2021-2022學年高二物理競賽課件：晶體熱容的量子理論

1、晶體熱容的量子理論晶體熱容的量子理論晶體熱容的經典理論晶體熱容的量子理論愛因斯坦模型德拜模型經典理論（杜隆珀替定律）：一個簡諧振動平均能量為 kBTN個原子總的平均能量為熱容固體定容熱容的定義為固體的平均內能能量均分定理高溫時與實驗很好符合實驗表明在低溫時，熱容量隨溫度迅速趨于零，無法解釋！即經典理論認為，熱容是一個與溫度和材料性質無關的常數晶體熱容的經典理論晶體熱容的量子理論固體內能包括晶格振動的能量和電子熱運動的能量實驗結果：低溫下，金屬的熱容晶格振動電子熱運動溫度不是太低的情況，電子對比熱的貢獻很小，可忽略根據實驗結果，只考慮晶格振動對比熱的貢獻，有晶體熱容的經典理論晶體熱容的量子理論頻

2、率為j的振動模由一系列量子能級為 組成，這稱為子體系考慮各簡諧振動的能量本征值，它們是量子化的子體系處于量子態(tài) nj 的概率單個振動模的平均能量晶體熱容的經典理論晶體熱容的量子理論上式對T求微商即得單個振動模的熱容對于高溫極限狀況，與杜隆 珀替定律相符晶體熱容的量子理論晶體熱容的量子理論與實驗結果相符合對于低溫極限狀況，晶體熱容的量子理論晶體熱容的量子理論量子理論表明，晶體熱容與晶格振動頻率和溫度有關系愛因斯坦模型的晶格振動假設方案：N個原子構成的晶體，各原子的振動視作相互獨立所有的原子以相同的頻率0振動（忽略了各格波頻率差別）每個原子可沿三個方向振動，共有3N個頻率0的振動直接得到 愛因斯坦

3、熱容函數愛因斯坦模型晶體熱容的量子理論愛因斯坦溫度選取合適的E值，在較大溫度變化的范圍內，理論計算的結果和實驗結果相當好地符合（如右圖：金剛石）大多數固體的愛因斯坦溫度愛因斯坦模型晶體熱容的量子理論溫度較高時 與杜隆 珀替定律相符晶體熱容原因：高溫下量子化作用不再明顯，能量近似連續(xù)變化，每個自由度對熱容量的貢獻近似相等。即愛因斯坦模型晶體熱容的量子理論11溫度非常低時實驗測得結果原因：低溫時與實驗結果的偏差是因為愛因斯坦模型忽略了各格波的頻率差別晶體熱容金剛石此時愛因斯坦模型晶體熱容的量子理論定義德拜溫度，并令德拜模型的晶格振動假設方案：以各向同性連續(xù)介質的彈性波來代表格波，非單一頻率，即 q

4、格波包含有1個縱波和2個獨立的橫波三種格波的波矢 q 在倒易空間均勻（準連續(xù)）分布假設晶體中只存在小于某一m的長波以保證結果收斂有得到德拜模型晶體熱容的量子理論高溫極限下晶體總的熱容低溫極限下晶體總的熱容均與實驗結果符合溫度愈低時，德拜模型近似計算結果愈好，因為溫度很低時，主要的只有長波格波的激發(fā)，而對于長波，晶格可被看作是連續(xù)介質，這正是德拜模型的假設之一局限：德拜模型過于簡單，實驗表明德拜溫度隨溫度變化而改變，對同一種材料并不是一個常數1. 忽略了晶體的各向異性2. 忽略了光學波和高頻聲學波的貢獻德拜模型晶體熱容的量子理論討論晶格振動時，用到了簡諧近似，忽略了勢能表達式中三次及以上的高次項（又稱非諧作用）如果考慮非諧作用：溫度從T1升高到T2，原子能量上升，晶格振動增強0，V斜率較小，吸引力較弱振動平衡位置改