高中數(shù)學(xué)選擇性必修一 專題03 空間向量的應(yīng)用（含答案）

1、專題03 空間向量的應(yīng)用一、單選題1（2020貴州省銅仁第一中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）已知兩個(gè)異面直線的方向向量分別為，且|1，則兩直線的夾角為（ ）ABCD【答案】B【解析】設(shè)兩直線的夾角為，則由題意可得11cos，cos，故選：2（2019穆棱市第一中學(xué)高二期末）若平面的法向量分別為，則（ ）AB與相交但不垂直CD或與重合【答案】D【解析】因?yàn)?，所以平面的法向量共線，故或與重合.故選：D.3（2020北京高二期末）已知直線的方向向量為,平面的法向量為,則“”是“”的( )A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【答案】B【解析】,即,不一定有,也可能“”是“”的不充分條件,

2、可以推出,“”是“”是必要條件,綜上所述, “”是“”必要不充分條件.故選:B.4（2019山東省濟(jì)南一中高二期中）在平面ABCD中，若，且為平面ABCD的法向量，則等于（ ）A2B0C1D無(wú)意義【答案】C【解析】由題得，又為平面ABCD的法向量，則有，即，則，那么.故選：C5（2019四川省雙流中學(xué)高三月考）已知點(diǎn)是正方體的棱的中點(diǎn)，給出以下結(jié)論：；平面其中正確命題的序號(hào)是（ ）ABCD【答案】C【解析】設(shè)正方體邊長(zhǎng)為2,建立如圖空間直角坐標(biāo)系.則.對(duì), ,因?yàn)?故錯(cuò)誤.對(duì), ,因?yàn)?故錯(cuò)誤.對(duì), ,因?yàn)?故正確.對(duì),由有不成立,故平面不成立.故錯(cuò)誤.故選：C6（2019穆棱市第一中學(xué)高二期

3、末）如圖，在正方體ABCD中，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，E為B的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)，則下列向量中，能作為平面AEF的法向量的是( )A(1，2，4)B(4,1，2)C(2，2，1)D(1，2，2)【答案】B【解析】設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則A（2，0，0），E（2，2，1），F(xiàn)（1，0，2），=（0，2，1），=（1，0，2）設(shè)向量=（x，y，z）是平面AEF的一個(gè)法向量則，取y=1，得x=4，z=2=（4，1，2）是平面AEF的一個(gè)法向量因此可得：只有B選項(xiàng)的向量是平面AEF的法向量故選：B7（2019包頭市第四中學(xué)高二期中）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別為棱、的中點(diǎn)，為棱上的一點(diǎn)，且，設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)

4、，則點(diǎn)到平面的距離為（ ）ABCD【答案】D【解析】以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則M（2，2），D1（0，0，2），E（2，0，1），F(xiàn)（2，2，1），（2，0，1），（0，2，0），（0，1），設(shè)平面D1EF的法向量（x，y，z），則 ，取x1，得（1，0，2），點(diǎn)M到平面D1EF的距離為：d，N為EM中點(diǎn)，所以N到該面的距離為 ，選D8（2020湖南省高二期末）已知直三棱柱中，底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都相等，則異面直線與所成的角的余弦值為（ ）ABCD【答案】C【解析】立空間坐標(biāo)系如圖，設(shè)邊長(zhǎng)為2，得到A（2，0，0），（1，2），B（1，0），（0，0，

5、2）向量 設(shè)異面直線夾角為，則故答案為C9（2018山西省山西大附中高二期中）過(guò)正方形的頂點(diǎn)，作平面，若，則平面和平面所成的銳二面角的大小是ABCD【答案】B【解析】法一：建立如圖(1)所示的空間直角坐標(biāo)系，不難求出平面APB與平面PCD的法向量分別為n1(0,1,0)，n2(0,1,1)，故平面ABP與平面CDP所成二面角的余弦值為，故所求的二面角的大小是45.法二：將其補(bǔ)成正方體如圖(2)，不難發(fā)現(xiàn)平面ABP和平面CDP所成的二面角就是平面ABQP和平面CDPQ所成的二面角，其大小為45.10（2020山東省章丘四中高二月考）在正方形中，棱，的中點(diǎn)分別為，則直線EF與平面所成角的余弦值為（

6、 ）ABCD【答案】D【解析】以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則， ， ，平面的法向量， 設(shè)直線與平面所成角為，則所以直線與平面所成角的余弦值為故選：二、多選題11（2020山東省高二期末）已知為直線l的方向向量，,分別為平面，的法向量（，不重合），那么下列選項(xiàng)中，正確的是（ ）ABCD【答案】AB【解析】A選項(xiàng)，平面，不重合，所以平面，的法向量平行等價(jià)于平面，平行，正確；B選項(xiàng)，平面，不重合，所以平面，的法向量垂直等價(jià)于平面，垂直，正確；C選項(xiàng)，直線的方向向量平行于平面的法向量等價(jià)于直線垂直于平面，錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，直線的方向向量垂直于平面的法向量等價(jià)于直線平

7、行于平面或直線在平面內(nèi)，錯(cuò)誤.故選：AB12（2019山東省高三）正方體的棱長(zhǎng)為1，分別為的中點(diǎn)則（ ）A直線與直線垂直B直線與平面平行C平面截正方體所得的截面面積為D點(diǎn)和點(diǎn)到平面的距離相等【答案】BC【解析】對(duì)選項(xiàng)A：（方法一）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在的直線分別為、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則、.從而，從而，所以與直線不垂直，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；（方法二）取的中點(diǎn)，連接，則為直線在平面內(nèi)的射影，與不垂直，從而與也不垂直，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；取的中點(diǎn)為，連接、，則，易證，從而，選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，連接，易知四邊形為平面截正方體所得的截面四邊形（如圖所示），且，所以，而，從而選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：（方法一）由

