層次分析法建模課件

1、層次分析析法建模模課件層次分析析法（AAHPAnaalyttic Hiieraachyy pproccesss）- 多目標標決策方方法70 年年代由美美國運籌籌學家TTLSattty提提出的，是一種種定性與與定量分分析相結結合的多多目標決決策分析析方法論論。吸收收利用行行為科學學的特點點，是將將決策者者的經驗驗判斷給給予量化化，對目目標（因因素）結結構復雜雜而且缺缺乏必要要的數(shù)據(jù)據(jù)情況下下，採用用此方法法較為實實用，是是一種系系統(tǒng)科學學中，常常用的一一種系統(tǒng)統(tǒng)分析方方法，因因而成為為系統(tǒng)分分析的數(shù)數(shù)學工具具之一。傳統(tǒng)的常常用的研研究自然然科學和和社會科科學的方方法有：機理分析析方法：利用經經典

2、的數(shù)數(shù)學工具具分析觀觀察的因因果關系系；統(tǒng)計分析析方法：利用大大量觀測測數(shù)據(jù)尋尋求統(tǒng)計計規(guī)律，用隨機機數(shù)學方方法描述述（自然然現(xiàn)象、社會現(xiàn)現(xiàn)象）現(xiàn)現(xiàn)象的規(guī)規(guī)律?；緝热萑荩海?1）多目目標決策策問題舉舉例AHHP建模模方法（2）AAHP建建模方法法基本步步驟（3）AAHP建建模方法法基本算算法（3）AAHP建建模方法法理論算算法應用用的若干干問題。參考書： 1、姜啟源源，數(shù)學學模型（第二版版，第99章；第第三版，第8章章），高高等教育育出版社社2、程理理民等， 運籌籌學模型型與方法法教程，（第110章），清華華大學出出版社3、運運籌學編寫組組，運籌籌學（修修訂版），第111章，第7節(jié)節(jié)，清華華

3、大學出出版社一、問題題舉例：A大學學畢業(yè)生生就業(yè)選選擇問題題獲得大學學畢業(yè)學學位的畢畢業(yè)生，“雙向選選擇”時，用用人單位位與畢業(yè)業(yè)生都有有各自的的選擇標標準和要要求。就就畢業(yè)生生來說選選擇單位位的標準準和要求求是多方方面的，例如：能發(fā)揮自自己的才才干為國國家作出出較好貢貢獻（即即工作崗崗位適合合發(fā)揮專專長）；工作收入入較好（待遇好好）；生活環(huán)境境好（大大城市、氣候等等工作條條件等）；單位名聲聲好（聲聲譽-RRepuutattionn）；工作環(huán)境境好（人人際關系系和諧等等）發(fā)展晉升升（prromoote, prromootioon）機機會多（如新單單位或單單位發(fā)展展有后勁勁）等。問題：現(xiàn)現(xiàn)在有多

4、多個用人人單位可可供他選選擇，因因此，他他面臨多多種選擇擇和決策策，問題題是他將將如何作作出決策策和選擇擇？或者說說他將用用什么方方法將可可供選擇擇的工作作單位排排序？工作選擇生活環(huán)境工作環(huán)境聲譽收入發(fā)展貢獻可供選擇的單位P1 P2 - Pn .假期期旅游地地點選擇擇暑假有33個旅游游勝地可可供選擇擇。例如如：蘇蘇州杭州州，北戴戴河，桂林林，到底底到哪個個地方去去旅游最最好？要要作出決決策和選選擇。為為此，要要把三個個旅游地地的特點點，例如如：景色；費用；居??；環(huán)境；旅途條條件等作作一些比比較建立一一個決策策的準則則，最后后綜合評評判確定定出一個個可選擇擇的最優(yōu)優(yōu)方案。選擇旅游地目標層居住旅途

