2012年上海高考數(shù)學(xué)真題（文科）試卷（解析版）

1、絕密啟用前 2012年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（上海卷）數(shù)學(xué)試卷(文史類)（滿分150分，考試時間120分鐘）考生注意1.本場考試時間120分鐘，試卷共4頁，滿分150分，答題紙共2頁.2.作答前，在答題紙正面填寫姓名、準考證號，反面填寫姓名，將核對后的條形碼貼在答題紙指定位置.3.所有作答務(wù)必填涂或書寫在答題紙上與試卷題號對應(yīng)的區(qū)域，不得錯位.在試卷上作答一律不得分.4.用2B鉛筆作答選擇題，用黑色字跡鋼筆、水筆或圓珠筆作答非選擇題. 一、填空題（本大題共有14題，滿分56分） 1計算：= （i為虛數(shù)單位）. 2若集合，則= . 3函數(shù)的最小正周期是 . 4若是直線的一個方向向量，則的傾

2、斜角的大小為 （結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）. 5一個高為2的圓柱，底面周長為2，該訴表面積為 . 6方程的解是 .7有一列正方體，棱長組成以1為首項，為公比的等比數(shù)列，體積分別記為V1,V2,Vn,，則 . 8在的二項展開式中，常數(shù)項等于 .9已知是奇函數(shù). 若且.，則 .OMxl10滿足約束條件的目標函數(shù)的最小值是 .11三位同學(xué)參加跳高、跳遠、鉛球項目的比賽.若每人只選擇一個項目，則有且僅有兩人選擇的項目完全相同的概率是 （結(jié)果用最簡分數(shù)表示）.12在知形ABCD中，邊AB、AD的長分別為2、1. 若M、N分別是邊BC、CD上的點，且滿足，則的取值范圍是 .13已知函數(shù)的圖像是折線段ABC，

3、若中A(0,0)，B(,1)，C(1,0).函數(shù)的圖像與x軸圍成的圖形的面積為 .14已知.各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足，.若 ，則的值是 .二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分）15若是關(guān)于x的實系數(shù)方程的一個復(fù)數(shù)根，則（ ）（A）.（B）.（C）.（D）.16對于常數(shù)、，“”是“方程的曲線是橢圓”的（ ）（A）充分不必要條件.（B）必要不充分條件（C）充分必要條件.（D）既不充分也不必要條件.17在中，若，則的形狀是（ ）（A）鈍角三角形.（B）直角三角形（C）銳角三角形.（D）不能確定.18若，則在中，正數(shù)的個數(shù)是（ ）（A）16.（B）72.（C）86.（D）100.三、解答題（本大題共有

4、5題，滿分74分）PABCD19如圖，在三棱錐P-ABC中，PA底面ABC，D是PC的中點.已知BAC=，AB=2，AC=2，PA=2.求：（1）三棱錐P-ABC的體積；（6分）（2）異面直線BC與AD所成的角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）.（6分）20已知函數(shù). （1）若，求的取值范圍；（6分） （2）若是以2為周期的偶函數(shù)，且當時，有，求函數(shù)的反函數(shù).（8分）xOyPA21海事救援船對一艘失事船進行定位：以失事船的當前位置為原點，以正北方向為y軸正方向建立平面直角坐標系（以1海里為單位長度），則救援船恰在失事船的正南方向12海里A處，如圖. 現(xiàn)假設(shè)：失事船的移動路徑可視為拋物線；定位后救

5、援船即刻沿直線勻速前往救援；救援船出發(fā)小時后，失事船所在位置的橫坐標為. （1）當時，寫出失事船所在位置P的縱坐標. 若此時兩船恰好會合，求救援船速度的大小和方向；（6分） （2）問救援船的時速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）22在平面直角坐標系中，已知雙曲線. （1）設(shè)F是C的左焦點，M是C右支上一點. 若|MF|=2，求過M點的坐標；（5分）（2）過C的左頂點作C的兩條漸近線的平行線，求這兩組平行線圍成的平行四邊形的面積；（5分） （3）設(shè)斜率為的直線l交C于P、Q兩點，若l與圓相切，求證：OPOQ；（6分）23對于項數(shù)為m的有窮數(shù)列數(shù)集，記（k=1,2,m），即為中的最大值，并稱數(shù)

6、列是的控制數(shù)列.如1,3,2,5,5的控制數(shù)列是1,3,3,5,5. （1）若各項均為正整數(shù)的數(shù)列的控制數(shù)列為2,3,4,5,5，寫出所有的；（4分） （2）設(shè)是的控制數(shù)列，滿足（C為常數(shù)，k=1,2,m）.求證：（k=1,2,m）；（6分） （3）設(shè)m=100，常數(shù).若，是的控制數(shù)列，求.2012年上海高考數(shù)學(xué)（文科）試卷解答 一、填空題（本大題共有14題，滿分56分） 1計算：= 1-2i （i為虛數(shù)單位）. 2若集合，則= . 3函數(shù)的最小正周期是 . 4若是直線的一個方向向量，則的傾斜角的大小為（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）. 5一個高為2的圓柱，底面周長為2，該訴表面積為 6 . 6方程

