驟：先考慮能否提公因式,再考慮能否運用公 式或十字相乘法, 最終考慮分組分解法 對于一個仍能連續(xù)分解的多項式因式 仍舊用這一步驟反復進行以上步驟可用口訣概括如下：“ 第一提取公因式,然后考慮用公式、十字相乘試一試,分組分解要

16、合適,四種方法反復試,結果 應是乘積式” 四、歸納總結鞏固新知1、學問點的歸納總結：x2ab xabxaxb2、運用新知解決問題： （重點例習題的強化訓練）例 9把以下各式分解因式：5xy6y2（1）x22x15；（2）x2點悟：（1）常數(shù)項 15 可分為 3 5 ,且 3 5 2 恰為一次項系數(shù)；（ 2）將 y 看作常數(shù),轉化為關于x 的二次三項式,常數(shù)項6y2解：（1）x22x15x3 x5 ；3y（2）x25xy6y2x2yx例 10, 把以下各式分解因式：（1）2x25x3；（2）3x28x3ax 1c 1ax 2c 2的形式,這里點悟： 我們要把多項式ax2bxc分解成形如a 1 a

17、 2a,c 1c 2c而a 1 c2a 2c 1b解：（1）2x25x32x1 x3；（2）3x28x33x1x3學習好資料 歡迎下載點撥：二次項系數(shù)不等于 1 的二次三項式應用十字相乘法分解時,二次項系數(shù)的分解和常數(shù)項的分解隨機性較大,往往要試驗多次, 這是用十字相乘法分解的難點,要適當增加練習,積存體會,才能提高速度和精確性例 11 ,把以下各式分解因式：（1）x 4 10 x 2 9；（2）7 x y 3 5 x y 2 2 x y ；（3） a 2 8 a 2 22 a 2 8 a 120點悟：（1）把 x 看作一整體,從而轉化為關于 x 的二次三項式；（2）提取公因式 xy 后,原式

18、可轉化為關于 xy 的二次三項式；（3）以a2x8 a為整體,化為關于2a28a的二次三項式10 x29x21 x解：（1）49 x1 x1 x3 x3 （2）7xxy325 xxy22 xyxyy2y75 xy xy 17 xy 2 xy xy17 x7y2 （3）a28 a222a28 a120a28 a8a12a210a2a6 a28 a10 點撥： 要深刻懂得換元的思想,這可以幫忙我們準時、精確地發(fā)覺多項式中到底把哪一個看成整體, 才能構成二次三項式, 以順當?shù)剡M行分解 同時要留意已分解的兩個因式是否能連續(xù)分解,課堂練習： 將多項式分解因式如能分解,要分解到不能再分解為止x27x6；3

19、x22x1；x25 x6；學習好資料4x25歡迎下載x9；15x223x8；x411 x212三、分組分解法分組分解法是針對項數(shù)較多的多項式進行因式分解的一種敏捷且有用的方法 2 2 定義：分組分解法,適用于四項以上的多項式,例如 a b a b 沒有公 因式,又不能直接利用分式法分解, 但是假如將前兩項和后兩項分別結合,把 原多項式分成兩組；再提公因式,即可達到分解因式的目的；例如：a2b2ab =a2b2abab abababab1,這種利用分組來分解因式的方法叫分組分解法 . 原就： 用分組分解法把多項式分解因式,關鍵是分組后能顯現(xiàn)公因式或可 運用公式 . 例 12,分解因式：（1）4x

20、224xyyy22z2；y3（2）a3a2b2a2b（3）2x2xy2x分析：對于四項或四項以上的多項式的因式分解,一般采納分組分解法, ；四項式一般采納“ 二、二” 或“ 三、一” 分組,五項式一般采納“ 三、二” 分 組,分組后再試用提公因式法、公式法或十字相乘法連續(xù)分解；答案：（1）2x學習好資料yz歡迎下載yz2x（三、一分組后再用平方差）（2）a2ba1a1（三、二分組后再提取公因式）3xy1（三、二、一分組后再用十字相乘法）（3）xyx24xy4y2x2y6. 練習： 分解因式： 運用分解因式解決動手操作題 動手操作題是讓同學在實際操作的基礎上設計有關的問題這類題對同學 們的才能有

21、更高的要求,有利于培育同學樂于動手、勤于摸索的意識和習慣,有利于培育同學的創(chuàng)新才能和實踐才能這類題目主要考查動手操作才能,它包括裁剪、折疊、拼圖等不僅考查 動手才能,仍考查想象才能,往往與面積、對稱性質聯(lián)系在一起此類題目就 是通過拼圖,用不同的式子表示圖形面積,以達到把多項式分解因式的目的【例 8】 如某同學剪出如干個長方形和正方形卡片,如圖 1所示,請運 用拼圖的 方法,選取圖中相應的種類和肯定數(shù)量的卡片拼成一個大長方形,使它的面積等于 a 24ab3b 2,并依據(jù)你拼成的圖形的面積, 把此多項式分解 因式圖1 圖2 解：由于拼成一個面積等于a 24ab3b 2 的大長方形,就要用一個邊長為

22、a的正方形、 3 個邊長為 b 的正方形和 4 個邊長分別為 a,b 的長方形,可以拼成如圖 2所示的圖形, 由此知長方形的邊長分別為ab和a 3b由面積可學習好資料 歡迎下載知 a 24ab3b 2aba3b強化訓練一、填空：1、如x22m3 x16是完全平方式,就 m的值等于 _；2、x2xmxn2就 m=_n=_ 3、2x3y2與12x6y的公因式是4、如xmyn=xy2xy2x2y4,就 m=_,n=_；5、在多項式m2n2,a2b2,x44y2,4s29t4中,可以用平方差公式分解因式的有_ ,其結果是 _；6、如x22m3x16是平方差形式,就m=_；7、x2_x2x2x_8、x2

23、6x_x3 2,x2_9x3 29、如9x2ky2是完全平方式,就k=_；10、如x2ax15x1 x15 就 a=_；二、分解因式：1 、x42x335x2 2 、3x63x23 、25x2y2學習好資料歡迎下載x24xy14y242yx24、5、x5x 6、9x436y27、ax2bx2bxaxba 8、x418x2819、x1 x2 x3 x424三、運算：（ 1 ）0.753.6632 .662（ 2）412022120222224422856562（3）2學習好資料 歡迎下載小結 解因式分解題時,第一考慮是否有公因式,假如有,先提公因式；假如沒有公因式是兩項, 就考慮能否用平方差公式分解因式 . 是三項式考慮用完全平方式,最終,直到每一個因式都不能再分解為止 .一、挑選題復 習 及 作 業(yè)1. 假如x2pxqxa xb,那么 p 等于 AabB