初中數(shù)學(xué)竟賽輔導(dǎo)資料 反證法

1、初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料反證法甲內(nèi)容提要1. 反證法是一種間接的證明方法。它的根據(jù)是原命題和逆否命題是等價(jià)命題，當(dāng)一個(gè)命題不易直接證明時(shí)，釆取證明它的逆否命題。2. 一個(gè)命題和它的逆否命題是等價(jià)命題，可表示為：AB例如 原命題：對(duì)頂角相等 (真命題)逆否命題：不相等的角不可能是對(duì)頂角(真命題)又如 原命題：同位角相等，兩直線平行 (真命題)逆否命題：兩直線不平行，它們的同位角必不相等(真命題)3. 用反證法證明命題，一般有三個(gè)步驟：1 反設(shè)假設(shè)命題的結(jié)論不成立（即假設(shè)命題結(jié)論的反面成立）2 歸謬推出矛盾（和已知或?qū)W過的定義、定理、公理相矛盾）3 結(jié)論從而得出命題結(jié)論正確例如：求證兩直線平行。用反證

2、法證明時(shí)1 假設(shè)這兩直線不平行；2 從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；從而肯定，非平行不可。乙例題例1兩直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩直線平行已知：如圖12 A 1 B 求證：ABCD 證明：設(shè)AB與CD不平行 C 2 D 那么它們必相交，設(shè)交點(diǎn)為M D 這時(shí)，1是GHM的外角 A 1 M B 12 G 這與已知條件相矛盾 2 AB與CD不平行的假設(shè)不能成立 H ABCD C例2.求證兩條直線相交只有一個(gè)交點(diǎn)證明：假設(shè)兩條直線相交有兩個(gè)交點(diǎn)，那么這兩條直線都經(jīng)過相同的兩個(gè)點(diǎn)，這與“經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線”的直線公理相矛盾，所以假設(shè)不能成立，因此兩條直線相交只有一個(gè)交點(diǎn)。

3、（從以上兩例看出，證明中的三個(gè)步驟，最關(guān)鍵的是第二步推出矛盾。但有的題目，第一步“反設(shè)”也要認(rèn)真對(duì)待）。例3.已知：m2是3的倍數(shù)，求證：m 也是3的倍數(shù)證明：設(shè)m 不是3的倍數(shù)，那么有兩種情況：m=3k+1或m= 3k+2 (k是整數(shù))當(dāng)m=3k+1時(shí)，m2（3k+1）29k2+6k+1=3(3k2+2k)+1 當(dāng)m=3k+2時(shí)，m2（3k+2）29k212k+4=3(3k2+4k+1)+1即不論哪一種，都推出m2不是3的倍數(shù)，這和已知條件相矛盾，所以假設(shè)不能成立。m2是3的倍數(shù)時(shí)，m 也是3的倍數(shù)例4.求證：不是有理數(shù)證明：假設(shè)是有理數(shù)，那么（a,b是互質(zhì)的整數(shù)），=,（）22， a2=2

4、b2, a2是偶數(shù)，a2是偶數(shù)， a也是偶數(shù)，設(shè)a=2k（k是整數(shù)）,a2=4k2, 由a2=2b2, 得 b2=a2=2k2, b2是偶數(shù)， b也是偶數(shù)那么a、b都是偶數(shù)，這和“a,b是互質(zhì)數(shù)”的條件相矛盾，故假設(shè)不能成立不是有理數(shù)例5.若n是正整數(shù)，則分?jǐn)?shù)是既約分?jǐn)?shù)（即最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，分子與分母沒有公約數(shù)）證明：設(shè)不是既約分?jǐn)?shù)，那么它的分子、分母有公約數(shù)，設(shè)公約數(shù)為k（k1）, 且k,a,b都是正整數(shù)，即，3bk-2ak=1 , (3b-2a)k=1整數(shù)的和、差、積仍是整數(shù)，且只有乘數(shù)和被乘數(shù)都是1時(shí)，積才能等于1 3b-2a=1, k=1分子、分母有公約數(shù)的假設(shè)不能成立因此分?jǐn)?shù)是既約分?jǐn)?shù)丙練習(xí)

5、341.寫出下列各命題結(jié)論的反面：命題的結(jié)論 結(jié)論的反面直線a b線段m=na2是偶數(shù)A是銳角點(diǎn)A在O上A，B，C至少有1個(gè)大于或等于60正整數(shù)m是5的倍數(shù)方程沒有有理數(shù)根至少有一個(gè)方程兩根不相等2.已知：平面內(nèi)三個(gè)點(diǎn)A，B，C滿足ABBCAC，求證：A，B，C三點(diǎn)在同一直線上3.求證：等腰三角形的底角是銳角4. 求證：一個(gè)圓的圓心只有一個(gè)5. 求證：三角形至少有一個(gè)內(nèi)角大于或等于60度 6. 如果a2奇數(shù)，那么a也是奇數(shù) （仿例3）7. 求證：沒有一個(gè)有理數(shù)的平方等于3 (仿例4)8. 已知a,b,c都是正整數(shù)，且a2+b2=c2( 即a,b,c 是勾股數(shù))求證a,b,c至少有一個(gè)偶數(shù)2 a

6、,b,c中至少有一個(gè)能被3整除9.求證二元一次方程8x+15y=50沒有正整數(shù)解10.求證 方程x2+y2=1991 沒有整數(shù)解11.把1600粒花生分給100只猴子，至少有4只猴子分得的花生一樣多12.已知：四邊形ABCD中，AB+BDAC+CD 求證：ABn或m0, n=1,2,3 但這時(shí)m都不是整數(shù)，7. 設(shè)有整數(shù)解x=a, y=b按奇數(shù)、偶數(shù)分類討論右邊1991是奇數(shù)，顯然，a,b不能同偶數(shù)，也不能同奇數(shù)，設(shè)a,b一奇一偶，a=2m, b=2n+1 (m,n都是整數(shù))那么左邊（2m）2+(2n+1)24(m2+n2+n)+1即左邊是除以4余1，而右邊是除以4余3，11.反設(shè)：最多只有3只猴子分得一樣多，13.設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)（x1,0）,(x2,0)都在X軸的正半軸上，即x10, x20那么x1x20,且x1x20這個(gè)不等式組無(wú)解，即這個(gè)假設(shè)不能成立，1. 設(shè)有有理數(shù)根（n 是整數(shù)，m是正整數(shù)且m,n是互質(zhì)的）即a()2+b()+c=0, m,n不能同偶數(shù)外，按奇數(shù)、偶數(shù)分3