復(fù)習(xí)講義文科第五章-5

1、5.3平面向量的數(shù)量積1兩個向量的夾角已知兩個非零向量 a 和 b，作 a， b，AOB(0180)叫作向量 a 與 bOAOB的夾角2平面向量的數(shù)量積已知兩個向量 a 和 b，它們的夾角為 ，記作 ab|a|b|cos .平面向量數(shù)量積的幾何意義把|a|b|cos 叫作 a 與 b 的數(shù)量積(或內(nèi)積)，3數(shù)量積 ab 等于 a 的長度|a|與 b 在 a 方向上的射影|b|cos方向上的射影|a|cos 的乘積平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì) 的乘積或 b 的長度|b|與 a 在 b4(1)eaae|a|cos ；(2)a，b，abab0； (3)|a| aa； ab (4)cos ；|a|b|(5

2、)|ab|_ |a|b|.平面向量數(shù)量積滿足的運算律5(1)abba； (2)(a)b(ab)a( b)； (3)(ab)cacbc.平面向量數(shù)量積有關(guān)性質(zhì)的坐標(biāo)表示6設(shè)向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，則 abx1x2y1y2，由此得到(1)若 a(x，y)，則|a|2x2y2 或|a| x2y2.(2)設(shè)兩個非零向量 a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，則 abx1x2y1y20.1判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)向量在另一個向量方向上的射影為數(shù)量，而不是向量( )(2)兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，向量的加、減、數(shù)乘運算的運算結(jié)果是向量( )(3)ABC

3、 內(nèi)有一點 O，滿足 0，且 ，則ABC 一定是等OAOBOCOAOBOBOC腰三角形()(4)在四邊形 ABCD 中， 且 0，則四邊形 ABCD 為矩形ABDCACBD()(5)兩個向量的夾角的范圍是0，2()4(6)已知 a(，2)，b(3，2)，如果 a 與 b 的夾角為銳角，則 的取值范圍是 0.(2012陜西)設(shè)向量 a(1，cos )與 b(1,2cos )垂直，則 cos 2 等于()2() 2A.B.12C02D1C利用向量垂直及倍角公式求解a(1，cos )，b(1,2cos )ab，ab12cos20，cos21，cos 22cos21110.23 已知向量 a，b 的夾

4、角為 60，且|a|2，|b|1，則向量 a 與向量 a2b 的夾角等于()A150DB90C60D30|a2b|2444ab88cos 6012，|a2b|2 3，a( a2b)|a|a2b|cos 22 3cos 4 3cos ，又 a( a2b)a22ab44cos 606， 34 3cos 6，cos 2 ，0，180，30，故選 D. ACAB1BCBA4在ABC 中，2，則 AB 邊的長度為()|AB|B3|BA|A1C5D9BAB 表示在方向上的向量AB|AB| 設(shè)ABC 各邊分別為 a，b，c，則ACABbcos A1，|AB| 同理，BCBAacos B2.|BA|b c 2

5、22a，b12bc由余弦定理a c 222b，a22ac解方程組得 c3 或 0(舍)故選 B.5已知 a(2,3)，b(4,7)，則 a 在 b 方向上的射影為 65 5 ab 設(shè) a 和 b 的夾角為 ，|a|cos |a|a|b|24371365.5654 722題型一 平面向量數(shù)量積的運算例 1(1)在 RtABC 中，C90，AC4，則 等于ABAC()A16B8C8D16(2)(2012)已知正方形 ABCD 的邊長為 1，點 E 是 AB 邊上的動點，則 的值為DECB； 的最大值為DEDC思維啟迪 (1)C90，可選取向量 ， 為基底表示向量或者利用數(shù)量積的幾何意義；CA CB

6、(2)建立坐標(biāo)系求向量的坐標(biāo)，也可利用數(shù)量積的幾何意義(1)D(2)11 (1)方法一 ABAC(CBCA)(CA) 2CBCACA 16.方法二 在 方向上的射影是 AC，ABAC 2ABAC|AC| 16.(2)方法一以射線 AB，AD 為 x 軸，y 軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，設(shè) E(t,0)，t0,1，則DE(t，1)，CB(0，1)，所以DECB(t，1)(0，1)1.因為 DC(1,0)，所以DEDC(t，1)(1,0)t1，故 DEDC的最大值為 1.方法二 由圖知，無論 E 點在哪個位置， 在 方向上的射影都是 CB

