小學(xué)奧數(shù)格點(diǎn)型面積

1、小學(xué)奧數(shù)-格點(diǎn)型面積.小學(xué)奧數(shù)-格點(diǎn)型面積.19/19小學(xué)奧數(shù)-格點(diǎn)型面積.板塊一正方形格點(diǎn)問(wèn)題在一張紙上,先畫(huà)出一些水平直線和一些豎直直線,并使隨意兩條相鄰的平行線的距離都相等(往常例定是1個(gè)單位,這樣在紙上就形成了一個(gè)方格網(wǎng),此中的每個(gè)交點(diǎn)就叫做一個(gè)格點(diǎn).在方格網(wǎng)中,以格點(diǎn)為極點(diǎn)畫(huà)出的多邊形叫做格點(diǎn)多邊形,比方,右圖中的農(nóng)村小屋圖形就是一個(gè)格點(diǎn)多邊形.那么,格點(diǎn)多邊形的面積怎樣計(jì)算?它與格點(diǎn)數(shù)量有沒(méi)相關(guān)系?假如有,這二者之間的關(guān)系可否用計(jì)算公式來(lái)表達(dá)?下邊就讓我們一同來(lái)商討這些問(wèn)題吧!用N表示多邊形內(nèi)部格點(diǎn),L表示多邊形周界上的格點(diǎn),S表示多邊形面積,請(qǐng)同學(xué)們分析前幾個(gè)例題的格點(diǎn)數(shù).我們能

2、發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律:12LSN=+-.這個(gè)規(guī)律就是畢克定理.畢克定理若一個(gè)格點(diǎn)多邊形內(nèi)部有N個(gè)格點(diǎn),它的界限上有L個(gè)格點(diǎn),則它的面積為12LSN=+-.例題精講格點(diǎn)型面積【例1】用9個(gè)釘子釘成互相間隔為1厘米的正方陣(如右圖.假如用一根皮筋將適合的三個(gè)釘子連結(jié)起來(lái)就獲得一個(gè)三角形,這樣獲得的三角形中,面積等于1平方厘米的三角形的個(gè)數(shù)有多少?面積等于2平方厘米的三角形有多少個(gè)?【分析】面積等于1平方厘米的三角形有32個(gè).面積等于2平方厘米的三角形有8個(gè).(1面積等于1平方厘米的分類(lèi)統(tǒng)計(jì)以下:底為2,高為1底為2,高為1底為1,高為232=6(個(gè)32=6(個(gè)32=6(個(gè)底為1,高為2底為2,高為1底為1

3、,高為232=6(個(gè)22=4(個(gè)22=4(個(gè)所以,面積等于1平方厘米的三角形的個(gè)數(shù)有:6+6+6+6+4+4=32(個(gè).(2面積等于2平方厘米的分類(lèi)統(tǒng)計(jì)以下:32=6(個(gè)12=2(個(gè)所以,面積等于2平方厘米的三角形的個(gè)數(shù)有:6+2=8(個(gè).【例2】如圖,44?的方格紙上放了16枚棋子,以棋子為極點(diǎn)的正方形有個(gè).【分析】依據(jù)正方形的大小,分類(lèi)數(shù)正方形.共能構(gòu)成五種大小不一樣樣的正方形(如右圖.11?的正方形:9個(gè);22?的正方形:4個(gè);33?的正方形:1個(gè);以11?正方形對(duì)角線為邊長(zhǎng)的正方形:4個(gè);以12?長(zhǎng)方形對(duì)角線為邊長(zhǎng)的正方形:2個(gè).故能夠構(gòu)成9414220+=(個(gè)正方形.【例3】判斷以以

4、下圖形哪些是格點(diǎn)多邊形?【分析】依據(jù)格點(diǎn)多邊形的定義可知,圖形的邊必然是直線段,極點(diǎn)要在格點(diǎn)上!所以只有是格點(diǎn)多邊形.【例4】如圖,計(jì)算各個(gè)格點(diǎn)多邊形的面積.【分析】此題所給的圖形都是規(guī)則圖形,它們的面積運(yùn)用公式直接可求,只需判斷出相應(yīng)的相關(guān)數(shù)據(jù)就行了.方法一:圖是正方形,邊長(zhǎng)是4,所以面積是4416=(面積單位;圖是矩形,長(zhǎng)是5,寬是3,所以面積是5315=(面積單位;圖是三角形,底是5,高是4,所以面積是54210=(面積單位;圖是平行四邊形,底是5,高是3,所以面積是5315=(面積單位;圖是直角梯形,上底是3,下底是5,高是3,所以面積是353212+?=(面積單位;圖是梯形,上底是3

