《常微分方程》教學(xué)大綱

1、常微分方程Ordinary Differential Equation一、課程基本情況課程類別：學(xué)科基礎(chǔ)課課程學(xué)分：3學(xué)分課程總學(xué)時(shí)：48學(xué)時(shí)，其中講課：48學(xué)時(shí)（含習(xí)題課），實(shí)驗(yàn)（含上機(jī)）：0學(xué)時(shí)，課外0學(xué)時(shí)課程性質(zhì)：必修開(kāi)課學(xué)期：第3學(xué)期先修課程：數(shù)學(xué)分析，高等代數(shù)適用專業(yè)：信息與計(jì)算科學(xué)、數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、應(yīng)用統(tǒng)計(jì)教 材：東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)系微分方程教研室編，常微分方程，高等教育出版社；2005年4月出版(2011年重印)，第二版.開(kāi)課單位：數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院數(shù)學(xué)系二、課程性質(zhì)、教學(xué)目標(biāo)和任務(wù)本課程是信息與計(jì)算科學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)等專業(yè)必修的一門專業(yè)課程。人類活動(dòng)的現(xiàn)實(shí)世界中，許多系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)

2、律都是通過(guò)常微分方程來(lái)表述的。作為一門與微積分一起成長(zhǎng)起來(lái)的學(xué)科，常微分方程已經(jīng)成為數(shù)學(xué)理論聯(lián)系實(shí)際的重要課程之一。本課程的主要教學(xué)內(nèi)容有：一階微分方程的初等解法，一階微分方程解的存在唯一性定理，線性微分方程（組）通解理論，常系數(shù)線性微分方程（組）的解法，微分方程穩(wěn)定性理論簡(jiǎn)介等。通過(guò)本課程的教學(xué)，使學(xué)生掌握常微分方程的基本理論、掌握一階常微分方程初等解法中的常用方法和技巧、掌握常系數(shù)線性微分方程（組）的解法，能通過(guò)構(gòu)造一些簡(jiǎn)單的Liapunov函數(shù)，判斷微分方程(組)零解的穩(wěn)定性, 培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)手段解決實(shí)際問(wèn)題的能力，在更深層次上理解數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)等有關(guān)理論知識(shí)，為學(xué)習(xí)本學(xué)科近代知識(shí)

3、和本專業(yè)后繼課程打下基礎(chǔ)。教學(xué)重點(diǎn)是一階微分方程的初等解法,線性微分方程(組)的通解結(jié)構(gòu)理論,難點(diǎn)是微分方程基本理論及應(yīng)用,如利用解的延拓定理,探討微分方程初值問(wèn)題解的存在范圍等.三、教學(xué)內(nèi)容和要求第1章初等積分法（學(xué)時(shí)：15）1.1微分方程和解（學(xué)時(shí)：3）(1) 了解常微分方程產(chǎn)生的背景，它與數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)課程之間的關(guān)系，了解線性方程和非線性方程的判別;（2）理解常微分方程相關(guān)概念：常微分方程，解、特解與通解，初始條件，積分曲線等;（3）掌握微分方程初始問(wèn)題的解.重點(diǎn): 微分方程解的概念.難點(diǎn): 微分方程初始問(wèn)題的解, 積分曲線.1.2變量分離方程初等解法（學(xué)時(shí)：2）（1）了解變量分量分

4、離方程、齊次方程相關(guān)概念;（2）理解初等積分法的內(nèi)涵，即利用不定積分求微分方程的解；理解微分形式的變量分離方程;（3）掌握變量分離方程的解法，齊次方程的解法及變量代換，形如及方程的解法；重點(diǎn)：一階方程的初等解法，如變量分離方程解法、利用變量代換求解齊次方程的方法. 難點(diǎn)：利用變量變換法求解微分方程.求解對(duì)稱式方程的積分因子方法，特別是僅與變量和僅與變量有關(guān)的特殊積分因子的求法。全微分方程、積分因子一階隱式微分方程的求解；階微分方程的降階法; 線性方程的解法，常數(shù)變易法和全微分方程解法（含積分因子的解法）; 線性方程的解法等。1.3一階線性微分方程解法（學(xué)時(shí)：2）（1） 了解一階線性方程的相關(guān)定

5、義,如齊次方程、非齊次方程、齊次項(xiàng)和非齊次項(xiàng)等，Bernoulli方程的概念；（2）理解Bernoulli方程的解法，一階線性方程初始問(wèn)題的求解公式；（3）掌握一階線性齊次方程的解法，常數(shù)變易法，一階線性非齊次方程的解法。重點(diǎn)：常數(shù)變易法，一階線性（非）齊次方程的解法。難點(diǎn)：一階線性非齊次方程的解法，一階線性方程初始問(wèn)題的求解公式及應(yīng)用。1.4 全微分方程及積分因子（學(xué)時(shí)：4）（1）了解全微分方程、積分因子的概念；（2）理解全微分方程求解思想，即利用二元函數(shù)微分理論，求二元函數(shù)微分的原函數(shù)；積分因子的不唯一性；（3）掌握全微分方程的解法，全微分方程的判斷，特殊積分因子的求法。重點(diǎn)：全微分方程的