7、DECB1， DECB|CB|11，當(dāng) E 運動到 B 點時， 在 方向上的射影最大即為 DC1， (DEDC)|DC|1maxDEDC1.思維升華 求兩個向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標(biāo)運算；利用數(shù)量積的幾何意義本題從不同角度創(chuàng)造性地解題，充分利用了已知條件已知點 A，B，C 滿足 3， 4， 5，則 |AB|BC|CA|ABBCBCCACAAB的值是25方法一 如右圖，根據(jù)題意ABC 為直角三角形，且 B，cos A3，cos C4，255 ABBCBCCACAAB BCCACAAB45cos(C)53cos(A)20cos C15cos A4153205525.ABBCC

8、A0，方法二將其兩邊平方 2 2 2 AB BC CA 2(ABBCABCABCCA)0，故 ABBCABCABCCA1 2 2 22(AB BC CA )25.題型二 求向量的夾角與向量的模例 2(1)(2012課標(biāo))已知向量 a，b 夾角為 45，且|a|1，|2ab|10，則|b|.(2)(2013山東)已知向量與 的夾角為 120，且 3， 2.若 ，ABAC|AB|AC|A P ABAC且 APBC，則實數(shù) 的值為思維啟迪 利用數(shù)量積的定義 ab|a|b|cos .(1)3 2(2) 712(1)利用平面向量的數(shù)量積概念、模的概念求解a，b 的夾角為 45，|a|1，ab|a|b|c

9、os 45 2|b|，2 2|2ab|244|b|210，|b|3 2.2 |b|(2)由 APBC知APBC0，即 APBC(ABAC)(ACAB) (1)ABACA B AC22(1)321940，解得 7 .212思維升華 (1)在數(shù)量積的基本運算中，經(jīng)常用到數(shù)量積的定義、模、夾角等公式，尤其對|a| aa要引起足夠重視，它是求距離常用的公式(2)要注意向量運算律與實數(shù)運算律的區(qū)別和聯(lián)系在向量的運算中，靈活運用運算律，達到簡化運算的目的(1)已知向量 a、b 滿足|a|1，|b|4，且 ab2，則 a 與 b 的夾角為()A.6B.4C.3D.2(2)已知向量 a(1，3)，b(1,0)

10、，則|a2b|等于()A1B. 2(1)C(2)CC2D4(1)cosa，b ab 1，a，b3.|a|b| 2(2)|a2b|2a24ab4b244144，|a2b|2.題型三 數(shù)量積的綜合應(yīng)用例 3已知ABC 的角 A、B、C 所對的邊分別是 a、b、c，設(shè)向量 m(a，b)，n(sin B，sin A)，p(b2，a2)(1)若 mn，求證：ABC 為等腰三角形；(2)若 mp，邊長 c2，角 C3，求ABC 的面積思維啟迪 (1)由 mnABC 的邊角關(guān)系，再利用正弦定理邊角互化即可證得結(jié)論；(2)由 mp 得 a、b 關(guān)系，再利用余弦定理得 ab，代入面積公式(1)證明 mn，asi

11、n Absin B，即 a a b b ，其中 R 是三角形 ABC 外接圓半徑，2R2Rab.ABC 為等腰三角形(2)解 由題意可知 mp0，即 a(b2)b(a2)0.abab.由余弦定理可知，4a2b2ab(ab)23ab，即(ab)23ab40，ab4(舍去 ab1)，S112absin C24sin 3 3.思維升華 以向量為載體考查三角形問題時，要注意正弦定理、余弦定理、面積公式的應(yīng)用、邊與角之間的互化是判斷三角形形狀的常用方法(2013江蘇)已知向量 a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0.(1)若|ab| 2，求證：ab；(2)設(shè) c(0,1)，若 abc，求