5、景色費用飲食準則層P1P2P3方案層C資源源開發(fā)的的綜合判判斷7種金屬屬可供開開發(fā)，開開發(fā)后對對國家貢貢獻可以以通過兩兩兩比較較得到，決定對對哪種資資源先開開發(fā)，效效用最用用。對經濟發(fā)展、貢獻U經濟價值戰(zhàn)略重要性交通條件要求量風險費開採費金Go鋁Al鈿Ur磷酸鹽鐵In銅Co二、問題題分析：例如旅游游地選擇擇問題：一般說說來，此此決策問問題可按按如下步步驟進行行：（S1）將決策策解分解解為三個個層次，即：目標層：（選擇擇旅游地地）準則層：（景色色、費用用、居住住、飲食食、旅途途等5個個準則）方案層：（有，三個選選擇地點點）并用直線線連接各各層次。（S2）互相比比較各準準則對目目標的權權重，各各方

6、案對對每一個個準則的的權重。這些權權限重在在人的思思維過程程中常是是定性的的。例如：經經濟好，身體好好的人：會將景景色好作作為第一一選擇；中老年人人：會將將居住、飲食好好作為第第一選擇擇；經濟不好好的人：會把費費用低作作為第一一選擇。而層次分分析方法法則應給給出確定定權重的的定量分分析方法法。（S3）將方案案后對準準則層的的權重，及準則則后對目目標層的的權重進進行綜合合。（S4）最終得得出方案案層對目目標層的的權重，從而作作出決策策。以上步驟驟和方法法即是AAHP的的決策分分析方法法。三、確定定各層次次互相比比較的方方法成對比比較矩陣陣和權向向量在確定各各層次各各因素之之間的權權重時，如果只只

7、是定性性的結果果，則常常常不容容易被別別人接受受，因而而Sannty等等人提出出：一致致矩陣法法即：1. 不把把所有因因素放在在一起比比較，而而是兩兩兩相互比比較2. 對對此時採採用相對對尺度，以盡可可能減少少性質不不同的諸諸因素相相互比較較的困難難，提高高準確度度。因素比較較方法成對對比較矩矩陣法：目的是，要比較較某一層層個因素素對上一一層因素素O的影影響（例例如：旅旅游決策策解中，比較景景色等55個準則則在選擇擇旅游地地這個目目標中的的重要性性）。採用的方方法是：每次取取兩個因因素和比較其其對目標標因素OO的影響響，并用用表示，全部比比較的結結果用成成對比較較矩陣表表示，即即： （1）由于

8、上述述成對比比較矩陣陣有特點點： 故可稱為為正互反反矩陣：顯然，由 ，即：，故有有：例如：在在旅游決決策問題題中：= 表示示：故：= 表示：即：景色色為4，居住為為1。= 表示：即：費用用重要性性為7，居住重重要性為為1。因此有成成對比較較矩陣：？問題題：稍加加分析就就發(fā)現(xiàn)上上述成對對比較矩矩陣的問問題：即存在有有各元素素的不一一致性，例如：既然：所以應該該有：而不應為為矩陣中中的成對比比較矩陣陣比較的的次數(shù)要要求太，因因：個元元素比較較次數(shù)為為：次，因此，問問題是：如何改改造成對對比較矩矩陣，使使由其能能確定諸諸因素對對上層因因素O的的權重？對此Saaotyy提出了了：在成成對比較較出現(xiàn)不不

9、一致情情況下，計算各各因素對對因素（上層因因素）OO的權重重方法，并確定定了這種種不一致致的容許許誤差范范圍。為此，先先看成對對比較矩矩陣的完完全一致致性成對比比較完全全一致性性四：一致致性矩陣陣Def：設有正正互反成成對比較較矩陣： (4)除滿足：（i）正互互反性：即而且還滿滿足：（ii）一致性性：即則稱滿足足上述條條件的正正互反對對稱矩陣陣A為一一致性矩矩陣，簡簡稱一致致陣。一致性矩矩陣（一一致陣）性質：性質1：的秩Rannk(AA)=11有唯一的的非0的的最大特特征根為為n性質2：的任一一列（行行）向量量都是對對應特征征根的特特征向量量：即有(特特征向量量、特征征值)：，則向量量滿足：即