8、于，而，而，所以，即，點(diǎn)到平面的距離為點(diǎn)到平面的距離的二倍.從而D錯(cuò)誤.（方法二）假設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等，即平面將平分，則平面必過(guò)的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，易知不是的中點(diǎn)，故假設(shè)不成立，從而選項(xiàng)D錯(cuò)誤.13（2020福建省高二期末）正方體中，E、F、G、H分別為、BC、CD、BB、的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）AB平面平面C面AEFD二面角的大小為【答案】BC【解析】由題可知，在底面上的射影為，而不垂直，則不垂直于，則選項(xiàng)不正確；連接和，E、F、G、H分別為、BC、CD、BB、的中點(diǎn)，可知，所以平面，則平面平面，所以選項(xiàng)正確；由題知，可設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，則各點(diǎn)坐標(biāo)

9、如下：，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，得平面的法向量為，所以，所以平面，則選項(xiàng)正確；由圖可知，平面，所以是平面的法向量，則.得知二面角的大小不是，所以不正確.故選：BC. 三、填空題14（2019山東省濟(jì)南一中高二期中）若平面的一個(gè)法向量為，直線l的一個(gè)方向向量為，則l與所成角的正弦值為_(kāi).【答案】【解析】由題，設(shè)l與所成角為，可得.故答案為：15（2019陜西省西北大學(xué)附中高二期中）如圖，在正三棱柱中， 分別是 的中點(diǎn).設(shè)是線段上的（包括兩個(gè)端點(diǎn)）動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與所成角的余弦值為，則線段的長(zhǎng)為_(kāi)【答案】 【解析】以E為原點(diǎn)，EA,EC為x,y軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖解得t=1，所以，填

10、點(diǎn)睛：利用空間向量求解空間角與距離的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.16（2019浙江省寧波市鄞州中學(xué)高二期中）正方體中，分別是的中點(diǎn)，則與直線所成角的大小為_(kāi) ；與對(duì)角面所成角的正弦值是 _【答案】 【解析】如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為，則，故，.故，故與直線所成角的大小為.易知對(duì)角面的一個(gè)法向量為，設(shè)與對(duì)角面所成角為，故.故答案為：；.17（2019江西省會(huì)昌中學(xué)高二月考）已知正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為棱AB，的中點(diǎn)，下列結(jié)論

11、中，正確結(jié)論的序號(hào)是_.過(guò)E，F(xiàn)，G三點(diǎn)作正方體的截面，所得截面為正六邊形；平面EFG；平面；異面直線EF與所成角的正切值為；四面體的體積等于.【答案】【解析】延長(zhǎng)EF分別與，的延長(zhǎng)線交于N，Q，連接GN交于H，設(shè)HG與的延長(zhǎng)線交于P，連接PQ交于，交BC于M，連FH，HG，GI，IM，ME,如圖:則截面六邊形EFHGIM為正六邊形，故正確：因?yàn)榕cHG相交，故與平面EFG相交，所以不正確：(三垂線定理)，(三垂線定理)，且AC與相交，所以平面，故正確；以為原點(diǎn),分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,則,所以,所以,所以,所以異面直線EF與的夾角的正切值為，故正確；因?yàn)樗拿骟w的體積等于正方體的體積減去

12、四個(gè)正三棱錐的體積，即為，故不正確故答案為：四、解答題18（2019廣西壯族自治區(qū)田東中學(xué)高二期中）已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，分別是，的中點(diǎn)（1）求證：；（2）求證：平面.【答案】(1)證明見(jiàn)解析 (2) 證明見(jiàn)解析【解析】三棱柱為直三棱柱 平面 ，又，則兩兩互相垂直，可建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系則，（1）， （2）由題意知：是平面的一個(gè)法向量， 平面 平面19（2020陜西省高二期末）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中E，F(xiàn)分別為AB，的中點(diǎn).（1）求；（2）求證：平面【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）由題知,（2）由題知,故,又平面,平面EF平面.20.（2020北京高二期末）如

13、圖，在直三棱柱中，點(diǎn)是的中點(diǎn)（1）求異面直線與所成的角；（2）求證：平面【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）因?yàn)?，所以，所以是直角三角形，所以，所以因?yàn)槿庵鶠橹比庵云矫?，所以，以為原點(diǎn)，分別以、為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，0，4，0，所以直線的方向向量為，直線的方向向量為，設(shè)異面直線與所成的角為，因?yàn)?，所以，所以異面直線與所成的角為（2）由（1）可知，4，則，設(shè)平面的法向量為，則，所以令，則，所以直線的方向向量為，因?yàn)椋矫妫?所以平面21（2020銀川三沙源上游學(xué)校高二期末）如圖，在直三棱柱中，為棱的中點(diǎn).（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）求平面與平面所

14、成二面角的余弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】則，所以，如下圖：（1）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為；（2）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，所以，所以求平面與平面所成二面角的余弦值.22（2019江蘇省蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一月考）直四棱柱中，E、F分別為棱AB、上的點(diǎn)，.求證：（1）平面；（2）線段AC上是否存在一點(diǎn)G，使面面.若存在，求出AG的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）存在，【解析】（1）如圖所示：以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系：則，設(shè)，則，所以，因?yàn)?，所以，共面，又不在平面?nèi)，所以平面（2）線段AC上存在一點(diǎn)G，使面面，且，證明如下：在三角形中，由余弦定理得，所以，即，又平面，平面，所以，而，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以?23（2020北京高二期末）如圖，在底面是正方形的四棱錐中，