初中數(shù)學(xué)北師大八年級下冊（2023年修訂）綜合與實踐平面圖形的鑲嵌-不定方程教學(xué)設(shè)計

1、平面圖形的鑲嵌不定方程教學(xué)設(shè)計成都市龍泉驛區(qū)雙槐中學(xué)校 仇書芹【內(nèi)容和內(nèi)容解析】平面圖形的鑲嵌是北師大版教材八年級下冊的一節(jié)綜合實踐課，在我的第一次課中，根據(jù)教材學(xué)生通過動手操作初步掌握平面鑲嵌的原理并得出形狀大小相同的任意的三角形和四邊形能進行鑲嵌，以及正三、正四、正六邊形能進行單元鑲嵌，但正五邊形不能進行單元鑲嵌的結(jié)論，通過拼一拼知道正三、正四和正三、正六邊形能組合鑲嵌，接著探究了異形圖也能進行平面鑲嵌。課后，學(xué)生就在問用一種正多邊形、兩種正多邊形等等進行鑲嵌到底有多少種情況呢？我就在思考，能否通過建立方程來解決這個問題？我覺得這個素材很值得挖掘，我們在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)里面，我認(rèn)為數(shù)學(xué)

2、建模本身就是重點也是難點，我為什么不利用好這個素材，讓它體現(xiàn)它的建模思想呢？因此我對這節(jié)課的內(nèi)容進行了重新設(shè)計，本節(jié)課主要是通過建立不定方程來解決正多邊形的鑲嵌問題。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，可以使學(xué)生經(jīng)歷從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用已有知識解決問題的過程，從而加深對相關(guān)知識的理解。進一步提高學(xué)生的思維能力，體會分析問題和解決問題的方法，發(fā)展合情推理和演繹推理的能力?！灸繕?biāo)和目標(biāo)解析】1.通過動手操作，回顧平面圖形鑲嵌的原理；2.經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型的過程，用方程刻畫生活現(xiàn)象，理解數(shù)學(xué)建模的概念以及不定方程的定義；3.通過探究不定方程解的過程，培養(yǎng)學(xué)生的分類討論、類比的數(shù)學(xué)思

3、想以及邏輯推理能力；4.在愉快的學(xué)習(xí)氣氛中，培養(yǎng)學(xué)生合作、探索的精神，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的美。【教學(xué)問題診斷分析】如何建立不定方程？這個問題是比較抽象的，如何設(shè)計一個較為有效而低起點的問題或是載體，讓全體學(xué)生自然地進入到探究中去，在探究中感受分類、轉(zhuǎn)化、建模等思想呢？如何用分類討論思想解不定方程？就本節(jié)課而言，怎樣引導(dǎo)學(xué)生利用實際背景中變量的取值范圍去探究不定方程的解？【教學(xué)支持條件分析】知識儲備：1.正多邊形邊和內(nèi)角等的相關(guān)知識2.八年級下冊第五章學(xué)過分式與分式方程基礎(chǔ)知識3.八年級下冊綜合實踐學(xué)過平面圖形的鑲嵌基礎(chǔ)知識教法：啟發(fā)式教學(xué)法學(xué)法：探究式學(xué)習(xí)法技術(shù)：慧道系統(tǒng)教材，需要我們以發(fā)展的理

4、念和策略看待，善于結(jié)合學(xué)生實際，活用教材，把重點放在發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的能力上，促進學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣和數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，使不同的學(xué)生在不同程度上得到不同的發(fā)展。本節(jié)課基于上述目的，以發(fā)展的眼光來看平面圖形鑲嵌的問題，先操作，填寫表格，尋找規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生建立不定方程；再利用實際背景中變量的取值范圍去探究不定方程的解。本節(jié)課讓學(xué)生深刻地感受到平面圖形鑲嵌的內(nèi)容不僅停留在動手操作研究上，還可以用多種數(shù)學(xué)思想方法來研究一種正多邊形、兩種正多邊形、三種正多邊形的鑲嵌問題，從而拓展了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，進一步發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。課程標(biāo)準(zhǔn)是明確了目標(biāo)，而教材給予了所有老師整合、發(fā)展的機會，經(jīng)過本節(jié)課的

