高中數(shù)學(xué)必修二 基本立體圖形

1、基本立體圖形第1課時(shí)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征1.空間幾何體、多面體的概念（1）空間幾何體如果只考慮這些物體的形狀和大小，而不考慮其他因素，那么由這些物體抽象出來(lái)的空間圖形就叫做空間幾何體。（2）一般地，由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體。圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面；兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱；棱與棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn)。多面體【思考】多面體怎樣分類？提示：（1）按多面體是否在任一面的同側(cè)關(guān)系分，可分為凸多面體（把一個(gè)多面體的任意一個(gè)面延展為平面，如果其余的各面都在這個(gè)平面的同一側(cè)）和凹多面體。我們所研究的多面體若不特別說(shuō)明，都是指凸多面體。（2）多面體按圍成它的面的個(gè)數(shù)

2、分，可分為四面體、五面體、六面體2.棱柱（1）棱柱的結(jié)構(gòu)特征：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱。在棱柱中，兩個(gè)互相平行的面叫做棱柱的底面，簡(jiǎn)稱底；其余各面叫做棱柱的側(cè)面；相鄰的側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱；側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)叫做棱柱的頂點(diǎn)。（2）棱柱的圖形表示：（3）棱柱的表示方法：如上圖所示的棱柱，可記為四棱柱ABCD-ABCD?！舅伎肌坷庵哂心男┲匾奶卣?？提示：（1）側(cè)棱互相平行且相等，側(cè)面都是平行四邊形。（2）兩個(gè)底面與平行于底面的截面是全等的多邊形。3.棱錐（1）棱錐的結(jié)構(gòu)特征：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是

3、有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐。這個(gè)多邊形面叫做棱錐的底面；有公共頂點(diǎn)的各個(gè)三角形面叫做棱錐的側(cè)面；各側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫做棱錐的頂點(diǎn)；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱。（2）棱錐的圖形表示：（3）棱錐的表示方法：如上圖所示，該棱錐可表示為四棱錐S-ABCD。【思考】棱錐的結(jié)構(gòu)特征中應(yīng)注意什么？提示：對(duì)于棱錐要注意有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體不一定是棱錐，必須強(qiáng)調(diào)其余各面是共頂點(diǎn)的三角形。4.棱臺(tái)（1）棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺(tái)。原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺(tái)的下底面和上底面。（2）棱臺(tái)的圖形表示：（3）棱

4、臺(tái)的表示方法：如上圖所示的棱柱，可記為四棱臺(tái)ABCD-ABCD?！舅伎肌坷馀_(tái)具有哪些重要的特征？提示：棱臺(tái)的上下底面必須平行，各側(cè)棱延長(zhǎng)后必相交于一點(diǎn)，否則不是棱臺(tái)?！舅仞B(yǎng)小測(cè)】1.思維辨析（對(duì)的打“”，錯(cuò)的打“”）（1）棱柱的側(cè)面都是平行四邊形。（）（2）有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐。（）（3）正三棱錐也稱為正四面體。（）【解析】（1）。棱柱的兩個(gè)底面是全等的多邊形，側(cè)面是平行四邊形。（2）。其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形。（3）。正四面體是正三棱錐，正三棱錐不一定是正四面體。2.下列關(guān)于棱柱的說(shuō)法中正確的是（）A.棱柱的側(cè)面是平行四邊形，但它的底面一定不是平行四邊

5、形B.棱柱的一條側(cè)棱的長(zhǎng)叫做棱柱的高C.棱柱的兩個(gè)互相平行的平面一定是棱柱的底面D.棱柱的所有面中，至少有兩個(gè)面互相平行【解析】選D。由棱柱的定義，知A不正確，例如長(zhǎng)方體；只有直棱柱才滿足選項(xiàng)B的條件，故B不正確；C不正確，例如正六棱柱的相對(duì)側(cè)面互相平行；D顯然正確。3.下面四個(gè)幾何體中，是棱臺(tái)的是（）【解析】選C。由棱臺(tái)的概念知側(cè)棱延長(zhǎng)應(yīng)交于一點(diǎn)。4.面數(shù)最少的多面體有_個(gè)面?！窘馕觥棵鏀?shù)最少的多面體是四面體（三棱錐），有4個(gè)面。答案：4類型一棱柱的結(jié)構(gòu)特征【典例】1.下列說(shuō)法中，正確的是（）A.棱柱中所有的側(cè)棱都相交于一點(diǎn)B.棱柱中互相平行的兩個(gè)面叫做棱柱的底面C.棱柱的側(cè)面是平行四邊形，