5、,下底是6,高是4,所以面積是364218+?=(面積單位.【堅(jiān)固】假如兩格點(diǎn)之間的距離是2,能利用剛計(jì)算的結(jié)果說(shuō)出相應(yīng)面積么?(教師總結(jié):面積數(shù)值均擴(kuò)大4倍.方法二:以上部分圖形除了利用各自的面積公式直接求出外,我們還能夠從推導(dǎo)它們的面積公式過(guò)程中獲得啟迪,即用“割補(bǔ)法”或“擴(kuò)展法”分別轉(zhuǎn)變成長(zhǎng)方形來(lái)求.這一種方法很重要,在下邊的題目中我們還將使用這類(lèi)方法!如圖,我們利用“擴(kuò)展法”將其轉(zhuǎn)變,以以下圖,從圖中易知三角形面積是長(zhǎng)方形面積的一半.如圖,我們利用“割補(bǔ)法”將其暗影部分面積平移到右側(cè),轉(zhuǎn)變成一個(gè)長(zhǎng)方形,從中易得平行四邊形面積.同理,圖、也可利用相同的思想.【例5】如圖(a,計(jì)算這個(gè)格點(diǎn)

6、多邊形的面積.【分析】方法一(擴(kuò)展法.這是個(gè)三角形,固然有三角形面積公式可用,但判斷它的底和高卻十分困難,只好另想其余方法:這個(gè)三角形是處在長(zhǎng)是6、寬是4的矩形內(nèi),除此以外還有其余三個(gè)直角三角形,以下右圖(b,這三個(gè)直角三角形面積很簡(jiǎn)單求出,再用矩形面積減去這三個(gè)直角三角形面積,就是所要求的三角形面積.矩形面積是6424=;直角三角形的面積是:6226=;直角三角形的面積是:4224=;直角三角形面積是4224=;所求三角形的面積是2464410-+=(面積單位.方法二(割補(bǔ)法.將原三角形切割成兩個(gè)我們方便計(jì)算面積的三角形,如(c圖.所以三角形的面積是:52252210+?=(面積單位.【例6

7、】(“新加坡小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克”比賽試題右圖是一個(gè)方格網(wǎng),計(jì)算暗影部分的面積.【分析】擴(kuò)展法.把所求三角形擴(kuò)展成正方形ABCD中.這個(gè)正方形中有四個(gè)三角形:一個(gè)是要求的AEF;其余三個(gè)分別是:ABE、FEC、DAF,它們都有一條邊是水平擱置的,易求它們的面積分別為21.5cm,22cm,21.5cm.所以,圖中暗影部分的面積為:331.5224-?+=(2cm.【例7】分別計(jì)算圖中兩個(gè)格點(diǎn)多邊形的面積.【分析】利用“擴(kuò)展法”和“割補(bǔ)法”我們都能夠簡(jiǎn)單的獲得的面積均為9面積單位.的面積均為10面積單位.【談?wù)摗俊耙粋€(gè)格點(diǎn)多邊形面積的大小很可能是由哪些要素決定呢?”格“點(diǎn)多邊形內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)和周界上的

8、格點(diǎn)數(shù)與格點(diǎn)多邊形的面積有沒(méi)有什么內(nèi)在聯(lián)系呢?”下邊我們就來(lái)商討一下!在堅(jiān)固中,我們發(fā)現(xiàn)兩個(gè)圖形面積相等.進(jìn)一步還能夠發(fā)現(xiàn)第一個(gè)圖形界限上的格點(diǎn)數(shù)是8個(gè);第二個(gè)圖形界限上的格點(diǎn)數(shù)是10個(gè),包括在圖形內(nèi)的格點(diǎn)數(shù)也相等,都是6個(gè).【堅(jiān)固】求以下各個(gè)格點(diǎn)多邊形的面積.【分析】12L=;10N=,1211011522LSN=+-=+-=(面積單位;10L=;16N=,1011612022LSN=+-=+-=(面積單位;6L=;12N=,611211422LSN=+-=+-=(面積單位;10L=;13N=,1011311722LSN=+-=+-=(面積單位.用N表示多邊形內(nèi)部格點(diǎn),L表示多邊形周界上的格

9、點(diǎn),S表示多邊形面積,請(qǐng)同學(xué)們分析前幾個(gè)例題的格點(diǎn)數(shù).我們能發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律:12LSN=+-.這個(gè)規(guī)律就是畢克定理.【例8】我們開(kāi)始提到的“農(nóng)村小屋”的面積是多少?【分析】圖形內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)9N=;圖形界限上的格點(diǎn)數(shù)20L=;依據(jù)畢克定理,則1182LSN=+-=(單位面積.【例9】右圖是一個(gè)812?面積單位的圖形.求矩形內(nèi)的箭形ABCDEFGH的面積.畢克定理若一個(gè)格點(diǎn)多邊形內(nèi)部有N個(gè)格點(diǎn),它的界限上有L個(gè)格點(diǎn),則它的面積為12LSN=+-.FDBA【分析】箭形ABCDEFGH的面積+-+?+-?=+=(面積單位.【例10】右圖中每個(gè)小正方形的面積都是1,那么圖中這只“狗”所占的面積是多少?19.

