2021-2022學(xué)年高二物理競(jìng)賽課件：分布函數(shù)和玻爾茲曼方程

1、分布函數(shù)和玻爾茲曼方程第三節(jié) 分布函數(shù)和玻爾茲曼方程處于平衡時(shí), 電子的分布遵從Fermi-Dirac分布在有外場(chǎng)（如電場(chǎng)、磁場(chǎng)或溫度梯度場(chǎng)）存在時(shí), 電子的平衡分布被破壞, 在散射比較弱的情況下, 類(lèi)似于氣體分子運(yùn)動(dòng)論, 我們可以用由坐標(biāo)r 和波矢k 組成的相空間中的半經(jīng)典分布函數(shù)f (r, k, t) 來(lái)描述電子的運(yùn)動(dòng). 均勻分布, 與空間位置r無(wú)關(guān)分布函數(shù)f (r, k, t) 的物理意義: 在t 時(shí)刻, 電子的位置處在r r+dr的體積元內(nèi), 電子的狀態(tài)處在k k+dk范圍內(nèi)單位體積的電子數(shù)為一. 分布函數(shù)分布函數(shù)f 隨時(shí)間的改變主要來(lái)自?xún)煞矫? 一是電子在外場(chǎng)作用下的漂移運(yùn)動(dòng), 從而

2、引起分布函數(shù)的變化, 這屬于破壞平衡的因素, 稱(chēng)為漂移變化；另一個(gè)是由于電子的碰撞而引起分布函數(shù)的變化, 它是建立或恢復(fù)平衡的因素, 稱(chēng)為碰撞變化. 因此, 分布函數(shù)的變化率為: 二. 玻爾茲曼方程漂移項(xiàng)碰撞項(xiàng)瞬變項(xiàng)當(dāng)體系達(dá)到平衡時(shí)且分布函數(shù)不顯含時(shí)間第三節(jié) 分布函數(shù)和玻爾茲曼方程漂移項(xiàng)不考慮碰撞時(shí), r, k, t 處的電子來(lái)自于r-dr, k-dk, t-dt于是第三節(jié) 分布函數(shù)和玻爾茲曼方程多元函數(shù)的微商注: 上式還可以將 展開(kāi)并保留至dt一階項(xiàng)得到.第三節(jié) 分布函數(shù)和玻爾茲曼方程碰撞項(xiàng)單位時(shí)間內(nèi)因碰撞進(jìn)入(k, r)處相空間單位體積的電子數(shù)單位時(shí)間內(nèi)因碰撞離開(kāi)(k, r)處相空間單位體

3、積的電子數(shù)電子從k態(tài)到k 態(tài)的躍遷幾率綜上玻爾茲曼方程第三節(jié) 分布函數(shù)和玻爾茲曼方程碰撞項(xiàng)單位時(shí)間內(nèi)因碰撞進(jìn)入(k, r)處相空間單位體積的電子數(shù)單位時(shí)間內(nèi)因碰撞離開(kāi)(k, r)處相空間單位體積的電子數(shù)電子從k態(tài)到k 態(tài)的躍遷幾率綜上玻爾茲曼方程第三節(jié) 分布函數(shù)和玻爾茲曼方程下面我們討論一維定態(tài)的導(dǎo)電問(wèn)題時(shí)(比如一根均勻?qū)Ь€(xiàn)內(nèi)的情形)，分布函數(shù)和位置r 無(wú)關(guān)，第二項(xiàng)為零，又因?yàn)椋翰柶澛匠炭梢院?jiǎn)化為：簡(jiǎn)化后，玻爾茲曼方程仍是一個(gè)微分-積分方程，碰撞項(xiàng)(b-a)的積分中還包含有未知的分布函數(shù)，在一般情況下，該方程得不到簡(jiǎn)單的解析形式解，要采用近似方法才行。(關(guān)鍵是碰撞項(xiàng)的積分求解困難很大)第三

4、節(jié) 分布函數(shù)和玻爾茲曼方程一個(gè)廣泛應(yīng)用的近似方法是弛豫時(shí)間近似, 碰撞項(xiàng)可以表示為: f0 為處于平衡態(tài)時(shí)的FermiDirac 分布函數(shù); 是引入的參量, 定義為弛豫時(shí)間第四節(jié) 弛豫時(shí)間近似和電導(dǎo)率公式在弛豫時(shí)間近似下，玻爾茲曼方程化為這個(gè)假設(shè)的根據(jù)是考慮到碰撞促使系統(tǒng)趨于平衡態(tài)的特點(diǎn). 若系統(tǒng)原來(lái)不平衡, 即t = 0時(shí), f = f0+ f (t = 0), 在t =0 時(shí)撤去外場(chǎng), 若只有碰撞作用時(shí), 對(duì)平衡的偏離 f (t = 0) 以指數(shù)的形式消失積分得回到一維電導(dǎo)問(wèn)題，玻爾茲曼方程變?yōu)椋簩?f 按電場(chǎng)E的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)f1, f2分別代表電場(chǎng)E的一次冪項(xiàng), 二次冪項(xiàng), 代入玻爾茲曼方程可得第四節(jié) 弛豫時(shí)間近似和電導(dǎo)率公式等式兩邊E的冪級(jí)數(shù)項(xiàng)應(yīng)該相等E的一次冪級(jí)項(xiàng)E的二次冪級(jí)項(xiàng)對(duì)于弱電場(chǎng)情況，分布函數(shù)只需要考慮到E的一次冪，即第四節(jié) 弛豫時(shí)間近似和電導(dǎo)率公式設(shè)金屬表面垂直于z軸, 即電子沿z方向脫離金屬速度