10、：啟發(fā)與思思考：既既然一致致矩陣有有以上性性質，即即n個元素素W1,W2, W3 , Wn 構成成的向量量是一致矩矩陣的特特征向量量，則對對一致矩矩陣來說說，可以以把一致致矩陣的的特征向向量求出出之后，再把一一致矩陣陣的特征征向量歸歸一化后后得到的的向量，看成是是諸元素素W1, WW2, W3 , Wn目標O的的權向量量。因此此，可以以用求一一致矩陣陣的特征征根和特特征向量量的辦法法，求出出元素WW1, WW2, W3 , Wn相對于于目標OO的權向量。解釋：一一致矩陣陣即：件件物體，它們重重量分別別為，將將他們兩比較重重量，其其比值構構成一致致矩陣，若用重重量向量量右乘，則則：分析：若重量向

11、向量未知知時，則則可由決決策者對對物體之之間兩兩兩相比關關系，主主觀作出出比值的的判斷，或用DDelpphi（調查法法）來確確定這些些比值，使矩陣陣（不一一定有一一致性）為已知知的，并并記此主主觀判斷斷作出的的矩陣為為（主觀觀）判斷斷矩陣，并且此此（不一一致）在在不一致致的容許許范圍內內，再依依據(jù)：的的特征根根或和特特征向量量連續(xù)地地依賴于于矩陣的的元素，即當離離一致性性的要求求不太遠遠時，的的特征根根和特征征值（向向量）與與一致矩矩陣的特特征根和和特征向向量也相相差不大大的道理理：由特特征向量量求權向向量的方方法即為為特征向向量法，并由此此引出一一致性檢檢查的方方法。問題：RRemaark以

12、上討論論的用求求特征根根來求權權向量的的方法和和思路，在理論論上應解解決以下下問題：一致陣的的性質11是說：一致陣陣的最大大特征根根為（即即必要條條件），但用特特征根來來求特征征向量時時，應回回答充分分條件：即正互互反矩陣陣是否存存在正的的最大特特征根和和正的特特征向量量？且如如果正互互反矩陣陣的最大大特征根根時，是否否為一致致陣？用主觀判判斷矩陣陣的特征征根和特特征向量量連續(xù)逼逼近一致致陣的特特征根和和特征向向量時，即： 由得到：即：是否在理理論上有有依據(jù)。3一般般情況下下，主觀觀判斷矩矩陣在逼逼近于一一致陣的的過程中中，用與與接近的的來代替替，即有有，這種種近似的的替代一一致性矩矩陣的作作

13、法，就就導致了了產生的的偏差估估計問題題，即一一致性檢檢驗問題題，即要要確定一一種一致致性檢驗驗判斷指指標，由由此指標標來確定定在什么么樣的允允許范圍圍內，主主觀判斷斷矩陣是是可以接接受的，否則，要重新新兩兩比比較構造造主觀判判斷矩陣陣。此問問題即一一致性檢檢驗問題題的內容容。以上三個個問題：前兩個個問題由由數(shù)學嚴嚴格比較較可獲得得（見教教材P3325，定理11、定理理2）。第3個個問題：Sattty給給出一致致性指標標（Thh1,TTh2介介紹如下下：）附：Th1：（教材材P3226，pperrronTTh 比隆19770）對于正正矩陣（的所有有元素為為正數(shù)）（1）的的最大特特征根是是正單根

14、根；（2）對對應正特特征向量量（的所有有分量為為正數(shù)）（3）其中中：為半半徑向量量，是對對應的歸歸一化特特征向量量證明：（3）可可以通過過將化為為標準形形證明Th2：階正互互反陣AA的最大大特征根根；當時，是是一致陣陣五、一致致性檢驗驗一致致性指標標：1一致致性檢驗驗指標的的定義和和確定的定定義：當人們對對復雜事事件的各各因素，采用兩兩兩比較較時，所所得到的的主觀判判斷矩陣陣，一般般不可直直接保證證正互反反矩陣就就是一致致正互反反矩陣，因因而存在在誤差（及誤差差估計問問題）。這種誤誤差，必必然導致致特征值值和特征征向量之之間的誤誤差。此此時就導導致問題題與問題題之間的的差別。（上述述問題中中是

