貴州省貴陽市高三上學期8月摸底考試數學（文）試題（解析版）

1、試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁第 Page * MergeFormat 18 頁 共 NUMPAGES * MergeFormat 18 頁2023屆貴州省貴陽市高三上學期8月摸底考試數學（文）試題一、單選題1已知集合，則中元素的個數為（）A2B3C4D5【答案】B【分析】先求出集合，再根據交集的定義可求.【詳解】，故即中元素的個數為3，故選：B.2若復數滿足，則的虛部為（）ABCD【答案】D【分析】根據復數代數形式的四則運算進行除法運算,求出,再根據復數的基本概念即可得出虛部.【詳解】解:由題意可得，則復數的虛部為故選:D.3某幾何體的三視圖如圖所示，

2、則該幾何體的體積為（）ABCD【答案】A【分析】由三視圖可還原幾何體為一個正方體挖去一個圓錐，根據柱體和錐體的體積公式可求得結果.【詳解】由三視圖可知幾何體是一個棱長為的正方體挖去一個底面半徑為，高為的圓錐，如圖所示，幾何體體積.故選：A.4若實數，滿足，則的最大值為（）A3B2C1D0【答案】C【分析】由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優(yōu)解，求得最優(yōu)解的坐標，代入目標函數得答案【詳解】解：由實數，滿足不等式組，作出可行域如圖，化目標函數為，由圖可知，當直線過時，直線在軸上的截距最小，此時取最大值由，解答，即故選：C5已知命題：，則命題的否定是（）A，B，C，D

3、，【答案】D【分析】根據存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，判斷即可.【詳解】解：命題：，為存在量詞命題，其否定為，；故選：D6“云樓”是白云區(qū)泉湖公園的標志性建筑，也是來到這里必打卡的項目之一，它端坐于公園的禮儀之軸，建筑外形主體木質結構，造型獨特精巧，是泉湖公園的“陣眼”和“靈魂”，同時也是泉湖歷史與發(fā)展變化的資料展示館小張同學為測量云樓的高度，如圖，選取了與云樓底部D在同一水平面上的A，B兩點，在A點和B點測得C點的仰角分別為45和30，測得米，則云樓的高度CD為（）A20米B25米C米D米【答案】B【分析】設，由銳角三角函數得到，再在中利用余弦定理求出，即可得解.【詳解】解：依題意，設，

4、在、中，所以，在中由余弦定理，即，解得或（舍去），所以云樓的高度為米；故選：B7函數的部分圖象大致為（）ABCD【答案】C【分析】根據函數的定義域和奇偶性排除部分選項，再由特殊值判斷.【詳解】解：因為的定義域為，且，所以是奇函數，故排除BD，又，則，故排除A，故選：C8已知數列的前項和為，則（）ABCD【答案】A【分析】根據作差可得，再由，即可得到是以為首項，為公比的等比數列，從而求出的通項公式，再根據等比數列求和公式計算可得.【詳解】解：因為，當時，當時，所以，即，所以，又，所以是以為首項，為公比的等比數列，所以，所以.故選：A9貴安新區(qū)是中國第八個國家級新區(qū)，位于貴州省貴陽市和安順市結合部

5、，是南方數據中心核心區(qū)、全國大數據應用與創(chuàng)新示范區(qū)，同時也是內陸開放型經濟新高地和生態(tài)文明示范區(qū)“貴安”拼音的大寫形式為“GUIAN”，現從這5個字母中任選2個，則取到的2個字母中恰有1個字母為軸對稱圖形的概率為（）ABCD【答案】B【分析】用列舉法列出所有可能結果，再根據古典概型的概率公式計算可得.【詳解】解：依題意從中任取個字母所有可能結果為、共個基本事件，其中滿足恰有個字母為軸對稱圖形的有、共個基本事件，所以取到的個字母中恰有個字母為軸對稱圖形的概率；故選：B10若，則（）ABCD【答案】D【分析】利用商數關系式和二倍角公式化簡題設中的三角函數式可得，再根據二倍角的余弦公式可求的值.【詳