7、的解是.7有一列正方體，棱長組成以1為首項，為公比的等比數(shù)列，體積分別記為V1,V2,Vn,，則 . 8在的二項展開式中，常數(shù)項等于 -20 .9已知是奇函數(shù). 若且.，則 3 .10滿足約束條件的目標函數(shù)的最小值是 -2 .11三位同學(xué)參加跳高、跳遠、鉛球項目的比賽.若每人只選擇一個項目，則有且僅有兩人選擇的項目完全相同的概率是（結(jié)果用最簡分數(shù)表示）.12在知形ABCD中，邊AB、AD的長分別為2、1. 若M、N分別是邊BC、CD上的點，且滿足，則的取值范圍是 1, 4 .13已知函數(shù)的圖像是折5線段ABC，若中A(0,0)，B(,1)，C(1,0).函數(shù)的圖像與x軸圍成的圖形的面積為 .1

8、4已知.各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足，.若 ，則的值是.二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分）15若是關(guān)于x的實系數(shù)方程的一個復(fù)數(shù)根，則（ D ）（A）.（B）.（C）.（D）.16對于常數(shù)、，“”是“方程的曲線是橢圓”的（ B ）（A）充分不必要條件.（B）必要不充分條件（C）充分必要條件.（D）既不充分也不必要條件.17在中，若，則的形狀是（ A ）（A）鈍角三角形.（B）直角三角形.（C）銳角三角形.（D）不能確定.18若，則在中，正數(shù)的個數(shù)是（ C ）（A）16.（B）72.（C）86.（D）100.三、解答題（本大題共有5題，滿分74分）PABCD19如圖，在三棱錐P-ABC中，PA底面

9、ABC，D是PC的中點.已知BAC=，AB=2，AC=2，PA=2.求：（1）三棱錐P-ABC的體積；（6分）（2）異面直線BC與AD所成的角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）.（6分）解（1）， 2分PABCDE 三棱錐P-ABC的體積為. 6分 （2）取PB的中點E，連接DE、AE，則 EDBC，所以ADE（或其補角）是異面直線 BC與AD所成的角. 8分 在三角形ADE中，DE=2，AE=，AD=2， ，所以ADE=. 因此，異面直線BC與AD所成的角的大小是. 12分20已知函數(shù). （1）若，求的取值范圍；（6分） （2）若是以2為周期的偶函數(shù)，且當時，有，求函數(shù)的反函數(shù).（8分）解（1

10、）由，得. 由得. 3分 因為，所以，. 由得. 6分 （2）當x1,2時，2-x0,1，因此. 10分由單調(diào)性可得.因為，所以所求反函數(shù)是，. 14分21海事救援船對一艘失事船進行定位：以失事船的當前位置為原點，以正北方向為y軸xOyPA正方向建立平面直角坐標系（以1海里為單位長度），則救援船恰在失事船的正南方向12海里A處，如圖. 現(xiàn)假設(shè)：失事船的移動路徑可視為拋物線；定位后救援船即刻沿直線勻速前往救援；救援船出發(fā)小時后，失事船所在位置的橫坐標為. （1）當時，寫出失事船所在位置P的縱坐標. 若此時兩船恰好會合，求救援船速度的大小和方向；（6分） （2）問救援船的時速至少是多少海里才能追上

11、失事船？（8分）解（1）時，P的橫坐標xP=，代入拋物線方程 中，得P的縱坐標yP=3. 2分 由|AP|=，得救援船速度的大小為海里/時. 4分 由tanOAP=，得OAP=arctan，故救援船速度的方向 為北偏東arctan弧度. 6分 （2）設(shè)救援船的時速為海里，經(jīng)過小時追上失事船，此時位置為. 由，整理得.10分 因為，當且僅當=1時等號成立， 所以，即. 因此，救援船的時速至少是25海里才能追上失事船. 14分22在平面直角坐標系中，已知雙曲線. （1）設(shè)F是C的左焦點，M是C右支上一點. 若|MF|=2，求過M點的坐標；（5分）（2）過C的左頂點作C的兩條漸近線的平行線，求這兩組

12、平行線圍成的平行四邊形的面積；（5分） （3）設(shè)斜率為的直線l2交C于P、Q兩點，若l與圓相切，求證：OPOQ；（6分）解（1）雙曲線，左焦點. 設(shè)，則， 2分 由M是右支上一點，知，所以，得. 所以. 5分 （2）左頂點，漸近線方程：. 過A與漸近線平行的直線方程為：，即. 解方程組，得. 8分 所求平行四邊形的面積為. 10分 （3）設(shè)直線PQ的方程是.因直線與已知圓相切，故，即 (*).由，得. 設(shè)P(x1, y1)、Q(x2, y2)，則. ，所以 . 由(*)知，所以O(shè)POQ. 16分23對于項數(shù)為m的有窮數(shù)列數(shù)集，記（k=1,2,m），即為中的最大值，并稱數(shù)列是的控制數(shù)列.如1,3

