2021-2022學(xué)年高二物理競(jìng)賽課件：量子力學(xué)中的對(duì)稱性

1、量子力學(xué)中的對(duì)稱性量子力學(xué)中的對(duì)稱性 對(duì)稱性、守恒律和簡并性一、經(jīng)典物理中的對(duì)稱性對(duì)拉格朗日函數(shù)：若 ,即廣義動(dòng)量為運(yùn)動(dòng)常數(shù).類似地，若用哈密頓函數(shù) 的正則方程來討論：量子力學(xué)中的操作如平移、轉(zhuǎn)動(dòng)等是與一個(gè)幺正算符T相聯(lián)系的，習(xí)慣上T常被稱作對(duì)稱算符。若T作用下系統(tǒng)不變,則稱系統(tǒng)具有與T相關(guān)的對(duì)稱性.對(duì)無窮小變化的操作，T可寫為， 其中G是對(duì)稱操作的厄米生成元。若H在T作用下不變， 則根據(jù)海森堡運(yùn)動(dòng)方程，有 ，即G是運(yùn)動(dòng)常量。例如動(dòng)量是平移的生成元，若H在平移操作下不變，則動(dòng)量是運(yùn)動(dòng)常量（即守恒）。類似的，若H在轉(zhuǎn)動(dòng)下不變，則轉(zhuǎn)動(dòng)的生成元角動(dòng)量守恒。從態(tài)矢變化的角度看，若G與H對(duì)易，則 保持是

2、G的本征態(tài)，且G的本征值不變：即使初始不是G的本征態(tài)，G的期望值也是不變的。若H,T=0，T為某對(duì)稱算符，|n為本征值為En的能量本征態(tài)，則T|n也是相同能量的能量本征態(tài)。如果T|n與|n是不同的態(tài)，則稱它們是能量簡并態(tài)，體系有簡并。有時(shí)T由連續(xù)參量表征T=T(),此時(shí)所有的T()|n態(tài)都簡并（但簡并度只是獨(dú)立的T()|n態(tài)數(shù)）。如對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)， 可構(gòu)造H, J2, Jz的共同本征態(tài)|n;j,m。由上所知，所有D(R) |n;j,m態(tài)能量簡并。由于 , 改變表征D(R)的連續(xù)參量,可得不同|njm組合,故不同m的|njm是簡并的。因m有2j+1個(gè)，簡并度為2j+1。從H,J=0和J作用于|njm也可

3、知其有2j+1簡并度作為應(yīng)用，考慮原子中電子的狀態(tài)，其所受勢(shì)為 。由于該勢(shì)在轉(zhuǎn)動(dòng)下不變，故原子能級(jí)有2j+1重簡并。若外加Z方向的電磁場(chǎng)，則電子所受的勢(shì)不再在轉(zhuǎn)動(dòng)下不變，簡并被消除。上面討論的是連續(xù)性對(duì)稱操作，即對(duì)稱操作可由相繼無窮小對(duì)稱算符所得。量子力學(xué)中有用的對(duì)稱操作并不限于此種形式，可有分立而非連續(xù)的對(duì)稱操作，如宇稱，晶格平移和時(shí)間反演。宇稱或空間反演操作將r變?yōu)?r，而右手坐標(biāo)系變?yōu)樽笫肿鴺?biāo)系。量子力學(xué)中我們討論的常是作用于態(tài)矢而不是坐標(biāo)系的變換。對(duì)稱操作的兩種等價(jià)方式：主動(dòng)與被動(dòng)對(duì)|,用幺正算符表示宇稱算符，| |。 要求位置算符的期望值變號(hào)，即則有位置本征態(tài)|x在宇稱作用下變?yōu)楸菊?/p>

4、值為-x的態(tài)：故由于用作用兩次體系必恢復(fù)原狀，故2=1=-1=+，是厄米的。對(duì)的本征態(tài)|,因|=2|，知=1由于先平移后反演等同于先反演后在相反方向平移：有或p,=0. 該關(guān)系與p=dx/dt的預(yù)期相同。對(duì)軌道角動(dòng)量L=xxp，可預(yù)期L,=0.對(duì)一般角動(dòng)量，考慮到R(宇稱)=-I,宇稱和轉(zhuǎn)動(dòng)操作對(duì)易，故量子力學(xué)中的相應(yīng)幺正算符也對(duì)易: D(R)=D(R) ,J=0.在轉(zhuǎn)動(dòng)下x和J以相同方式變換，兩者都是矢量，或一階球張量，但x和p與反對(duì)易，而J與對(duì)易。與宇稱反對(duì)易的矢量稱為極性矢量，而與宇稱對(duì)易的矢量叫做軸矢量或贗矢量。類似的有標(biāo)量算符（與宇稱算符對(duì)易）和贗標(biāo)量算符（與宇稱算符反對(duì)易） 。LS

5、、xp是標(biāo)量： + LS= LS贗標(biāo)量的例子包括Sx、Lx等：若|為宇稱本征態(tài)，|= |,則= , 故有“+”對(duì)應(yīng)偶宇稱，“-”對(duì)應(yīng)奇宇稱。當(dāng)然，只有與對(duì)易的算符之本征態(tài)才可能有確定的宇稱。如動(dòng)量算符不與對(duì)易，其本征態(tài)即平面波并非的本征態(tài)，而軌道角動(dòng)量的本征態(tài)則可為的本征態(tài)：若H,=0,而|n是H的本征值為En的非簡并本征態(tài)，則|n是宇稱本征態(tài)。證：H|n=En|n,由非簡并性得|n=ei|n.作為應(yīng)用，考慮簡諧振子本征態(tài)。 由于基態(tài)為高斯函數(shù)，|0=|0, 而|1=a+|0=-|1。 類似可推得|n=(-)n|n注意:非簡并性對(duì)得出|n是的本征態(tài)是非常重要的。若有簡并，如氫原子體系，Cp|2p+Cs|2s是H本征態(tài)，但并非的本征態(tài)。又如動(dòng)量本征態(tài)也是自由粒子 H本征態(tài)，但|p 和 |-p簡并, |p并非的本征態(tài).當(dāng)然，我們可以通過