復變函數(shù)教案第四章

1、章節(jié)名稱 ：第四章學時支配 ：6 學時教學要求 ：使同學把握復數(shù)列、復變函數(shù)項級數(shù)、冪級數(shù)等概念,以及復數(shù)列和冪級數(shù)的收斂和發(fā)散的判定方法；教學內(nèi)容 ：復數(shù)列、復變函數(shù)項級數(shù)、冪級數(shù)等概念,以及復數(shù)列和冪級數(shù)的收斂和發(fā)散的判定教學重點 ：冪級數(shù)的爭論教學難點 ：冪級數(shù)收斂圓教學手段 ：課堂講授教學過程 ：第四章 級數(shù)1、復數(shù)項級數(shù)1,復數(shù)列的極限 ：1）定義：設 n n 2,1 , 為一復數(shù)列, 其中 n a n ib n,又設 a ib 為一確定的復數(shù)；假如任意給定 0 ,相應地能找到一個正數(shù) N ,使 n在 n N 時成立,那么 稱為復數(shù)列 n n ,2,1 在 n 時的極限；記作nlim

2、 n；也稱復數(shù)列 n n ,1 ,2 收斂于 a ib；2）定理 1：復數(shù)列 n n 2,1 , 收斂于 a ib 的充要條件是nlim a n a,nlim bn b2,級數(shù)的概念 ：1）設na nibnn,1 2 ,為一復數(shù)列,表達式稱為無窮級數(shù),其最前面n12nn1n 項的和ns12n稱為級數(shù)的部分和；2）假如部分和數(shù)列s n收斂,那么級數(shù)n稱為收斂；并且極限nlimsns稱為級數(shù)的和；假如數(shù)列n1n稱為發(fā)散；s n不收斂,那么級數(shù)n1名師歸納總結(jié)大肚能容,容學習困難之事,學習有成第 1 頁,共 8 頁3）定理 2：級數(shù) n收斂的充要條件是級數(shù) a n 和級數(shù) b 都收斂；n 1 n 1

3、 n 1留意：定理 2 將復數(shù)項級數(shù)的收斂問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)項級數(shù)的收斂問題,而由實數(shù)項級數(shù) a n 和 b 收斂的必要條件n 1 n 1lim n a n 0,lim n b n 0可得 lim n 0,從而推出復數(shù)項級數(shù) n收斂的必要條件是 lim n 0n nn 14）定理 3：假如 n收斂,那么 n也收斂,且不等式 n n成立；n 1 n 1 n 1 n 1留意：a）假如n1n收斂,那么稱n1n為肯定收斂； 非肯定收斂的收斂級數(shù)為條件收斂；b）n1n肯定收斂的充要條件是級數(shù)n1a 和級數(shù)n1b 都肯定收斂5）正項級數(shù)的判別法舉例（由于 性可用正項級數(shù)判別法） ：n 1例 1,以下數(shù)列是否收

4、斂？假如收斂,求出其極限；1）n11i en；2）nncos inn例 2,以下級數(shù)是否收斂？是否肯定收斂？1）n111i；2）n0 8 in；3）n11n1i（練習）nnn .n2n2、冪級數(shù) 1,冪級數(shù)概念：1）復變函數(shù)項級數(shù) ：設f nz n,1,2為一復變函數(shù)序列,其中各項在區(qū)域D 內(nèi)有定義,表達式n1fnzf1z f2zfnz 稱為 復變函數(shù)項級數(shù) ,其最前面 n 項的和名師歸納總結(jié)大肚能容,容學習困難之事,學習有成第 2 頁,共 8 頁s nz f1z f2z fnz 稱為級數(shù)的部分和；2）假如對于 D 內(nèi)的某一點 0z ,極限lim n sn z 0 s z 0 存在,那么我們稱

5、復變函數(shù)項級數(shù) f n z f 1 z f 2 z f n z 在 0z 收n 1斂；而 s 0z 稱為它的和；假如級數(shù)在 D 內(nèi)到處收斂,那么它的和肯定是 z 的一個函數(shù) s z ：s z f 1 z f 2 z f n z s z 稱為級數(shù) f n z f 1 z f 2 z f n z 的和函數(shù)；n 13）冪級數(shù)： 當 f n z c n 1 z a n 1 或者 f n z c n 1 z n 1 時,就得到函數(shù)項級數(shù)的特別情形：n0cnzanc0c 1zac2za2cnzan或n0cnznc 0c1zc2z2c nzn這種級數(shù)稱為冪級數(shù)；4）阿貝爾定理 （收斂定理）：假如級數(shù)cnzn

