大數(shù)定律及中心極限定理

1、大數(shù)定律及中心極限定理第1頁，共59頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)35分，星期二1 在數(shù)學(xué)中大家都注意到這樣的現(xiàn)象：有時(shí)候一個(gè)有限的和很難求, 但一經(jīng)取極限由有限過渡到無限, 則問題反而好辦. 例如, 若對某一x,要計(jì)算和 而一經(jīng)取極限，則有簡單的結(jié)果 第2頁，共59頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)35分，星期二2 事實(shí)證明這是可能的，而且在一般情況下和的極限分布就是正態(tài)分布，由此可見正態(tài)分布的重要性。對和的分布收斂于正態(tài)分布的這一類極限定理的研究，在長達(dá)兩個(gè)世紀(jì)的時(shí)期內(nèi)成了概率論研究的中心課題，因此得到了“中心極限定理”的名稱。本章將列述這類定理中最簡單，然而也是最重要的情況。 第3頁

2、，共59頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)35分，星期二3 在概率論中，另一類重要的極限定理是所謂“大數(shù)定律”。 在第一章中我們已經(jīng)討論了“頻率的穩(wěn)定性”。 大量的重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的頻率接近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)實(shí)際上就是事件發(fā)生的概率?！按髷?shù)”的意思，就是指試驗(yàn)數(shù)目是大量的。 第4頁，共59頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)35分，星期二41 大數(shù)定律 隨機(jī)變量的方差是刻畫它圍繞其期望值的離散程度的，因此我們希望用方差來估計(jì)隨機(jī)變量與其期望值之間的偏差大于某一給定正數(shù)的概率的上界。 定理成立.一、切比雪夫不等式第5頁，共59頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)35分，星期二5證設(shè)X是連續(xù)型隨

3、機(jī)變量，其概率密度為f(x),則 定理成立.第6頁，共59頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)35分，星期二6上式可改寫為 切比雪夫不等式具體地估算了隨機(jī)變量X取值時(shí)，以數(shù)學(xué)期望E(X)為中心的分散程度。不難看出，方差D(X)越小，則隨機(jī)變量X的取值越集中在數(shù)學(xué)期望E(X)的附近，由此可以進(jìn)一步體會到方差的概率意義，它刻劃了隨機(jī)變量的分散程度。 如取第7頁，共59頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)35分，星期二7例1 已知正常男性成人血液中，每一毫升白細(xì)胞數(shù)平均是7300，均方差是700 . 利用切比雪夫不等式估計(jì)每毫升白細(xì)胞數(shù)在52009400之間的概率 .設(shè)每毫升白細(xì)胞數(shù)為X ，依題意，E(

4、X) = 7300, D(X) = 7002 ，解由切比雪夫不等式， 第8頁，共59頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)35分，星期二8例2 根據(jù)過去統(tǒng)計(jì)資料，某產(chǎn)品的次品率為p=0.05，試用切比雪夫不等式估計(jì)1000件產(chǎn)品中，次品數(shù)在4060之間的概率.解設(shè)X表示1000件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則 由切比雪夫不等式， 第9頁，共59頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)35分，星期二9 該數(shù)值是非常保守的估計(jì)，事實(shí)上，由中心極限定理可知，概率約為 注：第10頁，共59頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)35分，星期二10記作第11頁，共59頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)35分，星期二11幾個(gè)常見的大

5、數(shù)定律定理1（切比雪夫大數(shù)定律） 設(shè) X1,X2, 是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，它們都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即 D(Xi) C，i=1,2, ，則對任意的 有或依概率收斂第12頁，共59頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)35分，星期二12證兩邊夾,即得結(jié)論. 第13頁，共59頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)35分，星期二13解釋：取值接近于其數(shù)學(xué)期望的概率接近于1.當(dāng)n充分大時(shí)，差不多不再是隨機(jī)的了,第14頁，共59頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)35分，星期二14定理2（貝努里大數(shù)定律）或 下面給出的貝努里大數(shù)定律, 是定理1的一種特例. 設(shè)nA是n重貝努里試驗(yàn)中事件A發(fā)生的

6、次數(shù)，p是事件A發(fā)生的概率，則對任給的 ,有第15頁，共59頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)35分，星期二15引入i =1,2,n則 而 由切比雪夫大數(shù)定律，第16頁，共59頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)35分，星期二16是事件A發(fā)生的頻率， 伯努里大數(shù)定律表明，當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)n充分大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率nA/n與事件A的概率p有較大偏差的概率很小.這就是頻率穩(wěn)定性的理論解釋。 歷史上，貝努里第一個(gè)研究了這種類型的極限定理，在1713年發(fā)表的論文中(這是概率論的第一篇論文!),他建立了以上定理。所以有人認(rèn)為，概率論的真正歷史應(yīng)從出現(xiàn)貝努里大數(shù)定律的時(shí)刻算起。 第17頁，共59頁，2022