5、學(xué)習(xí)，學(xué)生可以很好的將類似的探究經(jīng)驗，運用在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，同時，其間蘊含的類比、分類、建模等數(shù)學(xué)思想，必將使學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)受益匪淺?！窘虒W(xué)過程設(shè)計】(一)創(chuàng)設(shè)情境，引出課題同學(xué)們，在我們的家里、學(xué)校里以及其它很多地方都鋪有地磚吧，它們常常是由一種或幾種形狀相同的圖形拼接而成的。在我們洛帶古鎮(zhèn)也有許多美麗的拼磚圖案，請同學(xué)們欣賞一組由仇老師親自拍攝的照片（教師展示圖片)。請同學(xué)們欣賞一組平面圖案，并觀察這些圖案由哪些平面圖形構(gòu)成。問題1：這些圖形拼成一個平面圖案有什么特征？（沒有空隙，不重疊）像這樣，用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進行拼接，彼此之間不留空隙，不重疊地鋪成一片，叫

6、做平面圖形的鑲嵌，也叫做平面圖形的密鋪。(板書：平面圖形的鑲嵌)設(shè)計意圖：從日常生活中常見的現(xiàn)象入手，回顧平面圖形鑲嵌的概念。讓學(xué)生親身經(jīng)歷實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題的過程，體驗數(shù)學(xué)源于生活。(二) 動手操作，數(shù)學(xué)建模= 1 * ROMANI探究用同一種正多邊形鑲嵌進行鑲嵌分組操作，填寫表格第一大組：用若干個全等的正三角形進行平面鑲嵌；第二大組：用若干個全等的正四邊形進行平面鑲嵌；第三大組：用若干個全等的正五邊形進行平面鑲嵌；第四大組：用若干個全等的正六邊形進行平面鑲嵌。正n邊形拼圖每個內(nèi)角的度數(shù)使用正多邊形的個數(shù)xx個內(nèi)角的度數(shù)和與360的關(guān)系能否鑲嵌3456n要求：每個小組完成相應(yīng)的填空，一名

7、同學(xué)負(fù)責(zé)記錄，并通過平板上傳記錄，其余同學(xué)負(fù)責(zé)拼接，時間2分鐘。 學(xué)生活動1： 以小組為單位動手操作，活動后，分組展示拼接成果，得出正三、四、六邊形能進行單元鑲嵌，而正五邊形不能單元鑲嵌的結(jié)論。設(shè)計意圖：學(xué)生由實際操作，交流討論，成果展示回顧平面圖形鑲嵌的基本原理，再次直觀感受正三、正四、正六邊形能進行單元鑲嵌，而正五邊形不能單元鑲嵌，培養(yǎng)學(xué)生綜合實踐能力和合作交流能力。問題2：僅用同一種正多邊形鑲嵌,還能找到能鑲嵌的其他正多邊形嗎?請同學(xué)們觀察“x個內(nèi)角的度數(shù)和與360的關(guān)系”這列，能鑲嵌的正多邊形與不能鑲嵌的正多邊形有什么區(qū)別。設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生分析實驗表格中能進行鑲嵌的正多邊形與不能進行

8、鑲嵌的正多邊形的異同，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。 2.深入探究，建立方程1根據(jù)鑲嵌的原理在拼接點處各內(nèi)角之和為360，即正多邊形的個數(shù)乘以正多邊形的內(nèi)角度數(shù)等于360，學(xué)生建立出當(dāng)正多邊形為正n邊形時的方程，xn-2180n=360。設(shè)計意圖：學(xué)生根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律自然地填出當(dāng)正多邊形為正n邊形時的方程。使學(xué)生的認(rèn)識由直觀上升到抽象，建立“從特殊到一般”以及類比的思想方法，提高學(xué)生的觀察和概括能力，以及語言表達(dá)能力。 問題3：x、n是否有取值范圍？設(shè)有x個n邊形，則我們可以建立如下方程模型：xn-2180n=360 x3,n3且都為正整數(shù) 所謂不定方程，是指未知數(shù)的個數(shù)多于方程的個數(shù)，且未知數(shù)受到某些限制（如