6、解】因為，故，故，因為，故，所以，所以即，故，故選：D.11設，分別為橢圓C：的左，右焦點，過垂直于長軸的直線交橢圓C于A、B兩點，且；為C內一點，Q為C上任意一點，求的最小值為（）A3B4C5D6【答案】A【分析】先求出橢圓的方程，再根據橢圓的定義將的最小值轉化為的最小值，從而可得正確的選項.【詳解】連接，由橢圓方程可得，故在橢圓方程，令，則，因為，故，解得，故橢圓方程為：.而，因為，故，當且僅當三點共線且在中間時等號成立，故即的最小值為3.故選：A.12設函數的定義域為，且是奇函數，當時，；當時，當變化時，方程的所有根從小到大記為，則取值的集合為（）ABCD【答案】C【分析】將方程的根轉化

7、為與直線的交點，并可知與均關于對稱，作出的圖像，通過數形結合的方式可確定不同取值時交點的個數，結合對稱性可求得結果.【詳解】為奇函數，圖像關于點對稱，由得：，則方程的根即為與直線的交點，作出圖像如圖所示，當，即時，如圖中所示時，與直線有個交點，與均關于對稱，；當，即時，如圖中所示時，與直線有個交點，與均關于對稱，；當，即時，如圖中所示時，與直線有個交點，與均關于對稱，；當時，如圖中所示時，與直線有個交點，與均關于對稱，；當，即時，如圖中和所示時，與直線有且僅有一個交點，.綜上所述：取值的集合為.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：本題考查利用函數對稱性、函數圖像求解方程根的個數問題；解題關鍵是能夠將

8、方程根的個數問題轉化為兩個函數圖像的交點個數問題，進而通過數形結合的方式確定交點個數.二、填空題13拋物線的焦點到準線的距離為_.【答案】1.【解析】利用拋物線的標準方程可得，由焦點到準線的距離為p，從而得到結果.【詳解】拋物線的焦點到準線的距離為p，由標準方程可得.故答案為：1【點睛】本題考查拋物線的標準方程與簡單幾何性質，屬于基礎題.14已知平面向量，若，則_【答案】【分析】根據求出的值，再根據模長的坐標公式求解即可.【詳解】因為，所以.所以，所以.故答案為：15已知數列是等比數列且各項均為正數，數列的前n項積為，則的最大值為_【答案】【分析】根據數列是等比數列，且，求得其通項公式，得到其

9、單調性求解.【詳解】解：因為數列是等比數列，且，所以，即，解得（舍去），所以，所以是遞減數列，又，所以當時，當時，所以，所以的最大值為，故答案為： 三、解答題16自2015年以來，貴陽市著力建設“千園之城”，構建貼近生活、服務群眾的生態(tài)公園體系，著力將“城市中的公園”升級為“公園中的城市”截至目前，貴陽市公園數量累計達到1025個下圖為貴陽市某公園供游人休息的石凳，它可以看做是一個正方體截去八個一樣的四面體得到的，如果被截正方體的的棱長為，則石凳所對應幾何體的外接球的表面積為_【答案】【分析】根據正方體的性質及球的定義可求石凳所對應幾何體的外接球的半徑，從而可求其表面積.【詳解】設正方體的中心

10、為，為棱的中點，連接，則為矩形的對角線的交點，則，同理，到其余各棱的中點的距離也為，故石凳所對應幾何體的外接球的半徑為20，其表面積為，故答案為：17在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且(1)求B；(2)若，_，求ABC的周長在；ABC的面積為這兩個條件中任選一個，補充在橫線上注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理可得，從而可求B的大小.（2）若選，利用正弦定理可求，若選，利用面積公式同樣可得，結合余弦定理可求，從而可求周長.【詳解】(1)由正弦定理可得，而為三角形內角，故，故即.而為三角形內角，故.(2)若選，因為，故外接

11、圓直徑即.而，故，而，故即，故三角形的周長為.若選，因為三角形面積為，故即.而，故即，故三角形的周長為.182022年2月4日2月20日北京冬奧會如期舉行，各國媒體爭相報道運動會盛況，因此每天有很多民眾通過手機、電視等方式觀看冬奧新聞某機構將每天關注冬奧時間在1小時以上的人稱為“冬奧迷”，否則稱為“非冬奧迷”，通過調查并從參與調查的人群中隨機抽取了200人進行抽樣分析，得到下表（單位：人）：非冬奧迷冬奧迷合計50歲及以下406010050歲以上8020100合計12080200(1)現從抽取的50歲及以下的人中，按“非冬奧迷”與“冬奧迷”這兩種類型進行分層抽樣抽取5人，然后，再從這5人中隨機選