15、主觀觀判斷矩矩陣的特特征值，是帶有有偏差的的相對權權向量）。這是是由判斷斷矩陣不不一致性性所引起起的。因此，為為了避免免誤差太太大，就就要給出出衡量主主觀判斷斷矩陣的的一致性性的判別別準則。因為：當主觀觀判斷矩矩陣為一一致陣時時就有：為一致陣陣時有：此時存在在唯一的的非O特特征根（由一致致陣性質質1：RRarkk(4)=1，有唯一一非O最最大特征征根且）當主觀觀判斷矩矩陣不是是一致矩矩陣時，此時一一般有：（Th22）此時，應應有：即： 所以，可可以取其其平均值值作為檢檢驗主觀觀判斷矩矩陣的準準則，一一致性的的指標，即： 顯然：當時，有有：， 為完全全一致性性值越大，主觀判判斷矩陣陣的完全全一致

16、性性越差，即即：偏離離越遠(用特征征向量作作為權向向量引起起的誤差差越大)一般，認認為主觀觀判斷矩矩陣的一一致性可可以接受受，否則則應重新新進行兩兩兩比較較，構造造主觀判判斷矩陣陣。2隨機機一致性性檢驗指指標問題：實實際操作作時發(fā)現(xiàn)現(xiàn)：主觀觀判斷矩矩陣的維維數(shù)越大大，判斷斷的一致致性越差差，故應應放寬對對高維矩矩陣的一一致性要要求。于于是引入入修正值值來校正正一致性性檢驗指指標：即即定義的的修正值值表為：的維數(shù)1 22 33 4 5 6 7 88 990.000 0.000 0.58 00.966 1.112 1.24 11.322 1.441 1.45并定義新新的一致性性檢驗指指標為：隨機一

17、致致性檢驗驗指標的解解釋：為確定的的不一致致程度的的容許范范圍，需需要確定定衡量的的一致性性指示的的標準。于是SSattty又引引入所謂謂隨機一一致性指指標，其其定義和和計算過過程為：對固定的的，隨機機構造正正互反陣陣，其元元素從119和和1中中隨機取取值，且且滿足與與的互反反性，即即：，且且.然后再計計算的一一致性指指標，因因此是非非常不一一致的，此時，值相當當大.如此構造造相當多多的，再再用它們們的平均均值作為為隨機一一致性指指標。Sattty對于于不同的的111)，用用10005000個樣樣本計算算出上表表所列出出的隨機機一致性性指標作作為修正正值表。一致性檢檢驗指標標的定義義一致致性比

18、率率。由隨機性性檢驗指指標可知知：當時，這是因因為1, 2階階正互反反陣總是是一致陣陣。對于的成成對比較較陣，將將它的一一致性指指標與同同階（指指相同）的隨機機一致性性指標之之比稱為為一致性性比率簡稱稱一致性性指標，即有： 一致性性檢驗指指標的定定義一致性性比率定義： 當：時，認為主主觀判斷斷矩陣的的不一致致程度在在容許范范圍之內內，可用用其特征征向量作作為權向向量。否否則，對對主觀判判斷矩陣陣重新進進行成對對比較，構重新新的主觀觀判斷矩矩陣。注：上式式的選取取是帶有有一定主主觀信度度的。六、標度度比較較尺度解解：在構造正正互反矩矩陣時，當比較較兩個可可能是有有不同性性質的因因素和對于上上層因

19、素素O的影影響時，採用什什么樣的的相對刻刻度較好好，即的的元素的的值在（199）或（1）或更多多的數(shù)字字，Saattyy提出用用199尺度最最好，即即取值為為199或其互互反數(shù)11，心心理學家家也提出出：人們們區(qū)分信信息等級級的極限限解能力力為2?？煽梢妼﹄A階矩陣，只需作作出個判判斷值即即可標度定 義義135792，4，6，88，倒數(shù)1，因素與因因素相同同重要因素比因因素稍重重要因素比因因素較重重要因素比因因素非常常重要因素比因因素絕對對重要因素與因因素的重重要性的的比較值值介于上上述兩個個相鄰等等級之間間因素與因因素比較較得到判判斷值為為的互反反數(shù)，注：以上上比較的的標度SSattty曾用用