9、要求是有理數(shù)、整數(shù)或正整數(shù)等等）的方程或方程組。設(shè)計意圖：問題3的提出引導(dǎo)學(xué)生思考x、n的取值范圍，建立不定方程，從而引出不定方程的概念。體驗建立方程模型的過程，在此過程中，嘗試發(fā)現(xiàn)和提出問題。 3.化簡整理，求解方程1學(xué)生活動2：學(xué)生嘗試獨立解方程，時間3分鐘。根據(jù)學(xué)生現(xiàn)有的知識經(jīng)驗多數(shù)同學(xué)可能化簡到x=2nn-2就無法在進行，此時由教師引導(dǎo)學(xué)生完成后面的變形。xn-2n=2x=2nn-2x=2n-2+4n-2x=2+4n-2x3,n3且都為正整數(shù)n-2為4的因數(shù)，即n-2只能取1、2、4當(dāng)n-2=1時，n=3，x=6當(dāng)n-2=2時，n=4，x=4當(dāng)n-2=4時，n=6，x=3n=3 x=6

10、， n=4x=4 ，n=6x=3由此我們得到用一種正多邊形進行鑲嵌只有： 正三角形、正方形、正六邊形三種情況。數(shù)學(xué)建模就是將某一實際問題，通過一定的假設(shè)找出這個問題的數(shù)學(xué)模型，求出模型的解，并對它進行驗證的全過程。設(shè)計意圖：讓學(xué)生經(jīng)歷將一個實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型，并對模型進行求解的全過程，體會本課建立不定方程的價值所在，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)建模有深入的認(rèn)識。同時培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力和分類討論的思想，發(fā)揮教師的引導(dǎo)者和合作者的作用。= 2 * ROMANII探究用兩種正多邊形進行鑲嵌的組合除了用一種正多邊形進行平面鑲嵌，我們能用多種正多邊形進行鑲嵌嗎？下面我們首先來研究用兩種正多邊形進行鑲嵌的情況。問

11、題4：能否通過建立方程來解決兩種圖形是否可以進行平面鑲嵌的問題？ 設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生用類比的方法從一種正多邊形鑲嵌的不定方程的建立到兩種正多邊形鑲嵌的不定方程的建立，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的遷移能力。4.建立方程2，類比整理學(xué)生活動3：獨立建立出方程模型，并嘗試整理方程，時間3分鐘。 設(shè)x個n邊形，y個m邊形（不妨設(shè)mn，x，y為正整數(shù)）x(n-2)180n+y(m-2)180m=360 xn-2n+ym-2m=2x1-2n+y1-2m=2x-2xn+y-2ym=2x+y-(2xn+2ym)=2一名學(xué)生上臺講解他的方程模型以及他對方程的整理。教師根據(jù)該名學(xué)生的講解引導(dǎo)同學(xué)們將方程整理成上面的形式。設(shè)

12、計意圖：此方程的整理比建立更難，大膽放手讓學(xué)生去嘗試求解，旨在培養(yǎng)學(xué)生的勇于探索的精神和數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。當(dāng)學(xué)生提出化簡困難時，師生合作整理方程。5.交流碰撞，求解方程2學(xué)生活動4：小組討論交流，（x+y）的取值范圍以及n的取值范圍，時間3分鐘。教師引導(dǎo)學(xué)生確定（x+y）的取值范圍以及n的取值范圍，師生根據(jù)（x+y）與n的取值范圍進行分類討論，只討論一種情況即可，剩下的學(xué)生課后進行計算。 = 1 * GB3 當(dāng)x+y=3時 = 1 * roman i）x=1，y=23-(2n+4m)=22n+4m=1 當(dāng)n=3時， 23+4m=1，m=12當(dāng)n=4時， 24+4m=1，m=8 = 2 * roma

13、n ii）x=1，y=2設(shè)計意圖：通過設(shè)計（x+y）的取值范圍以及n的取值范圍兩個核心問題，讓學(xué)生討論交流的過程，把學(xué)生的思維引向深入。在師生對話交流中，得出了（x+y）的取值范圍以及n的取值范圍，為此不定方程的求解排除了思維障礙。進一步發(fā)展學(xué)生的合情推理能力和演繹推理能力，并獲得更具體更堅實的數(shù)學(xué)經(jīng)驗。= 3 * ROMANIII探究用三種正多邊形進行鑲嵌的組合課后拓展，激發(fā)潛能我們可以用一種或兩種正多邊形進行平面鑲嵌，那三種正多邊形組合能否進行平面鑲嵌呢？同學(xué)們你能快速的建立出方程模型嗎？由于時間關(guān)系我們不再課堂上做探究，請同學(xué)們課后建立出不定方程，并嘗試求解它。設(shè)計意圖：鞏固鑲嵌原理，體

