自然數(shù)列群求和的探討

1、PAGE PAGE 9自然數(shù)列群求和的探討張明元（綿竹紫巖雨潤(rùn)中學(xué) 四川綿竹618200）摘要：求一個(gè)自然數(shù)列的前n項(xiàng)和，用公式Sn=n(a1+an)/2即可求得。但要計(jì)算若干自然數(shù)列前n項(xiàng)之總和， 上述求和公式已不適用，推導(dǎo)出新的公式成為必然，而該文正是這一指導(dǎo)思想的產(chǎn)物。關(guān)健詞：自然數(shù)列； 自然數(shù)列群 ； 等差數(shù)列； 求和。中圖分類(lèi)號(hào)：O122.7文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼: A 文章編號(hào):Discussion of high-order natural number row for sumZhang Mingyuan(Mianzhu Ziyanyurun Middle School Sichuan 61

2、8200) The abstract: Require one natural number line you can use formula Sn = n(a1+an)/2 to calculate， but if you want to require many natural number lines， this formula can not be used。 It is necessary to conduce another formula。 This article is done for this reason。Key words: Sequence of natural nu

3、mbers； Several sequence of natural numbers；Arithmetic progression; Sum1、 問(wèn)題的提出在解決一個(gè)實(shí)際問(wèn)題時(shí)，需要計(jì)算若干自然數(shù)列前n項(xiàng)之總和，所謂若干自然數(shù)列，其形式如下：1；1， 2；1， 2， 3；1， 2 ， 3， 4；1， 2， 3， 4， 5；1， 2， 3， 4， 5， 6；1， 2， 3， 4， a；本文中，把上面這種自然數(shù)的個(gè)數(shù)依次逐漸遞增有一定排列規(guī)律的自然數(shù)列的全體，稱(chēng)之為自然數(shù)列群。通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，上面自然數(shù)列的排列形式，只是自然數(shù)列群排列形式中最簡(jiǎn)單的一種。本文中，把1也看作一個(gè)特殊的自然數(shù)列，因此，上

4、面共有a個(gè)自然數(shù)列。顯然，用等差數(shù)列求和公式Sn=n(a1+an)/2 (1) 無(wú)法求上面a個(gè)自然數(shù)列前n項(xiàng)之總和，推導(dǎo)出新的公式成為必然。，為了使推導(dǎo)簡(jiǎn)明，本文規(guī)定了一些符號(hào)。2、關(guān)于符號(hào)的規(guī)定、意義及說(shuō)明本文用空心括號(hào)內(nèi)加字母或數(shù)字、空心括號(hào)右上角標(biāo)字母或數(shù)字的形式來(lái)表示自然數(shù)列群的和，其表示形式、意義如下：1=11+2=21+2+3=31+2+3+4=41+2+3+4+5=51+2+3+4+5+6=61+2+3+4+5+6+7=71+2+3+4+5+6+7+8=8；1+2+3+4+a=a 7讀作:：7的一次和；8讀作： 8的一次和； ；a讀作：a的一次和；7表示的意思是：以7為最大數(shù)，從

5、1加到7、自然數(shù)列的和；8表示的意思是：以8為最大數(shù)，從1加到8、自然數(shù)列的和；a表示的意思是：以a為最大數(shù)，從1加到a、自然數(shù)列的和。上面a個(gè)自然數(shù)列（或稱(chēng)之為自然數(shù)列群）前n項(xiàng)之總和又等于多少呢？本文規(guī)定，上面a個(gè)自然數(shù)列前n項(xiàng)之總和等于a2，即：1+2+3+4+5+6+ +a=a2本文把空心括號(hào)內(nèi)的數(shù)字或字母稱(chēng)之為自然數(shù)列群基數(shù)，空心括號(hào)右上角的數(shù)字或字母稱(chēng)之為自然數(shù)列群的和次數(shù)，和次數(shù)為1的，可省略不寫(xiě)。am的結(jié)果稱(chēng)之為自然數(shù)列群的和。同理，本文規(guī)定：1+2+3+4+5+6+7=721+2+3+4+5+6+7+8=821+2+3+4+5+6+7+8+9=92 ；1+2+3+a=a272

6、讀作：7的2次和，（不能讀作7的2次方）；82讀作：8的2次和；a2讀作：a的2次和。72表示的意思是：以7為最大數(shù)，從1的1次和一直加到7的1次和、多個(gè)自然數(shù)列的和；82表示的意思是：以8為最大數(shù)，從1的1次和一直加到8的1次和、多個(gè)自然數(shù)列的和；a2表示的意思是：以a為最大數(shù)，從1的1次和一直加到a的1次和、若干自然數(shù)列的和。3、問(wèn)題的延伸12+22+32+ a2 = ？本文規(guī)定：12+22+32+ a2 = a3 a3讀作：a的3的次和。a3表示的意思：以a為最大數(shù)、1的2次和加2的2次和加3的2次和一直加到a的2次和、若干自然數(shù)列的和。同理、本文規(guī)定：12+22+32+42+52+62