12、出2人，求其中至少有1人是“冬奧迷”的概率；(2)根據以上數據，能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“非冬奧迷”還是“冬奧迷”與年齡有關？參考公式：，其中參考數據：0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635【答案】(1)(2)能在犯錯誤的概率不超過的前提下認為“非冬奧迷”還是“冬奧迷”與年齡有關.【分析】（1）首先求出“非冬奧迷”與“冬奧迷”的人數，再利用列舉法列出所有可能結果，最后利用古典概型的概率公式計算可得.（2）計算出卡方，即可判斷.【詳解】(1)解：依題意抽取的人中“非冬奧迷”有人，“冬奧迷”有人，記“非冬奧迷”分別為、，“

13、冬奧迷”分別為、，則從這人中隨機抽取人有，共個基本事件，其中至少有1人是“冬奧迷”的有，共個基本事件，所以至少有1人是“冬奧迷”的概率.(2)解：由列聯表可得，所以能在犯錯誤的概率不超過的前提下認為“非冬奧迷”還是“冬奧迷”與年齡有關.19如圖，在直三棱柱中，M，N分別是，的中點(1)求證：；(2)求三棱錐的體積【答案】(1)詳見解析(2)【分析】（1）利用面面垂直的性質定理證明線線垂直；（2）利用等體積公式，轉化為，即可求解體積.【詳解】(1)因為三棱柱是直三棱柱，所以平面平面，且平面平面，因為，且點是的中點，所以平面，又因為平面，所以；(2)三棱錐,由條件可知是等腰直角三角形，所以，點到平

14、面的距離，.20已知拋物線C的頂點在坐標原點，焦點在y軸的正半軸上，直線l：經過拋物線C的焦點(1)求拋物線C的方程；(2)若直線l與拋物線C相交于A，B兩點，過A，B兩點分別作拋物線C的切線，兩條切線相交于點P，求ABP面積的最小值【答案】(1)(2)4【分析】（1）設拋物線C的方程為，根據題意得到焦點坐標，即可求得拋物線C的方程；（2）設，聯立方程組得到，求得，化簡拋物線方程，結合導數的幾何意義求得點和點處的切線方程，聯立方程組求得點的坐標和到直線的距離，得出的面積，即可求解最小值.【詳解】(1)由題意，設拋物線C的方程為，因為直線經過，即拋物線C的焦點，所以，解得，所以拋物線C的方程為.

15、(2)設，聯立方程組，整理得，因為，且，所以，由，可得，則，所以拋物線經過點的切線方程是，將代入上式整理得，同理可得拋物線C經過點B的切線方程為，聯立方程組，解得，所以，所以到直線的距離，所以的面積，因為，所以，即當時，所以面積的最小值為.【點睛】本題主要考查了拋物線方程的求解，同時也考查了導數的幾何意義與拋物線中的面積問題，需要根據題意設切點，求得交點的坐標，再根據韋達定理表達出面積的解析式，進而求得最值.屬于難題.21已知函數(1)當時，求的單調區(qū)間；(2)若，設，是的兩個極值點，判斷的正負，并說明理由【答案】(1)單調遞減區(qū)間為，無單調遞增區(qū)間.(2)負，理由見解析.【分析】（1）求出函

16、數的定義域與導函數，即可得到恒成立，從而求出函數的單調區(qū)間；（2）求出函數的導函數，即可得到有兩個不相等的正根，即、是的兩個極值點，利用韋達定理得到，即可表示出整理得，令，利用導數說明函數的單調性，即可得證.【詳解】(1)解：當時，定義域為，所以恒成立，所以的單調遞減區(qū)間為，無單調遞增區(qū)間.(2)解：因為定義域為，所以，當時有兩個不相等的正根，即、是的兩個極值點，所以，所以令，則，于是在區(qū)間內單調遞增，所以，即，所以，即為負.22在直角坐標系中，直線l的參數方程是(t為參數)，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為.（1）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；（2）若直線l和曲線C交于兩點，點，求的值.【答案】（1）：，：；（2）.【分析】（1）直接利用轉換關系，在參數方程極坐標方程和直角坐標方程之間進行轉換；（2）聯立方程，利用韋達定理求出結果.【詳解】（1）直線l的