6、c0c 1zc2z2cnzn在n0z0z0 收斂,那么對滿意zz 0的 z ,級數(shù)級數(shù)必肯定收斂；假如在z0z0 發(fā)散,那么對滿意z0z的 z ,級數(shù)必發(fā)散；2,收斂圓與收斂半徑利用阿貝爾定理,可以得到一個冪級數(shù)的收斂情形：1）假如一個冪級數(shù)對全部的正實數(shù)是收斂的,就級數(shù)在復平面內(nèi)到處肯定收斂；2）假如一個冪級數(shù)對全部的正實數(shù)除 z 0 外都是發(fā)散的,就級數(shù)在復平面內(nèi)除原點外到處發(fā)散；3）既存在使級數(shù)收斂的正實數(shù), 也存在使級數(shù)發(fā)散的正實數(shù), 設 z（正實數(shù)）時,級數(shù)收斂； z（正實數(shù)）時,級數(shù)發(fā)散,名師歸納總結(jié)大肚能容,容學習困難之事,學習有成第 3 頁,共 8 頁那么在以原點為中心,為半徑

7、的圓周內(nèi),級數(shù)肯定收斂；在以原點為中心,為半徑的圓周外,級數(shù)發(fā)散；4）收斂圓與收斂半徑 例,求冪級數(shù)n0zn1zz2zn的收斂范疇與和函數(shù) 3,收斂半徑的求法1）定理 2（比值法）假如lim ncn1c 1z0,那么級數(shù)znc ncnznc0c2z2cnn0limn ncnc 1z0,那么級數(shù)zn的收斂半徑為R1；2）定理 3（根值法）假如cc2z2cnnznc0n0的收斂半徑為R1；3）應用舉例 例,求以下冪級數(shù)的收斂半徑：n1zn（并爭論在收斂圓上的情形） ；n3n1z1n（并爭論在z0 ,2時的情形）；n練習：求以下冪級數(shù)的收斂半徑：n0cosinzn.4,冪級數(shù)的運算和性質(zhì) 1）綻開成

8、冪級數(shù)：例,把函數(shù)z1b表成形如n0cnzan的冪級數(shù),其中a, 是不相等的復常數(shù)；2）復變冪級數(shù)的性質(zhì)：名師歸納總結(jié)大肚能容,容學習困難之事,學習有成第 4 頁,共 8 頁復變冪級數(shù)也象實變冪級數(shù)一樣,在其收斂圓內(nèi)具有以下性質(zhì)：定理 4：設冪級數(shù)cnzan的收斂半徑為 R ,那么aR內(nèi)的解析函數(shù)；n01）它的和函數(shù)fz,即f z =c nzan是收斂圓：zn0R2）f z在收斂圓內(nèi)的導數(shù)可將其冪級數(shù)逐項求導得到,即f z =ncnzan1n13）f z在收斂圓內(nèi)可以逐項積分,即fz dz=cnza ndz,CzaCn0C或zfd=n0cn1zan1an3、泰勒級數(shù)1,泰勒綻開定理：設 f z

9、 在區(qū)域 D 內(nèi)解析,z 為 D 內(nèi)一點, d 為 z 到 D 的邊界上各點的最短距離,那么當 z z 0 d 時,nf z = c n z z 0 n 0成立,其中 c n 1 f n z 0 , n 0 , ,1 2 , .n .留意： 1）泰勒綻開式 f z = c n z z 0 n 的右邊即 f z 得泰勒級數(shù)；n 02）泰勒級數(shù)收斂半徑為 z 到 f z 的最近奇點的距離；3）任何解析函數(shù)綻開成冪級數(shù)的結(jié)果就是泰勒級數(shù),而且是唯獨的；2,應用舉例：例 1,把 e z, sin z , cos z 綻開成 z 的冪級數(shù)；例 2,把函數(shù) 12 綻開成 z的冪級數(shù)； 1 z 例 3,求對