7、+72+82=8313+23+33+43+53+63+73+838414+24+34+44+54+64+74+84=85； 一般地:1m-1+2m-1+3m-1+ +am-1=am (2)1m-1+2m-1+3m-1+ +a-1m-1=a-1m (3)從本文之規(guī)定得知，1的任何次和都等于1，即：1m =1 (m為自然數(shù) m0)理所當(dāng)然，am屬于自然數(shù)列群的范疇。 如果用本文所述自然數(shù)列群表示法，自然數(shù)列群間便可進(jìn)行簡(jiǎn)單的加、減法運(yùn)算。例如：3233322此外，用本文所述特殊自然數(shù)列群表示法的另一優(yōu)點(diǎn)是，給自然數(shù)列群的判斷帶來(lái)方便。例如：下面有（A）、（B）兩組數(shù)據(jù)，（A）組數(shù)據(jù)數(shù)列的特性一目了

8、然，而（B）組好象是一堆雜亂無(wú)章的數(shù)據(jù)，實(shí)際上（B）組數(shù)據(jù)與（A）組數(shù)據(jù)一、一對(duì)應(yīng)。 18，28，38， 48， 58，； a8 （A）1， 10， 55， 220， 715， ； q (B)（A）組數(shù)據(jù)之和為a9。4、自然數(shù)列群求和公式的推導(dǎo)那么，38、618、a9 、am究竟等于多少呢？怎樣進(jìn)行計(jì)算呢？為此，筆者進(jìn)行了探索，并推導(dǎo)出了以下公式。 am= (4) (a、m為自然數(shù) ， a0 m0 ) 在推導(dǎo)自然數(shù)列群求和公式（4）前，需先證明另一個(gè)公式成立。引理123r234(r+1)345(r2)n(n+1)(n+2)(n+3)(n+r-1)= n(n+1)(n+2)(n+3)(n+r)

9、(5)證明：當(dāng)n=1時(shí)左邊=123r右邊123r(r+1)123r左邊右邊等式（5）成立假定當(dāng) nk時(shí)（5）式成立、即：123r234(r+1)345(r2)k(k+1)(k+2)(k+3)(k+r-1)= k(k+1)(k+2)(k+3)(k+r) (6) 那么，當(dāng)n=k+1時(shí)左邊=123r234(r+1)345(r2)k(k+1)(k+2)(k+3) (k+r-1)+(k+1)(k+2)(k+3) (k+r)將（6）式代入上式左邊k(k+1)(k+2)(k+3) (k+r)+(k+1)(k+2)(k+3) (k+r) =(+1) (k+1)(k+2)(k+3) (k+r) = (k+1)(

10、k+2)(k+3) (k+r)(k+1+r)當(dāng)n=k+1時(shí)右邊= (k+1)(k+2)(k+3) (k+r)(k+1+r)左邊右邊 即：公式(5)成立。下面用遞推法推導(dǎo)自然數(shù)列群求和公式（4） 根據(jù)本文對(duì)自然數(shù)列群的表示法得：a=1+2+3+a = a21 + 2 + 3+a + + + = 12+23+34+a(a+1)= a (a+1)(a+2) a312+22+32+ +a2 = + + + + = 123+234+345+ a (a+1)(a+2) = a (a+1)(a+2)(a+3) a413+23+33+a3 =+ + + = 1234+2345+3456+a (a+1)(a+2

11、)(a+3)根據(jù)公式（5）可得：= a (a+1)(a+2)(a+3)(a+4) ；am1m-1+2m-1+3m-1+am-1 =+ +根據(jù)公式 （5）得： = 根據(jù)階乘意義得：am =5、自然數(shù)列群求和公式（4）的再次證明 求證：am =證明：公式（2）（3）得：am am-1+a-1m (7)分析：公式（7）是根據(jù)本文對(duì)自然數(shù)列群之規(guī)定而推導(dǎo)出來(lái)的，因此，公式（7）的正確性母容置疑。如果能由公式（4）證明推導(dǎo)出的公式（7）成立，那么，公式 （4）也就成立。即：am =由階乘意義得：am= =+ (8)若公式（4） am = 成立 則有：am-1 = (9)a-1m = (10) 將公式（9

12、）、（10）代入（8） 得： am = am-1 + a-1m 6、自然數(shù)列群所含自然數(shù)列個(gè)數(shù)的計(jì)算：根據(jù)本文規(guī)定得知：當(dāng)我們?cè)谇骯m=？時(shí)，實(shí)質(zhì)上是在求以a為最大數(shù)、若干自然數(shù)列的和；例如，在求81=？時(shí)，實(shí)質(zhì)上是在求以8為最大數(shù)、1個(gè)自然數(shù)列的和；又如，在求82=？時(shí)，實(shí)質(zhì)上是在求以8為最大數(shù)、8個(gè)自然數(shù)列的和；再如，在求83=？時(shí)，實(shí)質(zhì)上是在求以8為最大數(shù)、36個(gè)自然數(shù)列的和；自然數(shù)列群所含自然數(shù)列的個(gè)數(shù)可用下面公式（11）進(jìn)行計(jì)算?！綼】m = (11)(a、m為自然數(shù) ， a0 m0 ) 請(qǐng)注意：自然數(shù)列群所含自然數(shù)列的個(gè)數(shù)的計(jì)算公式 (11)與自然數(shù)列群求和公式（4）字母的表示方法