12、 ， 的值(1)證明 由|ab| 2，即(coscos)2(sinsin )22，整理得 cos cossin sin 0，即 ab0，因此 ab.cos cos 0(2)解 由已知條件，sin sin 1又 00.AB又 |AB|10，2，AB(6，8)，又 A(1,2)，B 點坐標(biāo)為(7，6)在ABC 中，A90，AB1，AC2.設(shè)點 P，Q 滿足， (15 (2012APABAQ )AC，R.若BQCP2，則 等于()124A.3B.3C.3D2B BQAQAB(1)ACAB， CPAPACABAC，2 2 2BQCP(1)AC AB 4(1)342，即 3.二、填空題6 (2012)設(shè)

13、向量 a(1,2m)，b(m1,1)，c(2，m)若(ac)b，則|a|. 2利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算求解ac(1,2m)(2，m)(3,3m)(ac)b，(ac)b(3,3m)(m1,1)6m30，m1 a(1，1)，|a|2.2.7 (2013課標(biāo))已知正方形 ABCD 的邊長為 2，E 為 CD 的中點，則 .AEBD2由題意知： AEBD(ADDE)(ADAB)1 (AD2AB)(ADAB)1 1 2 2AD 2ADAB2AB 4022.8 已知 a(2，1)，b(，3)，若 a 與 b 的夾角為鈍角，則 的取值范圍是36(，6)，23，由 ab 得：由 ab 0，即 230，解得 2

14、3，且 6.6，即 6.因此 2三、解答題 ，ab，求：9已知向量 a(4,5cos )，b(3，4tan )，(0，2)(1)|ab|； 的值(2)cos(4)解 (1)因為 ab，所以 ab435cos (4tan )0，解得 sin 35.又因為 (0， ，2)所以 cos 4，tan sin 3，5cos 4所以 ab(7,1)，因此|ab|72125 2.(2)cos( cos cossin sin 44)44 23 2 25 2 5 2 10 .10已知ABC 的內(nèi)角為 A、B、C，其對邊分別為 a、b、c，B 為銳角，向量 m(2sinB， 3)，n(cos 2B,2cos2B1

15、)，且 mn.2求角 B 的大?。蝗绻?b2，求 SABC 的最大值解 (1)mn2sin B(2cos2B1) 3cos 2B02sin 2B 3cos 2B02sin(2B 0(B 為銳角)3)2B2B3.3a2c2b2(2)cos Baca2c242ac4ac4.2ac11 32acsin B24 2 3.B 組 專項能力(時間：30 分鐘)SABCABC 的外接圓圓心為 O，半徑為 2， 0，且 ，則 在 方向1OAABAC|OA|AB|CACB()上的射影為A1B2C. 3D3C如圖，設(shè) D 為 BC 的中點，由 0，OAABAC得AO2AD，A、O、D 共線且 ，|AO|2|AD|

16、又 O 為ABC 的外心，AO 為 BC 的中垂線， |AC|AB|OA|2，|AD|1，|CD| 3，CA在CB方向上的射影為 3.2 (2013湖南)已知 a，b 是是向量，ab0，若向量 c 滿足|cab|1，則|c|的取值范圍()A 21， 21C1， 21B 21， 22D1， 22Aab0，且 a，b 是向量，|a|b|1.又|cab|2c22c( ab)2aba2b21，2c( ab)c21.|a|b|1 且 ab0，|ab| 2，c212 2|c|cos ( 是 c 與 ab 的夾角)又1cos 1，0b，求 a，b 的值解 (1)f(x)2sin2x2 3sin xcos x

17、3，且1cos 2x2 3sin xcos x 3sin 2xcos 2x12sin(2x 1.6)由 2k2x2k，kZ，622得 k 3xk ，kZ，6f(x)的單調(diào)增區(qū)間是k，k(kZ)36(2)f(C)2sin(2C 11，6)sin(2C 1，6)C 是三角形的內(nèi)角，2C，即 C6.62a2b2c23cos C 2 ，即 a2b27.2ab將 ab2 3代入a2127，a2解得 a23 或 4.a 3或 2，b2 或 3.ab，a2，b 3.5在平面直角坐標(biāo)系中，O 為坐標(biāo)原點，已知向量 a(1,2)，又點 A(8,0)，B(n，t)， C(ksin ，t)(02)(1)若a，且 ，求向量 ；AB|AB|5|OA|OB(2)若向量 與向量 a 共線，當(dāng) k4，且