6、而底面不是平行四邊形D.棱柱的側(cè)棱相等，側(cè)面是平行四邊形2.如圖所示，長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1。（1）這個(gè)長(zhǎng)方體是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱？為什么？（2）用平面BCNM把這個(gè)長(zhǎng)方體分成兩部分，各部分形成的幾何體還是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱，并用符號(hào)表示；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由?！舅季S引】根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征判斷。【解析】1.選D。A選項(xiàng)不符合棱柱的特點(diǎn)；B選項(xiàng)中，如圖，構(gòu)造四棱柱ABCD-A1B1C1D1，令四邊形ABCD是梯形，可知平面ABB1A1平面DCC1D1，但這兩個(gè)面不能作為棱柱的底面；C選項(xiàng)中，如圖，底面ABCD可以是平行四邊形；D選項(xiàng)是棱柱的特點(diǎn)。2.（1）是棱柱，并且是四棱

7、柱，因?yàn)橐蚤L(zhǎng)方體相對(duì)的兩個(gè)面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四條側(cè)棱互相平行，符合棱柱的定義。（2）截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M-CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1-DCND1?！緝?nèi)化悟】怎樣判斷棱柱的底面？提示：棱柱的底面，不是看到直觀圖“位置”上的上下底面，而是平行且全等的那兩個(gè)多邊形?！绢愵}通】棱柱結(jié)構(gòu)特征問(wèn)題的解題策略1.有關(guān)棱柱概念辨析問(wèn)題應(yīng)緊扣棱柱定義：兩個(gè)面互相平行；其余各面是四邊形；相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊互相平行。求解時(shí)，首先看是否有兩個(gè)面平行，再看是否滿足其他特征。2.多注意觀察一些實(shí)物模型和圖片便于反例排除。【習(xí)練破】1.下列幾何體是棱柱的有（）A.

8、5個(gè)B.4個(gè)C.3個(gè)D.2個(gè)【解析】選D。棱柱的結(jié)構(gòu)特征有三方面：有兩個(gè)面互相平行，其余各面是平行四邊形，這些平行四邊形面中，每相鄰兩個(gè)面的公共邊都互相平行。當(dāng)一個(gè)幾何體同時(shí)滿足這三方面的結(jié)構(gòu)特征時(shí)，這個(gè)幾何體才是棱柱。很明顯，幾何體均不符合，僅有符合。2.下列關(guān)于棱柱的說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.所有的棱柱兩個(gè)底面都平行B.所有的棱柱一定有兩個(gè)面互相平行，其余各面每相鄰兩個(gè)面的公共邊互相平行C.有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體一定是棱柱D.棱柱至少有五個(gè)面【解析】選C。對(duì)于A，B，D，顯然是正確的；對(duì)于C，棱柱的定義是這樣的：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公

9、共邊都互相平行，由這些面圍成的幾何體叫做棱柱，顯然題中漏掉了“并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行”這一條件，因此所圍成的幾何體不一定是棱柱。如圖所示的幾何體就不是棱柱，所以C錯(cuò)誤。類型二棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征【典例】1.下列三種敘述，正確的有（）用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺(tái)；兩個(gè)面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)；有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體是棱臺(tái)。其中正確的有（）A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)2.如圖在三棱臺(tái)ABC-ABC中，截去三棱錐A-ABC，則剩余部分是（）A.三棱錐B.四棱錐C.三棱柱D.三棱臺(tái)【思維引】根據(jù)棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征