13、和公式都是所區(qū)別的。自然數(shù)列群求和的符號(hào)為（am），它是用空心括號(hào)內(nèi)的加數(shù)字或字母來(lái)表示，自然數(shù)列群所含自然數(shù)列的個(gè)數(shù)的符號(hào)為（【a】m）它是用實(shí)心括號(hào)內(nèi)的加數(shù)字或字母來(lái)表示。公式（11）的推導(dǎo)根據(jù)本文對(duì)自然數(shù)列群表示法得知：a= 1+2+3+4+a此時(shí)對(duì)一個(gè)自然數(shù)列前n項(xiàng)求和所以 【a】= 1根據(jù)本文對(duì)自然數(shù)列群表示法得知：a2 =1+2+3+4+5+6+ +a此時(shí)對(duì)a個(gè)自然數(shù)列前n項(xiàng)求和所以 【a】2= a根據(jù)本文對(duì)自然數(shù)列群表示法得知：a312+22+32 + +a2 1 1 1 12 2 23 3 a此時(shí)是對(duì)1+2+3+ +a=個(gè)自然數(shù)列前n項(xiàng)求和 所以 【a】3 = 根據(jù)本文對(duì)自然數(shù)

14、列群表示法得知：a4 = 13+23+33+ + a此時(shí)是對(duì)+ + + 個(gè)自然數(shù)列前n項(xiàng)求和=所以 【a】4 = 根據(jù)本文對(duì)自然數(shù)列群表示法得知：a5 =14+24+34 + +a4此時(shí)對(duì) + + + + 個(gè)自然數(shù)列前n項(xiàng)求和所以【a】5 = ； 從上面的推導(dǎo)過(guò)程中可以看出，數(shù)列個(gè)數(shù)計(jì)算公式（11）的推導(dǎo)與求和公式（4）的推導(dǎo)完全相同，在數(shù)值上有：【a】3 =a；【a】4 =a2 ；【a】5=a3 ； ；【a】m=am-2 根據(jù)公式（4）有：【a】m = 7、自然數(shù)列群數(shù)表的規(guī)律為了方便計(jì)算，后面給出了部分自然數(shù)列群數(shù)表。一個(gè)有趣的現(xiàn)象是：數(shù)表的第三行的數(shù)值與左數(shù)第一列數(shù)值完全相同；數(shù)表的第四

15、行的數(shù)值與左數(shù)第二列數(shù)值完全相同；數(shù)表的第五行的數(shù)值與左數(shù)第三列數(shù)值完全相同；8、自然數(shù)列群求和應(yīng)用舉例 例1、16的8次和有多少個(gè)數(shù)列？這么多數(shù)列的前n項(xiàng)總和是多少？ 解：利用數(shù)列個(gè)數(shù)計(jì)算公式（11）有：【a】m = 【16】8 = = 170544 利用求和公式（4）有：am= 168 = 130750416的8次和共有170544個(gè)自然數(shù)列，170544個(gè)自然數(shù)列前n項(xiàng)之總和為1307504。例2、求下列7個(gè)數(shù)據(jù)總和。18、28、38、58、68、78、88、解：上面數(shù)據(jù)如果加入一個(gè)48后，便可以使計(jì)算更簡(jiǎn)便，于是有18+28+38+48+58+68+78+88=8948查后面自然數(shù)列群

16、數(shù)表= 19448220= 19228參考文獻(xiàn)：1、北京市初等數(shù)學(xué)編寫(xiě)組 初等代數(shù)M，北京人民教育出版社，1975年出版，295-317頁(yè)2、曹才翰 中國(guó)中學(xué)教學(xué)百科全書(shū)（數(shù)學(xué)卷）M， 沈陽(yáng)， 沈陽(yáng)出版社 ，1991年出版 76-78頁(yè)3、四川礦業(yè)學(xué)院數(shù)學(xué)編寫(xiě)組 數(shù)學(xué)手冊(cè)M ， 北京科學(xué)出版社，1977年出版，15頁(yè)。 List of references1Beijing elementary mathematic sCompilation groupPrimary algebraM，The Beijing people educate the publishing house，In 1975 published，295-317 page2。 CaohancaiChinese middle school teaching encyclopedia（Mathematics volume）M， Shenyang， the Shenyang publishing house，1991 years publishes76-78 page。3The Sichuan mining industry institute mathematics compilation group mathematics handboo