7、年，5月20日，14點(diǎn)35分，星期二17 下面給出的獨(dú)立同分布下的大數(shù)定律，不要求隨機(jī)變量的方差存在. 設(shè)隨機(jī)變量序列X1,X2, 獨(dú)立同分布，具有有限的數(shù)學(xué)期望 E(Xi) =, i=1,2,，定理3（辛欽大數(shù)定律）辛欽 辛欽大數(shù)定律為尋找隨機(jī)變量的期望值提供了一條實(shí)際可行的途徑.第18頁，共59頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)35分，星期二18 例如要估計(jì)某地區(qū)的平均畝產(chǎn)量，要收割某些有代表性的地塊，例如n 塊. 計(jì)算其平均畝產(chǎn)量，則當(dāng)n 較大時(shí)，可用它作為整個(gè)地區(qū)平均畝產(chǎn)量的一個(gè)估計(jì).第19頁，共59頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)35分，星期二19例3解切比雪夫大數(shù)定理?xiàng)l件有兩條：

8、 1、隨機(jī)變量序列要相互獨(dú)立； 2、各個(gè)隨機(jī)變量的方差均存在且有界. 四個(gè)選項(xiàng)中，獨(dú)立性條件均滿足，但惟獨(dú)(D)中， 故選(D).第20頁，共59頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)35分，星期二20 將一枚均勻?qū)ΨQ的骰子重復(fù)擲n次，則當(dāng)n 時(shí)，求n次擲出點(diǎn)數(shù)的算術(shù)平均值依概率收斂的極限 例4解其共同的數(shù)學(xué)期望為 第21頁，共59頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)35分，星期二21練習(xí)：P104 習(xí)題 5-1 1. 第22頁，共59頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)35分，星期二222 中心極限定理 中心極限定理從理論上證明，對于大量的獨(dú)立隨機(jī)變量來說，只要每個(gè)隨機(jī)變量在總和中所占比重很小，那么

9、不論其中各個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)是什么形狀，也不論它們是已知還是未知，而它們的和的分布函數(shù)必然和正態(tài)分布函數(shù)很近似。這就是為什么實(shí)際中遇到的隨機(jī)變量很多都服從正態(tài)分布的原因，也正因如此，正態(tài)分布在概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)中占有極其重要的地位。 第23頁，共59頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)35分，星期二23下面介紹幾個(gè)常用的中心極限定理。 在概率論中，習(xí)慣于把和的分布收斂于正態(tài)分布這一類定理都叫做中心極限定理.第24頁，共59頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)35分，星期二24 由于無窮個(gè)隨機(jī)變量之和可能趨于，故我們不直接研究n個(gè)隨機(jī)變量之和，本身而考慮它的標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量的分布函數(shù)的極限.第25頁

10、，共59頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)35分，星期二25列維一林德伯格中心極限定理第26頁，共59頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)35分，星期二26（證略） 第27頁，共59頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)35分，星期二27此定理說明,當(dāng)n充分大時(shí),有 或第28頁，共59頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)35分，星期二28 將n個(gè)觀測數(shù)據(jù)相加時(shí)，首先對小數(shù)部分按“四舍五入”舍去小數(shù)位后化為整數(shù)試?yán)弥行臉O限定理估計(jì)， 例1解(1) 當(dāng)n=1500時(shí),舍入誤差之和的絕對值大于15的概率； (2) n滿足何條件時(shí)，能以不小于0.90的概率使舍入誤差 之和的絕對值小于10 根據(jù)列維-林德伯格

11、中心極限定理，當(dāng)n充分大時(shí) 第29頁，共59頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)35分，星期二29(1)第30頁，共59頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)35分，星期二30(2)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)n應(yīng)滿足條件： 即當(dāng) 時(shí)，才能使誤差之和的絕對值小于10的概率不小于0.90 第31頁，共59頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)35分，星期二31 一生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重量是隨機(jī)的,假設(shè)每箱的平均重50千克,標(biāo)準(zhǔn)差5千克. 若用最大載重量為5噸的汽車承運(yùn),試?yán)弥行臉O限定理說明每輛車最多可以裝多少箱,才能保證不超載的概率大于0.977.例2解由列維-林德伯格中心極限定理,有 總重量第32頁，共59頁

12、，2022年，5月20日，14點(diǎn)35分，星期二32所以n必須滿足即最多可以裝98箱. 第33頁，共59頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)35分，星期二33下面給出上述定理的一個(gè)重要特例。 棣莫弗-拉普拉斯(De Moivre-Laplace)中心極限定理證由列維一林德伯格定理可知， 第34頁，共59頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)35分，星期二34由列維一林德伯格定理可知， 第35頁，共59頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)35分，星期二35由列維一林德伯格定理可知， 第36頁，共59頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)35分，星期二36或即有近似計(jì)算公式 第37頁，共59頁，2022年，5月