10、判斷?！窘馕觥?.選A。中的平面不一定平行于底面，故錯(cuò)；可用反例去檢驗(yàn)，如圖所示，側(cè)棱延長(zhǎng)線不能相交于一點(diǎn)，故錯(cuò)。2.選B。剩余部分為四棱錐A-BBCC?！緝?nèi)化悟】棱臺(tái)能不能由棱錐截得？提示：能。【類題通】判斷棱錐、棱臺(tái)形狀的兩個(gè)方法（1）舉反例法：結(jié)合棱錐、棱臺(tái)的定義舉反例直接判斷關(guān)于棱錐、棱臺(tái)結(jié)構(gòu)特征的某些說(shuō)法不正確。（2）直接法：棱錐棱臺(tái)定底面只有一個(gè)面是多邊形，此面即為底面兩個(gè)互相平行的面，即為底面看側(cè)棱相交于一點(diǎn)延長(zhǎng)后相交于一點(diǎn)【習(xí)練破】下列關(guān)于棱錐、棱臺(tái)的說(shuō)法：棱臺(tái)的側(cè)面一定不會(huì)是平行四邊形；棱錐的側(cè)面只能是三角形；棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐。其中正確說(shuō)法的序號(hào)是_?！窘?/p>

11、析】正確，棱臺(tái)的側(cè)面一定是梯形，而不是平行四邊形；正確，由棱錐的定義知棱錐的側(cè)面只能是三角形；錯(cuò)誤，如圖所示四棱錐被平面截成的兩部分都是棱錐。答案：類型三多面體的表面展開(kāi)圖【典例】1.某同學(xué)制作了一個(gè)對(duì)面圖案均相同的正方體禮品盒，如圖所示，則這個(gè)正方體禮品盒的平面展開(kāi)圖應(yīng)該為（對(duì)面是相同的圖案）（）2.如圖是三個(gè)幾何體的平面展開(kāi)圖，請(qǐng)問(wèn)各是什么幾何體？【思維引】1.正方體的平面展開(kāi)圖以其中一個(gè)面不動(dòng)把其他面展開(kāi)。2.常見(jiàn)幾何體的定義與結(jié)構(gòu)特征空間想象或動(dòng)手制作平面展開(kāi)圖進(jìn)行實(shí)踐?！窘馕觥?.選A。由選項(xiàng)驗(yàn)證可知選A。2.圖中，有5個(gè)平行四邊形，而且還有兩個(gè)全等的五邊形，符合棱柱特點(diǎn)；圖中，有5

12、個(gè)三角形，且具有共同的頂點(diǎn)，還有一個(gè)五邊形，符合棱錐特點(diǎn)；圖中，有3個(gè)梯形，且其腰的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，還有兩個(gè)相似的三角形，符合棱臺(tái)的特點(diǎn)。把平面展開(kāi)圖還原為原幾何體，如圖所示：所以為五棱柱，為五棱錐，為三棱臺(tái)。【類題通】多面體展開(kāi)圖問(wèn)題的解題策略（1）繪制展開(kāi)圖：繪制多面體的平面展開(kāi)圖要結(jié)合多面體的幾何特征，發(fā)揮空間想象能力或者是親手制作多面體模型。在解題過(guò)程中，常常給多面體的頂點(diǎn)標(biāo)上字母，先把多面體的底面畫(huà)出來(lái)，然后依次畫(huà)出各側(cè)面，便可得到其平面展開(kāi)圖。（2）由展開(kāi)圖復(fù)原幾何體：若是給出多面體的平面展開(kāi)圖，來(lái)判斷是由哪一個(gè)多面體展開(kāi)的，則可把上述過(guò)程逆推。同一個(gè)幾何體的平面展開(kāi)圖可能是不一樣