6、解法，全微分方程的判斷，求解對(duì)稱式方程的積分因子方法，特殊積分因子的求法。難點(diǎn)：二元函數(shù)微分的原函數(shù)，積分因子的求法。1.5 一階隱式微分方程及高階方程的解法（學(xué)時(shí)：4）（1）了解一階隱式方程的定義, 一階隱式方程的四種類型,高階方程的定義;（2）理解一階隱式方程與顯示方程的不同之處, 一階隱式方程的求解難點(diǎn), 高階方程的求解難點(diǎn);（3）掌握四種類型的一階隱式方程的求解方法,高階方程的降階法(不顯含自變量的高階方程, 恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程).重點(diǎn): 四種類型的一階隱式方程的求解方法, Clairauty方程的解法，不顯含自變量的高階方程, 恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程的解法.難點(diǎn): 第三型一階隱式方程的求解方法, 不

7、顯含自變量的高階方程的解法.第2章基本定理（學(xué)時(shí)：6）2.1一階微分方程解的存在唯一性定理（學(xué)時(shí)：3）（1）了解解的存在與唯一性定理的條件和結(jié)論，解的存在區(qū)間，Picard逐步逼近法等概念；（2）理解Lipschitz條件的概念，函數(shù)是否滿足Lipschitz條件的驗(yàn)證；Lipschitz條件在存在唯一性定理證明中的作用；（3）掌握解的存在與唯一性定理的證明，Picard解序列的構(gòu)造及收斂性的證明，利用Picard逐步逼近法求近似解。重點(diǎn)：函數(shù)是否滿足Lipschitz條件的驗(yàn)證，解的存在與唯一性定理的證明，利用Picard逐步逼近法求近似解。難點(diǎn)：Picard解序列的構(gòu)造及收斂性的證明，利用

8、Picard逐步逼近法求近似解。2.2解的延拓定理，解對(duì)初值的連續(xù)依賴性和可微性（學(xué)時(shí)：3）（1）了解局部Lipschitz條件的概念，函數(shù)是否滿足局部Lipschitz條件的驗(yàn)證，局部國(guó)Lipschitz條件在解的延展過(guò)程中的作用，解對(duì)初值的連續(xù)依賴性和可微性；（2）理解飽和解、最大存在區(qū)間的概念，解的延展過(guò)程，飽和解的存在區(qū)間與解的漸近的關(guān)系；（3）掌握比較原理和解的延展定理及其證明，初值對(duì)解的存在區(qū)間的影響。重點(diǎn)：掌握和解的延展定理及其證明，初值對(duì)解的存在區(qū)間的影響。難點(diǎn)：利用比較原理和解的延展定理，探討有關(guān)方程初值問(wèn)題解的某些特定性質(zhì)。如探討方程的右端函數(shù)滿足什么條件，能保證其初始問(wèn)題

9、的解在無(wú)窮區(qū)間上存在。第3章一階線性微分方程組（學(xué)時(shí)：12）3.1一階線性微分方程組的一般概念(學(xué)時(shí)：5)（1）了解線性微分方程組的有關(guān)概念(系數(shù)矩陣、向量值函數(shù)、方程組的初始問(wèn)題)、方程組解的存在唯一性定理及證明思路；（2）理解向量值函數(shù)線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的概念，Wronsky行列式的概念，基本解組的概念，基本解的Wronsky行列式的性質(zhì)，Liouville公式；（3）掌握線性（齊次、非齊次）微分方程組解的結(jié)構(gòu)，通解基本定理，常數(shù)變易法；向量值函數(shù)線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的判斷。重點(diǎn)：線性（齊次、非齊次）微分方程組解的結(jié)構(gòu)，通解基本定理，常數(shù)變易法；向量值函數(shù)線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的判斷。難點(diǎn)：線性

10、非齊次微分方程組解的結(jié)構(gòu)，向量值函數(shù)線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的判斷。3.2常系數(shù)線性微分方程組的解法(學(xué)時(shí)：7)（1）了解常系數(shù)線性微分方程組的系數(shù)矩陣的特征方程、特征根、特征向量，特征根、特征向量與解的關(guān)系；（2）理解利用系數(shù)矩陣的特征根、特征向量求常系數(shù)線性微分方程組的基本解組的方法；（3）掌握常系數(shù)線性微分方程組的解法。.重點(diǎn)：常系數(shù)線性微分方程組的解法。難點(diǎn)：特征根為重根情形的常系數(shù)線性微分方程組的解法。第4章 n階線性微分方程（學(xué)時(shí)：13）4.1 n階線性微分方程的一般理論（學(xué)時(shí)：3）（1）了解n階線性微分方程解的存在唯一性定理，函數(shù)組線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)，函數(shù)組的Wronsky行列式等概念

