2021-2022學(xué)年高二物理競賽課件：金屬中的自由電子模型

1、金屬中的自由電子模型金屬中的自由電子模型“單電子在周期勢場”中的運(yùn)動(dòng)。無限深勢阱近似-駐波解 金屬內(nèi)部的自由電子不會(huì)逸出體外，因此金屬內(nèi)部的電子能量比金屬外部的電子能量低，也即金屬中的電子處于有限深勢阱中。 假設(shè)金屬內(nèi)的勢阱是無限深的方勢阱，金屬是邊長為L的立方體。 考慮一維情況：勢能：0 r Lr0 或x L金屬中的電子可以看作是被關(guān)閉在一個(gè)箱體中的自由電子金屬內(nèi)部的自由電子不會(huì)逸出體外，晶體外和晶體邊界處的電子波函數(shù)為0.該方程式的一般解為：因?yàn)锳不等于0，所以，相應(yīng)的波函數(shù)為式中A為歸一化常數(shù)。在三維情況下：勢阱內(nèi)，電子能量和波函數(shù)應(yīng)滿足的薛定諤方程為：上式用分離變量法求解，令參數(shù)k是自

2、由電子波矢的模，kx,ky,kz是波矢的三個(gè)分量。代入，分離變量可得：滿足三維無限深勢阱邊界條件可得：式中，A1,A2,A3是歸一化常數(shù)。電子的波矢分量滿足：nx，ny，nz可取任意的正整數(shù)。最終結(jié)果為：其中A是歸一化常數(shù)。 晶體中自由電子的本征態(tài)波函數(shù)和能量均有一組量子數(shù)來確定。能量的取值可以是分立的，形成能級。當(dāng)晶體的線度L很大時(shí)，能級成為準(zhǔn)連續(xù)的。周期性邊界條件-行波解 晶體內(nèi)部的周期性勢場不能忽略，假想所研究的晶體是許許多多首尾相連的完全相同的晶體中的一個(gè)，每塊晶體對應(yīng)出的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)相同。只強(qiáng)調(diào)晶體的有限性對內(nèi)部例子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響。 在周期性邊界條件下，不限定波函數(shù)在邊界上的值，而是要求

3、波函數(shù)的性質(zhì)延續(xù)到下一塊晶體。 上面的方程解為行波解： 利用邊界條件和波函數(shù)，可以得 進(jìn)而得到波矢的取值，即 能量： n為任意整數(shù)。 采用周期性邊界條件，金屬中單個(gè)電子的波函數(shù)表示的是行進(jìn)的平面波，具有確定的動(dòng)量和速度；平面波狀態(tài)的波矢由一組量子數(shù)確定，其單電子本征能量、動(dòng)量和相應(yīng)的速度均取分立值。（1）L作為晶體的長度遠(yuǎn)大于晶格常數(shù)，kx可看作準(zhǔn)連續(xù)的。（2）能量是波矢的偶函數(shù)。 E（kx）=E（-kx）（3） kx的取值是等間隔的，量子態(tài)在kx軸上均勻分布。 半導(dǎo)體中載流子濃度的計(jì)算、固體比熱容、電導(dǎo)率、磁導(dǎo)率的計(jì)算都要用到能態(tài)密度公式。按照周期性邊界條件的結(jié)果來討論能態(tài)密度。 晶體長度L遠(yuǎn)大于其晶格常數(shù)a，能級間隔和波矢間隔很小，能量和波矢幾乎是準(zhǔn)連續(xù)的值，波矢的取值為等間隔的，先討論一維情況。密度：L/2能量在E-E+dE范圍內(nèi)的量子態(tài)數(shù)為：能態(tài)密度：單位能量間隔內(nèi)的量子態(tài)數(shù)目。三維情況：自由電子波函數(shù)能量一個(gè)點(diǎn)子占有的“體積”密度能量在E-E+dE范圍內(nèi)的量子態(tài)數(shù)為： N個(gè)電子的基態(tài)，是從能量最低的 k 態(tài)開始，由低到高依次填充而得到。 在絕對零度時(shí)，N 個(gè)電子對允許態(tài)的占據(jù)遵從泡利不相容原理，即每個(gè)允許的態(tài)上可以容納兩個(gè)自旋方向相反的電子。 在 k 空間中電子占據(jù)區(qū)域最后形成一個(gè)球，稱為費(fèi)米球。費(fèi)米球的半徑稱為費(fèi)米波矢，用來 kF 表示。 k空間從原點(diǎn)到