13、的，也就是說(shuō)，一個(gè)多面體可有多個(gè)平面展開(kāi)圖?！玖?xí)練破】如圖所示，不是正四面體（各棱長(zhǎng)都相等的三棱錐）的展開(kāi)圖的是（）A.B.C.D.【解析】選C。可選擇陰影三角形作為底面進(jìn)行折疊，發(fā)現(xiàn)可折成正四面體，不論選哪一個(gè)三角形作底面折疊都不能折成正四面體。第2課時(shí)圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球、簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征1.圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球【思考】（1）圓柱、圓錐、圓臺(tái)都是旋轉(zhuǎn)體，它們?cè)诮Y(jié)構(gòu)上有哪些相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？當(dāng)?shù)酌姘l(fā)生變化時(shí)，它們能否互相轉(zhuǎn)化？提示：它們的相同點(diǎn)是：它們都是由平面圖形旋轉(zhuǎn)得到的；不同點(diǎn)是：圓柱和圓臺(tái)有兩個(gè)底面，圓錐只有一個(gè)底面，圓柱的兩個(gè)底面是半徑相等的圓，圓臺(tái)的兩個(gè)底面是半徑不相等的圓；當(dāng)

14、底面發(fā)生變化時(shí)，它們能相互轉(zhuǎn)化，即圓臺(tái)的上底面擴(kuò)大，使上下底面全等，就是圓柱；圓臺(tái)的上底面縮為一個(gè)點(diǎn)就是圓錐。（2）球與球面有何區(qū)別？提示：球與球面是兩個(gè)完全不同的概念，球是指球面所圍成的空間，而球面只指球的表面部分；球是實(shí)心的，球面是空心的。2.組合體的結(jié)構(gòu)特征（1）定義：由簡(jiǎn)單幾何體組合而成的幾何體。（2）基本形式：【思考】怎樣正確認(rèn)識(shí)簡(jiǎn)單組合體？提示：（1）準(zhǔn)確理解簡(jiǎn)單幾何體（柱、錐、臺(tái)、球）的結(jié)構(gòu)特征。（2）正確掌握簡(jiǎn)單組合體構(gòu)成的兩種基本形式。（3）若用分割的方法，則需要根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征恰當(dāng)?shù)刈鞒鲚o助線（或面）?！舅仞B(yǎng)小測(cè)】1.思維辨析（對(duì)的打“”，錯(cuò)的打“”）（1）以直角三角形

15、的一邊為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐。（）（2）以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)。（）（3）用一個(gè)平面去截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)。（）【解析】（1）。應(yīng)以直角三角形的一條直角邊為軸。（2）。應(yīng)以直角梯形的垂直于底邊的腰為軸。（3）。應(yīng)是平面與圓錐底面平行時(shí)。2.圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是（）A.三角形B.長(zhǎng)方形C.正方形D.扇形【解析】選D。圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是扇形。3.如圖所示的組合體的結(jié)構(gòu)特征是（）A.一個(gè)棱柱中截去一個(gè)棱柱B.一個(gè)棱柱中截去一個(gè)圓柱C.一個(gè)棱柱中截去一個(gè)棱錐D.一個(gè)棱柱中截去一個(gè)棱臺(tái)【解析】選C。由簡(jiǎn)單組合體的基本形式可知，該組合體是一個(gè)棱柱中截去一個(gè)棱錐。類型一旋轉(zhuǎn)體

16、的結(jié)構(gòu)特征【典例】1.下列結(jié)論：在圓柱的上、下兩底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線是圓錐的母線；在圓臺(tái)上、下兩底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓臺(tái)的母線；圓柱的任意兩條母線相互平行。其中正確的是（）A.B.C.D.2.下列說(shuō)法中正確的是（）過(guò)球面上任意兩點(diǎn)只能作一個(gè)經(jīng)過(guò)球心的圓；以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，半圓的直徑叫做球的直徑；用不過(guò)球心的截面截球，球心和截面圓心的連線垂直于截面；球面上任意三點(diǎn)可能在一條直線上；球的半徑是連接球面上任意一點(diǎn)和球心的線段。A.B.C.D.【思維引】根據(jù)圓柱、圓錐、圓