10、所以圖形的面積為:54192162.5+-=(面積單位.【堅(jiān)固】如圖,每一個(gè)小方格的面積都是1平方厘米,那么用粗線圍成的圖形的面積是多少平方厘米?【分析】方法一:正方形格點(diǎn)陣中多邊形面積公式:(N+L2-1單位正方形面積,此中N為圖形內(nèi)格點(diǎn)數(shù),L為圖形周界上格點(diǎn)數(shù).有N=4,L=7,則用粗線圍成圖形的面積為:(4+72-11=6.5(平方厘米方法二:如右上圖,先求出粗實(shí)線外格點(diǎn)內(nèi)的圖形的面積,有=32=1.5,=22=1,=22=1,=22=1,=22=l,=22=1,還有三個(gè)小正方形,所以粗實(shí)線外格點(diǎn)內(nèi)的圖形面積為1.5+l+1+1+1+1+3=9.5,而整個(gè)格點(diǎn)陣所圍成的圖形的面積為16,

11、所以粗線圍成的圖形的面積為:16-9.5=6.5平方厘米.【例11】(“小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克”比賽試題55?的方格紙,小方格的面積是1平方厘米,小方格的極點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn).請(qǐng)你在圖上選7個(gè)格點(diǎn),要求此中隨意3個(gè)格點(diǎn)都不在一條直線上,而且使這7個(gè)點(diǎn)用直線連結(jié)后所圍成的面積盡可能大.那么,所圍圖形的面積是平方厘米.【分析】為了使這7個(gè)點(diǎn)圍成最大的面積,這7個(gè)點(diǎn)應(yīng)盡量在正方形的邊或極點(diǎn)上,如圖采納7個(gè)點(diǎn),圍成面積最大.最大面積為550.5323.5?-?=(平方厘米.【例12】(“保良局亞洲區(qū)城市小學(xué)數(shù)學(xué)”比賽試題第一屆保良局亞洲區(qū)城市小學(xué)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽在7月21日開(kāi)幕,下邊的圖形中,每一個(gè)小方格的面積是1,那么

12、7、2、1三個(gè)數(shù)字所占的面積之和是多少?【分析】要計(jì)算三個(gè)數(shù)字所占的面積之和，能夠先分別求出每個(gè)數(shù)字所占的面積明顯，圖中的三個(gè)數(shù)字都能夠看作格點(diǎn)多邊形，依據(jù)畢克定理，能夠很方便地求出每個(gè)數(shù)字所占的面積值得注意的是：數(shù)字“7內(nèi)”部有兩個(gè)格點(diǎn)，而數(shù)字“2和”“1內(nèi)”部都沒(méi)有格點(diǎn)7所占的面積為：；2所占的面積為：；1所占的面積為：所以，這三個(gè)數(shù)字所占的面積之和為：【例13】(第六屆“從小愛(ài)數(shù)學(xué)”邀請(qǐng)賽試題兩個(gè)邊長(zhǎng)相等的正方形各被分紅25個(gè)大小相同的小方格現(xiàn)2將這兩個(gè)正方形的一部分重疊起來(lái)，若左上角的暗影部分(塊狀面積為5.12cm，右下角的暗影部分(線狀面積為7.4cm2，求大正方形的面積【分析】塊

13、狀部分與線狀部分之間的部分稱(chēng)為D，則D與前者共14個(gè)方格，與后者共17個(gè)方格，所以每個(gè)19方格的面積是（）（）（cm2）25大正方形的面積為19cm2【例14】(第六屆“華杯賽”試題圖中正六邊形ABCDEF的面積是54，AP=2PF，CQ=2BQ，求暗影四邊形CEPQ的面積APFAPFBQCDEBQCDE【分析】如圖，將正六邊形ABCDEF均分為54個(gè)小正三角形依據(jù)平行四邊形對(duì)角線均分平行四邊形面積，PEF面積，CDE面積，四邊形ABQP面積上述三塊面積之和為因此，暗影四邊形CEPQ面積為板塊二三角形格點(diǎn)問(wèn)題所謂三角形格點(diǎn)多邊形是指：每相鄰三點(diǎn)成“”或“”，所形成的三角形都是等邊三角形規(guī)定它的