14、會探究方法，進一步發(fā)展學(xué)生的建模能力、邏輯推理能力，激發(fā)學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)的欲望。（三）反思回顧，總結(jié)提升一研究內(nèi)容：正多邊形的平面鑲嵌二研究方法：（1）動手操作（2）建立不定方程問題5：建立不定方程的價值是什么？三數(shù)學(xué)思想：建模思想 設(shè)計意圖：從正多邊形平面鑲嵌的研究過程的角度引導(dǎo)學(xué)生對整個學(xué)習(xí)過程進行梳理，既有研究的內(nèi)容和方法，又有數(shù)學(xué)思想。問題5的提出讓學(xué)生思考并再次體會本節(jié)課建立不定方程的價值所在?！灸繕?biāo)檢測設(shè)計】結(jié)合本節(jié)課的內(nèi)容辦一張數(shù)學(xué)手抄報。設(shè)計意圖：為了更好的促進每一位學(xué)生得到不同的發(fā)展,培養(yǎng)學(xué)生的實踐能力和創(chuàng)新能力。課后讓學(xué)生學(xué)會反思參與活動的全過程，將研究的過程和結(jié)果形成報告或小

15、論文（以手抄報的形式呈現(xiàn)），并能進行交流，進一步獲得數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗,滲透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。板書設(shè)計課題一用一種正多邊形鑲嵌不定方程1二用兩種正多邊形鑲嵌不定方程2解不定方程2導(dǎo)學(xué)單1、正多邊形的一個內(nèi)角= ，的范圍是 。2、請完成下表填空： 正多邊形每個內(nèi)角度數(shù)正多邊形每個內(nèi)角度數(shù)n=3n=8n=4n=9n=5n=10n=6n=11n=7n=123、學(xué)具準(zhǔn)備一大組每位同學(xué)準(zhǔn)備若干個全等的正三角形；二大組每位同學(xué)準(zhǔn)備若干個全等的正四邊形；三大組每位同學(xué)準(zhǔn)備若干個全等的正五邊形；四大組每位同學(xué)準(zhǔn)備若干個全等的正六邊形。4.填寫表格正n邊形拼圖每個內(nèi)角的度數(shù)使用正多邊形的個數(shù)xx個內(nèi)角的度數(shù)和與360的關(guān)

16、系能否鑲嵌3456n教學(xué)反思：平面圖形的鑲嵌在教材中是以綜合實踐課的形式呈現(xiàn)的,我在設(shè)計本課時,主要是從正多邊形的角度去探究平面圖形的鑲嵌，設(shè)計的研究思路為：從簡單到復(fù)雜，從特殊到一般。通過動手操作、填寫實驗報告、尋找規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生建立出不定方程，理解不定方程的概念，體驗建立不定方程的價值，對數(shù)學(xué)建模有初步的感受。本課以問題為導(dǎo)向，以活動為載體，讓學(xué)生經(jīng)過自己的操作和思考,體驗和感受生活中實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型的過程,既激發(fā)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣,積累了活動的經(jīng)驗,又使的觀察、猜想、歸納等能力得到提升。引導(dǎo)學(xué)生建立不定方程模型并求解用一種正多邊形鑲嵌的所有情況，讓學(xué)生感受建立不定方程的價值所在。學(xué)生

17、用類比的思想嘗試通過建立不定方程探究用兩種正多邊形進行鑲嵌的情況，教師引導(dǎo)學(xué)生對變量的取值范圍進行小組討論。在這一過程中，學(xué)生大膽的嘗試，討論的也非常熱烈，學(xué)生思維出現(xiàn)了碰撞，培養(yǎng)了學(xué)生的實踐能力、勇于探索的精神和數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。同時也促進了學(xué)生數(shù)感以及建模能力的發(fā)展，從而實現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)是一個循序漸進、開拓創(chuàng)新的過程，課堂教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主陣地，需要教師精心的設(shè)計課堂教學(xué)，注重學(xué)生思維培養(yǎng)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)知識的同時也掌握了方法，把握了關(guān)鍵，提高了能力。最后為了更好的促進每一位學(xué)生得到不同的發(fā)展,培養(yǎng)學(xué)生的實踐能力和創(chuàng)新能力。課后讓學(xué)生學(xué)會反思參與活動