17、臺(tái)以及球的定義及結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行判斷。【解析】1.選D。所取的兩點(diǎn)與圓柱的軸OO的連線所構(gòu)成的四邊形不一定是矩形，若不是矩形，則與圓柱母線定義不符。若所取兩點(diǎn)連線的延長(zhǎng)線不與軸交于一點(diǎn)，則不符合圓臺(tái)母線的定義。符合圓錐、圓柱母線的定義及性質(zhì)。2.選C。由球的結(jié)構(gòu)特征可知正確。【內(nèi)化悟】判斷簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征應(yīng)注意哪兩個(gè)方面的問(wèn)題？提示：（1）明確由哪種平面圖形旋轉(zhuǎn)而成。（2）明確旋轉(zhuǎn)軸是哪條直線?！绢愵}通】1.判斷旋轉(zhuǎn)體形狀的步驟（1）明確旋轉(zhuǎn)軸l。（2）確定平面圖形中各邊（通常是線段）與l的位置關(guān)系。（3）依據(jù)圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的定義和一些結(jié)論來(lái)確定形狀。2.與簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體的截面有關(guān)的結(jié)論（1）

18、圓柱、圓錐、圓臺(tái)平行于底面的截面都是圓面。（2）圓柱、圓錐、圓臺(tái)的軸截面（即過(guò)旋轉(zhuǎn)軸的截面）分別是矩形、等腰三角形、等腰梯形?！玖?xí)練破】給出下列說(shuō)法：圓柱的底面是圓面；經(jīng)過(guò)圓柱任意兩條母線的截面是一個(gè)矩形面；圓臺(tái)的任意兩條母線的延長(zhǎng)線可能相交，也可能不相交；夾在圓柱的兩個(gè)截面間的幾何體還是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體。其中說(shuō)法正確的是_。（填序號(hào)）【解析】正確，圓柱的底面是圓面；正確，如圖所示，經(jīng)過(guò)圓柱任意兩條母線的截面是一個(gè)矩形面；不正確，圓臺(tái)的母線延長(zhǎng)，相交于一點(diǎn)；不正確，夾在圓柱兩個(gè)平行于底面的截面間的幾何體才是旋轉(zhuǎn)體。答案：類型二簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征【典例】1.將一個(gè)等腰梯形繞著它的較長(zhǎng)的底邊所在直線旋

19、轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體包括（）A.一個(gè)圓臺(tái)、兩個(gè)圓錐B.兩個(gè)圓柱、一個(gè)圓錐C.兩個(gè)圓臺(tái)、一個(gè)圓柱D.一個(gè)圓柱、兩個(gè)圓錐2.描述下列幾何體的結(jié)構(gòu)特征?！舅季S引】1.先將平面圖形割補(bǔ)成三角形、矩形，再旋轉(zhuǎn)識(shí)別幾何體。2.關(guān)鍵是弄清簡(jiǎn)單組合體是由哪幾部分組成。【解析】1.選D。圖1是一個(gè)等腰梯形，CD為較長(zhǎng)的底邊，以CD邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體為一個(gè)組合體，如圖2，包括一個(gè)圓柱、兩個(gè)圓錐。2.題干圖所示的幾何體是由兩個(gè)圓臺(tái)拼接而成的組合體；題干圖所示的幾何體是由一個(gè)圓臺(tái)挖去一個(gè)圓錐得到的組合體；題干圖所示的幾何體是在一個(gè)圓柱中間挖去一個(gè)三棱柱后得到的組合體?！緝?nèi)化悟】常見(jiàn)的簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體有哪些？提示：圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球?！绢愵}通】識(shí)別簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征的策略（1）組合體是由簡(jiǎn)單幾何體拼接、截去或挖去一部分而成的，因此，要仔細(xì)觀察組合體的組成，結(jié)合柱、錐、臺(tái)、球的幾何結(jié)構(gòu)特征，對(duì)原組合體進(jìn)行分割。（2）用分割法識(shí)別簡(jiǎn)單組合體，則需要根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征恰當(dāng)?shù)刈鞒鲚o助線（或面），進(jìn)而將幾何體“分拆”成幾個(gè)簡(jiǎn)單的幾何體?！玖?xí)練破】如圖，AB為圓弧BC所在圓的直徑，BAC=45。將這個(gè)平面圖形繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)