13、20日，14點(diǎn)35分，星期二37例3 設(shè)在某保險(xiǎn)公司有1萬個(gè)人參加投保，每人每年付120元保險(xiǎn)費(fèi). 在一年內(nèi)一個(gè)人死亡的概率為0.006，死亡時(shí)其家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得1萬元，問: (1) 該保險(xiǎn)公司虧本的概率為多少? (2) 該保險(xiǎn)公司一年的利潤不少于40,60,80萬元的概率各是多少? 解設(shè)一年內(nèi)死亡的人數(shù)為X,則 由D-L中心極限定理, 即該保險(xiǎn)公司虧本的概率幾乎為0. 第38頁，共59頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)35分，星期二38第39頁，共59頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)35分，星期二39 (供電問題)某車間有200臺車床,在生產(chǎn)期間由于需要檢修、調(diào)換刀具、變換位置及調(diào)換零

14、件等常需停車. 設(shè)開工率為0.6, 并設(shè)每臺車床的工作是獨(dú)立的，且在開工時(shí)需電力1千瓦.問應(yīng)供應(yīng)多少瓦電力就能以99.9%的概率保證該車間不會因供電不足而影響生產(chǎn)?例4解某一時(shí)刻開動的車床數(shù) 要求最小的k,使 由D-L中心極限定理, 第40頁，共59頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)35分，星期二40查表得 所以若供電141.5千瓦，那么由于供電不足而影響生產(chǎn)的可能性不到0.001，相當(dāng)于8小時(shí)內(nèi)約有半分鐘受影響，這一般是允許的。 第41頁，共59頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)35分，星期二41例5 某產(chǎn)品次品率 p = 0.05, 試估計(jì)在1000件產(chǎn)品中次品數(shù)在 4060 之間的概率

15、.解次品數(shù)由D-L中心極限定理, 第42頁，共59頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)35分，星期二42次品數(shù)注由切比雪夫不等式, 顯然這是過于保守的估計(jì). 第43頁，共59頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)35分，星期二43解例6 已知生男孩的概率為0.515，試用中心極限定理求在10000個(gè)新生嬰兒中女孩不少于男孩的概率。 設(shè)X為10000個(gè)新生嬰兒中男孩的個(gè)數(shù), 由D-L中心極限定理, 所以第44頁，共59頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)35分，星期二44練習(xí)：P107 習(xí)題 5-2 1. 第45頁，共59頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)35分，星期二45補(bǔ)充題：3.某射手打靶,得10

16、分、9分、8分、7分、6分的概率分別為0.5,0.3,0.1,0.05,0.05. 現(xiàn)獨(dú)立射擊100次,求總分在900分與930分之間的概率 .第46頁，共59頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)35分，星期二46解由中心極限定理知,第47頁，共59頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)35分，星期二47解由中心極限定理知,第48頁，共59頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)35分，星期二48解由中心極限定理， 3.某射手打靶,得10分、9分、8分、7分、6分的概率分別為0.5,0.3,0.1,0.05,0.05. 現(xiàn)獨(dú)立射擊100次,求總分在900分與930分之間的概率 .第49頁，共59頁，202

17、2年，5月20日，14點(diǎn)35分，星期二49習(xí)題課第50頁，共59頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)35分，星期二501、將一枚硬幣拋擲10000次，出現(xiàn)正面5800次，是否有理由認(rèn)為這枚硬幣不均勻? 解: 設(shè)X為10000次試驗(yàn)中出現(xiàn)正面的次數(shù)，若硬幣是均勻的, 則XB(10000, 0.5),由D-L定理, 此概率接近于0，故認(rèn)為這枚硬幣不均勻是合理的 .第51頁，共59頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)35分，星期二512、假設(shè)生產(chǎn)線組裝每件成品的時(shí)間服從指數(shù)分布,統(tǒng)計(jì)資料表明每件成品的組裝時(shí)間平均為10分鐘.設(shè)各件產(chǎn)品的組裝時(shí)間相互獨(dú)立. (1)試求組裝100件成品需要15到20小時(shí)的概

18、率； (2)以95%的概率在16小時(shí)內(nèi)最多可以組裝多少件成品? 解設(shè)第i件組裝的時(shí)間為Xi分鐘,i=1,100. 利用獨(dú)立同分布中心極限定理. (1)第52頁，共59頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)35分，星期二52(2)查表得 解得故最多可組裝81件成品。 第53頁，共59頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)35分，星期二53 諸Xk 獨(dú)立同分布，且期望存在，故能使用大數(shù)定律, 解k=1,2, E(Xk)=0.1, 在一個(gè)罐子中,裝有10個(gè)編號為0-9的同樣的球, 從罐中有放回地抽取若干次，每次抽一個(gè)，并記下號碼.3.問對序列Xk,能否應(yīng)用大數(shù)定律？(1)設(shè)k = 1,2, 第54頁，共59頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)35分，星期二54(2) 至少應(yīng)取球多少次才能使“0”出現(xiàn)的頻率在0.09-0.11之間的概率至少是0.95?設(shè)應(yīng)取球n次，0出現(xiàn)頻率為由中心極限定理,解第55頁，共59頁，2022年，5月20日