18、的全過程，我設(shè)計了結(jié)合本節(jié)課的內(nèi)容辦一張手抄報的課后拓展作業(yè)，使學(xué)生進一步獲得數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。在學(xué)生課后的思考中，我們班的數(shù)學(xué)興趣2組的5個同學(xué)還討論出了用另一個不定方程解決用一種正多邊形進行鑲嵌的情況。經(jīng)過我們師生的討論，我們根據(jù)這種方法還證明出了用兩種正多邊形進行鑲嵌的情況。平面圖形的鑲嵌不定方程課例點評 譚竹香港大學(xué)教授、弗來登塔爾獎獲得者梁貫成曾經(jīng)提出這樣的問題：數(shù)學(xué)的本質(zhì)是什么？針對這個問題，我也在發(fā)問：數(shù)學(xué)是發(fā)現(xiàn)還是再造？是描述客觀存在還是親歷抽象？通過這些本質(zhì)問題研究，我們清楚地發(fā)現(xiàn)：不同理念下的教學(xué)設(shè)計會向完全不同的方向發(fā)展，從而讓學(xué)生親歷的思維過程也會完全不一樣。平面圖形的鑲嵌

19、是八年級下冊的綜合實踐內(nèi)容，是學(xué)習(xí)了平面圖形的鑲嵌的基礎(chǔ)之上，對平面圖形鑲嵌的拓展與延伸。在平面圖形密鋪的基礎(chǔ)上，進一步深入研究正多邊形的鑲嵌問題。本課設(shè)計讓學(xué)生經(jīng)歷動手操作、填寫實驗報告、找出規(guī)律，逐漸引導(dǎo)學(xué)生建立用一種正多邊形鑲嵌的不定方程模型，從而引出不定方程的概念，并探究其解法。讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的建模思想，再用類比的數(shù)學(xué)方法，寫出用兩種正多邊形鑲嵌的不定方程的模型；從實際背景出發(fā)，找到變量的取值范圍，再用分類討論的數(shù)學(xué)思想，求出這類不定方程解的通法，從而拓寬了學(xué)生的眼界和視野。在本堂課中，仇老師以問題為導(dǎo)向，以活動為載體，設(shè)計了三個大環(huán)節(jié)，六個小環(huán)節(jié)，由易到難、由淺入深、逐步引導(dǎo)，讓學(xué)生

20、從簡單問題思維的難點解決思維難點新的思維難點再解決思維難點的過程，層層深入，引導(dǎo)學(xué)生不斷挑戰(zhàn)思維的高峰。并用發(fā)展的思維，引導(dǎo)學(xué)生從課堂到課后的進一步研究，從而獲得更多的知識。新課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出：“義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實際問題抽象為數(shù)學(xué)模型并進行解釋與應(yīng)用的過程，進而使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)理解的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等各個方面得到發(fā)展”。本節(jié)課有效的學(xué)習(xí)活動、自主探究、合作交流，符合學(xué)生身心發(fā)展和認(rèn)知水平，也符合新課標(biāo)下的數(shù)學(xué)活動課的認(rèn)知規(guī)律。用一種正多邊形進行鑲嵌方法一：設(shè)有x個正n邊形，則我們可以建立如下方程模型：xn-2180n=360 x=2nn-2x=2n-2+4n-2x=2+4n-23x6,n3且都為正整數(shù)n-2為4的因數(shù)，即n-2只能取1、2、4當(dāng)n-2=1時，n=3，x=6當(dāng)n-2=2時，n=4，x=4當(dāng)n-2=4時，n=6，x=3n=3 x=6， n=4x=4 ，n=6x=3方法二：（班級數(shù)學(xué)興趣2組的學(xué)生討論出來的方法）設(shè)有個內(nèi)角為的正多邊形，則我們可以建立如下方程模型：x=360（x是正整數(shù)，60180）x是正整數(shù)，