中考數(shù)學(xué)圓的綜合(大題培優(yōu) 易錯(cuò) 難題)含詳細(xì)答案

1、本文格式為Word版，下載可任意編輯 中考數(shù)學(xué)圓的綜合(大題培優(yōu) 易錯(cuò) 難題)含詳細(xì)答案 一、圓的綜合 真題與模擬題分類匯編（難題易錯(cuò)題） 1如圖，在銳角ABC 中，AC 是最短邊以AC 為直徑的O ，交BC 于D ，過O 作OE BC ，交OD 于E ，連接AD 、AE 、CE （1）求證：ACE=DCE ； （2）若B=45，BAE=15，求EAO 的度數(shù)； （3）若AC=4， 23 CDF COE S S ?=，求CF 的長 【答案】（1）證明見解析，（2）60；（343 【解析】 【分析】 （1）易證OEC =OCE ，OEC =ECD ，從而可知OCE =ECD ，即ACE =DCE

2、 ； （2）延長AE 交BC 于點(diǎn)G ，易證AGC =B +BAG =60，由于OE BC ，所以AEO =AGC =60，所以EAO =AEO =60； （3）易證12COE CAE S S =，由于23CDF COE S S =，所以CDF CAE S S =13 ，由圓周角定理可知AEC =FDC =90，從而可證明CDF CEA ，利用三角形相像的性質(zhì)即可求出答案 【詳解】 （1）OC =OE ，OEC =OCE OE BC ，OEC =ECD ，OCE =ECD ，即ACE =DCE ； （2）延長AE 交BC 于點(diǎn)G AGC 是ABG 的外角，AGC =B +BAG =60 OE

3、BC ，AEO =AGC =60 OA =OE ，EAO =AEO =60 （3）O 是AC 中點(diǎn)，12 COE CAE S S = 23CDF COE S S =，CDF CAE S S =13 AC 是直徑，AEC =FDC =90 ACE =FCD ，CDF CEA ，CF CA =33，CF =33CA =33 【點(diǎn)睛】 此題考察了圓的綜合問題，涉及平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)，圓周角定理，相像三角形的判定與性質(zhì)等知識，需要學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識 2如圖，已知ABC中，AB=AC，A=30，AB=16，以AB為直徑的O與BC邊相交于點(diǎn)D，與AC交于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作DE

4、AC于點(diǎn)E （1）求證：DE是O的切線； （2）求CE的長； （3）過點(diǎn)B作BGDF，交O于點(diǎn)G，求弧BG的長 【答案】（1）證明見解析（2）33）4 【解析】 【分析】 （1）如圖1，連接AD，OD，由AB為O的直徑，可得ADBC，再根據(jù)AB=AC，可得BD=DC，再根據(jù)OA=OB，則可得ODAC，繼而可得DEOD，問題得證； （2）如圖2，連接BF，根據(jù)已知可推導(dǎo)得出DE=1 2 BF，CE=EF，根據(jù)A=30，AB=16，可 得BF=8，繼而得DE=4，由DE為O的切線，可得ED2=EF?AE，即42=CE?（16CE），繼而可求得CE長； （3）如圖3，連接OG，連接AD，由BGDF，

5、可得CBG=CDF=30，再根據(jù)AB=AC，可推導(dǎo)得出OBG=45，由OG=OB，可得OGB=45，從而可得BOG=90，根據(jù)弧長公式即可求得BG的長度. 【詳解】 （1）如圖1，連接AD，OD； AB為O的直徑， ADB=90，即ADBC， AB=AC， BD=DC， OA=OB， OD AC ， DE AC ， DE OD ， ODE=DEA=90， DE 為O 的切線； （2）如圖2，連接BF ， AB 為O 的直徑， AFB=90， BF DE ， CD=BD ， DE=12BF ，CE=EF ， A=30，AB=16， BF=8， DE=4， DE 為O 的切線， ED 2=EF?A

6、E ， 42=CE?（16CE ）， CE=843，CE=8+43（不合題意舍去）； （3）如圖3，連接OG ，連接AD ， BG DF ， CBG=CDF=30， AB=AC ， ABC=C=75， OBG=7530=45， OG=OB ， OGB=OBG=45， BOG=90， BG 的長度=908180 ?=4 【點(diǎn)睛】 此題考察了圓的綜合題，涉及了切線的判定、三角形中位線定理、圓周角定理、弧長公式等，正確添加輔助線、熟練把握相關(guān)的性質(zhì)與定理是解題的關(guān)鍵. 3如圖，在O 中，直徑AB 弦CD 于點(diǎn)E ，連接AC ，BC ，點(diǎn)F 是BA 延長線上的一點(diǎn)，且FCA B . (1)求證：CF

7、是O 的切線； (2)若AE 4，tan ACD 12 ，求AB 和FC 的長 【答案】(1)見解析;(2) AB=20 ， 403 CF = 【解析】 分析：（1）連接OC ，根據(jù)圓周角定理證明OC CF 即可； （2）通過正切值和圓周角定理，以及FCA B 求出CE 、BE 的長，即可得到AB 長，然后根據(jù)直徑和半徑的關(guān)系求出OE 的長，再根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩三角形相像（或射影定理）證明OCE CFE ，即可根據(jù)相像三角形的對應(yīng)線段成比例求解. 詳解：證明：連結(jié)OC AB 是O 的直徑 ACB=90 B+BAC=90 OA=OC BAC=OCA B=FCA FCA+OCA=90 即OCF=