11、；（2）理解n階線性微分方程與n維線性方程組之間的關(guān)系，即對(duì)任意一個(gè)n階線性微分方程，可將其化為一個(gè)n維線性方程組，且他們的解是等價(jià)的，基本解組， Liouville公式；（3）掌握函數(shù)組線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的證明方法，n階（齊次、非齊次）線性微分方程的通解結(jié)構(gòu)定理的證明。重點(diǎn)：函數(shù)組的Wronsky行列式的性質(zhì)及應(yīng)用，n階（齊次、非齊次）線性微分方程的通解結(jié)構(gòu)定理的證明，Liouville公式及其應(yīng)用。難點(diǎn)：n階（齊次、非齊次）線性微分方程的通解結(jié)構(gòu)定理的證明。4.2 n階常系數(shù)線性齊次微分方程的解法（學(xué)時(shí)：3）（1）了解n階常系數(shù)線性齊次微分方程的特征方程、特征根；由特征根確定微分方程的解；

12、（2）理解由復(fù)特征根如何確定微分方程解的方法；（3）掌握n階常系數(shù)線性齊次微分方程的解法。重點(diǎn)：n階常系數(shù)線性齊次微分方程的解法。難點(diǎn)：由復(fù)特征根如何確定微分方程的解，由重根如何確定微分方程的解，特別是由重復(fù)根如何確定微分方程的解。4.3 n階常系數(shù)線性非齊次微分方程的解法（學(xué)時(shí)：3）（1）了解非齊次項(xiàng)的概念，利用常數(shù)變易法求特解的方法；（2）理解比較系數(shù)法與常數(shù)變易法的差異；（3）掌握第一類型、第二類型n階常系數(shù)線性非齊次微分方程的解法。重點(diǎn)：利用比較系數(shù)法求解n階常系數(shù)線性非齊次微分方程的通解。難點(diǎn)：第二類型n階常系數(shù)線性非齊次微分方程的解法。4.4 二階常系數(shù)線性方程與振動(dòng)現(xiàn)象（學(xué)時(shí)：2

13、）（1）了解質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程的物理意義，振動(dòng)、無(wú)阻尼自由振動(dòng)、阻尼自由振動(dòng)、無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)、阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)等概念；（2）理解微分方程的解與振動(dòng)之間的聯(lián)系，共振概念；（3）掌握通過(guò)求二階常系數(shù)線性方程的通解探討力學(xué)問(wèn)題中振動(dòng)現(xiàn)象的方法，阻尼項(xiàng)和強(qiáng)迫項(xiàng)對(duì)振動(dòng)的影響。重點(diǎn)：掌握通過(guò)求二階常系數(shù)線性方程的通解探討力學(xué)問(wèn)題中振動(dòng)現(xiàn)象的方法。難點(diǎn)：阻尼項(xiàng)和強(qiáng)迫項(xiàng)對(duì)振動(dòng)的影響。4.5 Laplace變換及冪級(jí)數(shù)解法（學(xué)時(shí)：2）（1）了解Laplace變換及其在微分方程初值問(wèn)題求解問(wèn)題中的應(yīng)用；（2）理解冪級(jí)數(shù)解法大意；（3）掌握的相關(guān)定理及其在微分方程初值問(wèn)題求解問(wèn)題中的應(yīng)用；重點(diǎn)：掌握利用Laplace變換求解二階常系數(shù)線性方程的方法，二階常系數(shù)線性方程的冪級(jí)數(shù)解的求法。難點(diǎn)：二階常系數(shù)線性方程的冪級(jí)數(shù)解的求法。定性、穩(wěn)定性理論簡(jiǎn)介（學(xué)時(shí)：2）穩(wěn)定性理論簡(jiǎn)介（學(xué)時(shí)：2）（1）了解穩(wěn)定性相關(guān)概念；（2）理解簡(jiǎn)單的李雅普諾夫函數(shù)的構(gòu)造方法，正定函數(shù)、負(fù)定函數(shù)的定義；（3）掌握李雅普諾夫函數(shù)的定義，通過(guò)構(gòu)造簡(jiǎn)單的李雅普諾夫函數(shù)，利用相關(guān)定理，判斷零解的穩(wěn)定性。重點(diǎn)：通過(guò)構(gòu)造簡(jiǎn)單的李雅普諾夫函數(shù)，利用相關(guān)定理，判斷零解的穩(wěn)定性。難點(diǎn)：李雅普諾夫函數(shù)的構(gòu)造。四、課程考核（1）