14、面積為1，以這樣的點(diǎn)為極點(diǎn)畫(huà)出的多邊形為三角形格點(diǎn)多邊形對(duì)于三角形格點(diǎn)多邊形的面積相同有它的計(jì)算公式：假如用S表示面積，N表示圖形內(nèi)包括的格點(diǎn)數(shù)，L表示圖形周界上的格點(diǎn)數(shù)，那么有，就是格點(diǎn)多邊形面積等于圖形內(nèi)部所包括格點(diǎn)數(shù)的2倍與周界上格點(diǎn)數(shù)的和減去2【例15】如圖(a，有21個(gè)點(diǎn)，每相鄰三個(gè)點(diǎn)成“”或“”，所形成的三角形都是等邊三角形計(jì)算三角形ABC的面積page6of9ACBBAEFD(bCBAAECRBHFD(dGC(a(c【解析】方法一：如圖(b所示，在ABC內(nèi)連結(jié)相鄰的三個(gè)點(diǎn)成DEF，再連結(jié)DC、EA、FB后是ABC可看作是由DEF分別延伸FD、DE、EF邊一倍、一倍、二倍而成的，由

15、等積變換不難得到，所以S面積單位方法二：如圖(c所示，作協(xié)助線把圖、分別移拼到、的地點(diǎn)，這樣能夠經(jīng)過(guò)數(shù)小正三角形的方法，求出ABC的面積為10方法三：如圖(d所示：作協(xié)助線可知：平行四邊形ARBE中有6個(gè)小正三角形，而ABE的面積是平行四邊形ARBE面積的一半，即SAEB，平行四邊形ADCH中有4個(gè)小正三角形，而ADC的面積是平行四邊形ADCH面積的一半，即面積單位平行四邊形FBGC中有8個(gè)FBC小正三角形，而FBC的面積是平行四邊形FBGC的一半，即：所以【堅(jiān)固】如圖，每相鄰三個(gè)點(diǎn)所形成的三角形都是面積為1的等邊三角形，計(jì)算ABC的面積AC【分析】由于；：所以面積單位【例16】求以下格點(diǎn)多邊

16、形的面積(每相鄰三個(gè)點(diǎn)“”或“”成面積為1的等邊三角形B【分析】；，S；，S；N7，S；，面積單位；面積單位；面積單位；面積單位【例17】把大正三角形每邊八均分，構(gòu)成如右圖所示的三角形網(wǎng)假如大三角形的面積是128，求圖中粗線所圍成的三角形的面積【分析】圖中有個(gè)小三角形，那么一個(gè)小三角形的面積是，圖形內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)為12，圖形周界上格點(diǎn)數(shù)為4；圖形的面積為：面積單位，從而得圖形的面積為：52【例18】如圖，假如每一個(gè)小三角形的面積是1平方厘米，那么四邊形ABCD的面積是多少平方厘米？page7of9【分析】法一：正三角形方形格點(diǎn)陣中多邊形面積公式：(2N+L-2x單位正三角形面積，此中N為圖形內(nèi)格點(diǎn)

17、數(shù)，L為圖形周界上格點(diǎn)數(shù)有N=9，L=4，所以用粗線圍成的圖形的面積為：(92+4-21=20(平方厘米法二：以以以下圖，我們先數(shù)出粗實(shí)線內(nèi)圓滿的小正三角形有10個(gè)，而將不圓滿的小正三角形分紅4部分計(jì)算，此中部分對(duì)應(yīng)的平行四邊形面積為4，所以部分的面積為2，、部分對(duì)應(yīng)的平行四邊形面積分別為2，8，6，所以、部分的面積分別為1，4，3所以粗實(shí)線內(nèi)圖形的面積為10+2+1+4+3=20(平方厘米【例19】把同一個(gè)三角形的三條邊分別5均分、7均分(如圖1，圖2，此后適合連結(jié)這些均分點(diǎn)，便獲得了若干個(gè)面積相等的小三角形已知圖1中暗影部分面積是294平方分米，那么圖2中暗影部分的面積是_平方分米【分析】圖1中暗影部分占整個(gè)三角形面積的部分的面積為294【例20】1216，圖2中暗影部分占整個(gè)三角形面積的，故圖2中暗影平方分米2549將圖中的圖形切割成面積相等的三塊【分析】如右圖所示【例21】如圖涂暗影部分的小正六角星形面積是16平方厘米，問(wèn)：大正六角星形面積是多少平方厘米？【分析】如圖，涂暗影部分的小正六角星形可分紅12個(gè)與三角形PMN全等(能圓滿重疊地放在一同的小三角形而圖中的大正六角星形除掉小正六角星形后有64=24個(gè)與三角形PMN全等的小三角形，所以大正六角星形的面是小正六角星形的3倍，即48平方厘米page8of9【例22】(第五屆