20、過多種種標度比比較層，得到的的結論認認為：119尺尺度不僅僅在較簡簡單的尺尺度中最最好，而而且比較較的結果果并不劣劣于較為為復雜的的尺度。Sattty曾曾用的比比較尺度度為：13, 115, 116，, 1111，以以及，其中中，其中中 等共277種比較較尺度，對放在在不同距距離處的的光源亮亮度進行行比較判判斷，并并構造出出成對比比較矩陣陣，計算算出權向向量。同同時把計計算出來來的這些些權向量量與按照照物理學學中光強強度定律律和其他他物理知知識得到到的實際際權向量量進行對對比。結結果也發(fā)發(fā)現(xiàn)19的比比較標度度不僅簡簡單，而而效果也也較好（至少不不比其他他更復雜雜的尺度度差）因而用119的的標度

21、來來構造成成對比較較矩陣的的元素較較合適。七、組合合權向量量的計算算層次次總排序序的權向向量的計計算層次分析析法的基基本思想想：計算出下下一層每每個元素素對上一一層每個個元素的的權向量量def：層次總總排序，計算同同一層次次所有元元素對最最高層相相對重要要性的排排序權值值。當然要先先：構造下下一層每每個元素素對上一一次每個個元素的的成對比比較矩陣陣計算出出成對比比較矩陣陣的特征征向量（和法，根法，冪法）由特征征向量求求出最大大特征根根（由和和法，根根法，冪冪法求得得）用最大大特征根根用方式式 及及對成對對比較矩矩陣進行行一致性性檢，并并通過。并把下層層每個元元素對上上層每個個元素的的權向量量按

22、列排排成以下下表格形形式：例例，假定定：上層層有個元素素，且且其層次次總排序序權向量量為，下下層有個元素素，則按按對 個元素素的單排排序權向向量的列列向量為為，即有有：層次層總是排排序權重重（權向向量、列列向量）計算出最最大特根根（方法法：和法法、根法法、冪法法）一致性檢檢驗一致性檢檢驗比率率檢驗否？注：若若下層元元素與上上層元素素無關系系時，取取總排序序權向量量各分量量的計算算公式：(3) 對層次次總排序序進行一一致性檢檢驗：從從高層到到低層逐逐層進行行，如果果如果層次次某些元元素對單單的排序序的一致致性指標標為，相相應的平平均隨機機一致性性指標為為，則層總總排序隨隨機一致致性比率率為：當時

23、，認認為層次次總排序序里有滿滿意的一一致性，否則應應重新調調整判斷斷矩陣的的元素取取值。八、層次次分析法法的基本本步驟：（S1）建立層層次結構構模型將有關因因素按照照屬性自自上而下下地分解解成若干干層次：同一層各各因素從從屬于上上一層因因素，或或對上層層因素有有影響，同時又又支配下下一層的的因素或或受到下下層因素素的影響響。最上層為為目標層層（一般般只有一一個因素素），最最下層為為方案層層或對象象層/決決策層，中間可可以有11個或幾幾個層次次，通常常為準則則層或指指標層。當準則層層元素過過多（例例如多于于9個）時，應應進一步步分解出出子準則則層。（S2）構造成成對比較較矩陣，以層次次結構模模型

24、的第第2層開開始，對對于從屬屬于（或或影響及及）上一一層每個個因素的的同一層層諸因素素，用成成對比較較法和119比比較尺度度構造成成對比較較矩陣，直到最最下層。（S3）計算（每個成成對比較較矩陣的的）權向向量并作作一致性性檢驗對每一個個成對比比較矩陣陣計算最最大特征征根及對對應的特特征向量量（和法法、根法法、冪法法等）利用一致致性指標標，隨機機一致性性指標和和一致性性比率作作一致性性檢驗若通過檢檢驗（即即，或）則則將上層層出權向向量歸一一化之后后作為（到）的權權向量（即單排排序權向向量）若不成立立，則需需重新構構造成對對比較矩矩陣（S4）計算組組合權向向量并作作組合一一致性檢檢驗即層層次總排排