8、90 C 在O 上 CF 是O 的切線 AE=4，tan ACD 12 AE EC = CE=8 直徑AB 弦CD 于點(diǎn)E AD AC = FCA B B=ACD=FCA EOC=ECA tan B=tan ACD=1=2CE BE BE=16 AB=20 OE=AB2-AE=6 CE AB CEO=FCE=90 OCE CFE OC OE CF CE = 即106=8CF 40CF 3 = 點(diǎn)睛：此題主要考察了圓的綜合知識，關(guān)鍵是熟知圓周角定理和切線的判定與性質(zhì)，結(jié)合相像三角形的判定與性質(zhì)和解直角三角形的知識求解，利用數(shù)形結(jié)合和方程思想是解題的突破點(diǎn)，有一定的難度，是一道綜合性的題目. 4如

9、圖1，延長O 的直徑AB 至點(diǎn)C ，使得BC= 12 AB ，點(diǎn)P 是O 上半部分的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P 不與A 、B 重合），連結(jié)OP ，CP （1）C 的最大度數(shù)為 ； （2）當(dāng)O 的半徑為3時(shí)，OPC 的面積有沒有最大值？若有，說明理由并求出最大值；若沒有，請說明理由； （3）如圖2，延長PO 交O 于點(diǎn)D ，連結(jié)DB ，當(dāng)CP=DB 時(shí)，求證：CP 是O 的切線 【答案】（1）30；（2）有最大值為9，理由見解析；（3）證明見解析. 【解析】 試題分析：（1）當(dāng)PC 與O 相切時(shí)，OCP 的度數(shù)最大，根據(jù)切線的性質(zhì)即可求得； （2）由OPC 的邊OC 是定值，得到當(dāng)OC 邊上的高為最大值時(shí)，

10、OPC 的面積最大，當(dāng) POOC時(shí)，取得最大值，即此時(shí)OC邊上的高最大，于是得到結(jié)論； （3）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AP=DB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到A=C，得到 CO=OB+OB=AB，推出APBCPO，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CPO=APB，根據(jù)圓周角定理得到APB=90，即可得到結(jié)論 試題解析：（1）當(dāng)PC與O相切時(shí)，OCP最大如圖1，所示： sinOCP=OP OC = 2 4 = 1 2 ，OCP=30 OCP的最大度數(shù)為30， 故答案為：30； （2）有最大值，理由： OPC的邊OC是定值，當(dāng)OC邊上的高為最大值時(shí)，OPC的面積最大， 而點(diǎn)P在O上半圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)POOC時(shí)，取得

11、最大值，即此時(shí)OC邊上的高最大， 也就是高為半徑長，最大值SOPC= 1 2 OC?OP= 1 2 63=9； （3）連結(jié)AP，BP，如圖2， 在OAP與OBD中， OA OD AOP BOD OP OB = ? ? = ? ?= ? ，OAPOBD，AP=DB， PC=DB，AP=PC， PA=PC，A=C， BC=1 2 AB=OB，CO=OB+OB=AB， 在APB和CPO中， AP CP A C AB CO = ? ? = ? ?= ? ，APBCPO，CPO=APB， AB為直徑，APB=90，CPO=90， PC切O于點(diǎn)P，即CP是O的切線 5已知：如圖，AB是O的直徑，PB切O于

12、點(diǎn)B，PA交O于點(diǎn)C，APB是平分線分別交BC，AB于點(diǎn)D、E，交O于點(diǎn)F，A=60，并且線段AE、BD的長是一元二次方程 x23 =0的兩根（k為常數(shù)） （1）求證：PA?BD=PB?AE； （2）求證：O的直徑長為常數(shù)k； （3）求tanFPA的值 【答案】(1)見解析；（2）見解析；（3）tanFPA=23 . 【解析】 試題分析： （1）由PB切O于點(diǎn)B，根據(jù)弦切角定理，可得PBD=A，又由PF平分APB，可證得PBDPAE，然后由相像三角形的對應(yīng)邊成比例，證得PA?BD=PB?AE； （2）易證得BE=BD，又由線段AE、BD的長是一元二次方程 x2kx+2=0的兩根（k為常數(shù)），即可得AE+BD=k，繼而求得AB=k，即：O的直徑長為常數(shù)k； （3）由A=60，并且線段AE、BC的長是一元二次方程 x2kx+2=0的兩根（k為常數(shù)），可求得AE與BD的長，繼而求得tanFPB的值，則可得tanFPA的值 試題解析： （1）證明：如圖， PB切O于點(diǎn)B， PBD=A， PF平分APB， APE=BPD， PBDPAE， PB：PA=BD：AE， PA?BD=PB?AE； （2）證明：如圖， BED=A+EPA，BDE=PBD+BPD 又