10、數(shù)函數(shù)的主值 ln 1 z 在 z 0 處的泰勒綻開式；名師歸納總結(jié)大肚能容,容學習困難之事,學習有成第 5 頁,共 8 頁練習題： P.143,12 題（ 1,3,4,5,6）4、洛朗級數(shù)1,一類特別級數(shù)：其中z 0,c n nc1nzcnzz 0ncnzz 0n+ z 0nz 01c 0c 1zz 0+c nz0 ,1,2都是常數(shù)；1）正冪項部分c n z z 0 n 是一個通常的冪級數(shù),它的收斂范疇是一個圓域,設它的收斂半n 0徑為 R ,那么當 z z 0 R 2 時,級數(shù)收斂；當 z z 0 R 2 時,級數(shù)發(fā)散；2）負冪項部分對cnzz 0n,令zz 01,就cnzz0ncnn,設

11、它的收n1n1n1斂半徑為 R ,那么當R時,級數(shù)收斂；當R 時,級數(shù)發(fā)散；令1R 1,R就當zz 0R 1時,級數(shù)收斂；當zz 0R 1時,級數(shù)發(fā)散；3）級數(shù)cnzz0ncnzz 0n+c1zz 01c 0c 1zz 0n+ c n z z 0 n 當正冪項部分和負冪項部分同時收斂時為收斂；否就為發(fā)散；明顯,當 R 1 R 2 時,R 1 z z 0 R 2 為正冪項部分和負冪項部分的公共收斂區(qū)域,此時,圓環(huán)域 R 1 z z 0 R 2 為上述級數(shù)的收斂域；當 R 1 R 2 時,沒有公共收斂區(qū)域,級數(shù)發(fā)散；4）冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)所具有的很多性質(zhì),級數(shù)ncncnzz0ncnzz 0n+c1z

12、z 01c 0c 1zz 0+zz 0n在收斂圓環(huán)域內(nèi)也具有；例如,級數(shù)在收斂圓環(huán)域內(nèi)其和函數(shù)是解析的,而且可以逐項求導和逐項求積分；2,定理：設f z在圓環(huán)域R 1zz 0R 2內(nèi)到處解析,那么名師歸納總結(jié)大肚能容,容學習困難之事,學習有成第 6 頁,共 8 頁f z=cnzz0nfcn1iCfn1d,n0,12,.n成立,其中2z0留意： 1）洛朗綻開式 z=cnzz0n的右邊即洛朗級數(shù)；n2）任何解析函數(shù)在收斂圓環(huán)域內(nèi)綻開成級數(shù)的結(jié)果就是洛朗級數(shù),而且 是唯獨的；3,應用舉例：例 1,函數(shù)fzz1z2在圓環(huán)域：1 1）0z12）1z23）2z內(nèi)是到處解析的,試把它在這些區(qū)域內(nèi)綻開成洛朗級

13、數(shù)；1例 2,把函數(shù)fz z3ez在1z內(nèi)綻開成洛朗級數(shù)；4,利用洛朗級數(shù)綻開式運算相關(guān)積分；公式：fz dz2ic1C例 3,求以下各積分的值1）z3zz1z4dz1 12）z2zezdz1z練習題： P.144,16 題（ 5）教學小結(jié)：1,復數(shù)列和復數(shù)項級數(shù)的收斂定義與實數(shù)域內(nèi)數(shù)列和級數(shù)的收斂定義完全一樣；2,函數(shù)項級數(shù) 3,泰勒綻開定理：設f z在區(qū)域 D 內(nèi)解析,z 為 D 內(nèi)一點, d 為z 到 D 的邊界上各點的最短距離,那么當zz 0d時,名師歸納總結(jié)大肚能容,容學習困難之事,學習有成第 7 頁,共 8 頁f z=cnzz 0ncnzcn1fnz 0,n0, ,12,.n0成立,其中n .留意： 1）f z =0z 0n右邊即f z 得泰勒級數(shù)；n2）任何解析函數(shù)綻開成冪級數(shù)的結(jié)果就是泰勒級數(shù),而且是唯獨的；4,設f z在圓環(huán)域R 1zz 0R 2內(nèi)到處解析,那么f z=cnzz0nn成立,其