25、序利用單層層權向量量的權值值構組合合權向量量表：并并計算出出特征根根，組合合特征向向量，一一致性上單 層層 重權 量 向下層 量量層次計算組合合權向量量其中最大特征征根和法、根根法、冪冪法一致性檢檢驗 ?一致性隨隨機檢驗驗對照表 ？一致性比比率若通過一一致性檢檢驗，則則可按照照組合權權向量的的表示結結果進行行決策（中中最大大者的最最優(yōu)），即：若未能通通過檢驗驗，則需需重新考考慮模型型或重新新構造那那些一致致性比率率，較大大的成對對比較矩矩陣九、特征征根的近近似求法法（實用用算法）層次分析析法的基基本思路路是計算算上層每每個元素素對下一一層次各各元素的的權向量量（即最最大特征征根對應的特特征向量

26、量），以以及組合合權向量量及一致致性檢驗驗問題。計算判斷斷矩陣最最大特征征根和對對應陣向向量，并并不需要要追求較較高的精精確度，這是因因為判斷斷矩陣本本身有相相當?shù)恼`誤差范圍圍。而且且優(yōu)先排排序的數(shù)數(shù)值也是是定性概概念的表表達，故故從應用用性來考考慮也希希望使用用較為簡簡單的近近似算法法。常用用的有以以下求特特征根的的近似求求法：“和法”、“根法”、“冪法”，具體體如下：1“和和法”求最大大特征根根和對應應特征向向量（近近似解）（S1）將矩陣陣的每一一列向量量的歸一一化得：（S2）對按行行求和得得：（S3）將歸一一化，即即有：，則有特特征向量量：（S4）計算與與特征向向量對應應的最大大特征根根

27、的近似似值：此方法：實際上上是將的的列向量量歸一化化后取平平均值作作為的特特征向量量。解釋：當當為一致致矩陣時時，它的的每一列列向量都都是特征征向量可以在的的不一致致性不嚴嚴重時，取的列列向量（歸一化化后）的的平均值值作為近近似特征征向量是是合理的的（有依依據(jù)的）。2“根根法”求最大大特征根根特征向向量近似似值：步驟與“和法”相同，只是在在（S22）時：對歸一一化后的的列向量量按行“求和”改為按按行“求積”再取次方方根，即即：。即有具體體步驟：(S1)將矩陣陣的每一一列向量量歸一化化得：（S2）對歸一一化以后后的列向向量各元元素： 按行“求求和”并開次方方根得：（S3）再將歸歸一化得得：得到特

28、征征向量近近似值：（S4）計算最最大特征征根：作為最最大特征征根的近近似值。注：“根根法”是將“和法”中求列列向量的的算術平平均值改改為求幾幾何平均均值。3“冪冪法”求最大大特征根根：（S1）任取維維歸一化化初始向向量（S2）計算（S3）歸一化化，即令令：（S4）對預先先給定的的，當時，即為所所求的特特征向量量；否則則返回（S2）（S5）計算最最大特征征根，以上用冪冪法求最最大特征征根對應應特征向向量的迭迭代方法法，其收收斂性由由TH11（教材材P3225）中中的3），其中中，是對應應的歸一一化向量量特征。（證明：可以將將化為標標準形證證明）保保證。任任意選取取，也可可以取由由“根法”、“和法

29、”得到的的注：在以以上求特特征根和和特向量量的方法法中“和法”最簡單單。例：在旅旅游問題題中，求求目標層層到準則則層的成成對比較較矩陣為為的特征征向量和和最大特特征根：選擇旅游地居住旅途景色費用飲食準則層：P1P2P3方案層：利用“和和法”求的特征向向量和特特征根（S1）將的元元素按列列歸一化化得：（S2）將中元元素按行行求和得得各行元元素之和和：（S3）再將上上述矩陣陣向量歸歸一化得得到特征征向量近近似值， 特征征向量其中 （S4）計算與與特征向向量相對對應最大大特征根根（的近近似值）故有最大大特征根根對一致性性檢驗指指標：故通過檢檢驗。十、應用用實例對前面旅旅游問題題進行決決策選擇旅游地點 目標層層： 00.2662 00.4774 0.0999 0.1102 00.0555旅途B5飲食B4居住B3費用B2景色B1準則層： 00.5995 0.1129 0.1299 00.2777P1P2P3決策層：已知：目標對準準則的權權重向量量為：（由前面面已算出