13、,2,5,5的控制數(shù)列是1,3,3,5,5. （1）若各項均為正整數(shù)的數(shù)列的控制數(shù)列為2,3,4,5,5，寫出所有的；（4分） （2）設(shè)是的控制數(shù)列，滿足（C為常數(shù)，k=1,2,m）.求證：（k=1,2,m）；（6分） （3）設(shè)m=100，常數(shù).若，是的控制數(shù)列，求.解（1）數(shù)列為：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3； 2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5. 4分 （2）因為， 所以. 6分 因為， 所以，即. 8分 因此，. 10分 （3）對，； ；. 比較大小，可得. 12分 因為，所以，即； ，即. 又，從而，. 15分

14、因此 = = =. 18分2012上海高考數(shù)學(xué)試題（文科）答案與解析填空題（本大題共有14題，滿分56分）1計算：= （i為虛數(shù)單位）.【答案】1-2i【解析】=1-2i【點評】本題著重考查復(fù)數(shù)的除法運算，首先將分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，凈分母實數(shù)化即可。 2若集合，則= .【答案】【解析】由集合A可得：x，由集合B可得：-1經(jīng)b0，a0.三.數(shù)列24.解決一些等比數(shù)列的前項和問題，你注意到要對公比及兩種情況進行討論了嗎?25.在“已知，求”的問題中,你在利用公式時注意到了嗎?(時，應(yīng)有)需要驗證，有些題目通項是分段函數(shù)。26.你知道存在的條件嗎?(你理解數(shù)列、有窮數(shù)列、無窮數(shù)列的概念嗎

15、?你知道無窮數(shù)列的前項和與所有項的和的不同嗎?什么樣的無窮等比數(shù)列的所有項的和必定存在?27.數(shù)列單調(diào)性問題能否等同于對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性問題?(數(shù)列是特殊函數(shù)，但其定義域中的值不是連續(xù)的。)28.應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法一要注意步驟齊全，二要注意從到過程中，先假設(shè)時成立，再結(jié)合一些數(shù)學(xué)方法用來證明時也成立。四. HYPERLINK /search.aspx t /content/19/1226/14/_blank 三角函數(shù)29.正角、負角、零角、象限角的概念你清楚嗎?，若角的終邊在坐標軸上，那它歸哪個象限呢?你知道銳角與第一象限的角;終邊相同的角和相等的角的區(qū)別嗎?30.三角函數(shù)的定義及單位圓內(nèi)的三角函數(shù)

16、線(正弦線、余弦線、正切線)的定義你知道嗎?31.在解三角問題時，你注意到正切函數(shù)、余切函數(shù)的定義域了嗎?你注意到正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的有界性了嗎?32.你還記得三角化簡的通性通法嗎?(切割化弦、降冪公式、用三角公式轉(zhuǎn)化出現(xiàn)特殊角.異角化同角，異名化同名，高次化低次)33.反正弦、反余弦、反正切函數(shù)的取值范圍分別是34.你還記得某些特殊角的三角函數(shù)值嗎?35.掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)及正切函數(shù)的圖象和性質(zhì).你會寫三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間嗎?會寫簡單的三角不等式的解集嗎?(要注意數(shù)形結(jié)合與書寫規(guī)范,可別忘了)，你是否清楚函數(shù)的圖象可以由函數(shù)經(jīng)過怎樣的變換得到嗎?36.函數(shù)的圖象的平移，方程的平移以及點的平

17、移公式易混：(1)函數(shù)的圖象的平移為“左+右-，上+下-”;如函數(shù)的圖象左移2個單位且下移3個單位得到的圖象的解析式為，即.(2)方程表示的圖形的平移為“左+右-，上-下+”;如直線左移2個個單位且下移3個單位得到的圖象的解析式為，即.(3)點的平移公式：點按向量平移到點，則.37.在三角函數(shù)中求一個角時，注意考慮兩方面了嗎?(先求出某一個三角函數(shù)值，再判定角的范圍)38.形如的周期都是，但的周期為。39.正弦定理時易忘比值還等于2R.五.平面向量40.數(shù)0有區(qū)別，的模為數(shù)0，它不是沒有方向，而是方向不定。可以看成與任意向量平行，但與任意向量都不垂直。41.數(shù)量積與兩個實數(shù)乘積的區(qū)別：在實數(shù)中

18、：若，且ab=0,則b=0,但在向量的數(shù)量積中，若，且，不能推出.已知實數(shù)，且，則a=c,但在向量的數(shù)量積中沒有.在實數(shù)中有，但是在向量的數(shù)量積中，這是因為左邊是與共線的向量，而右邊是與共線的向量.42.是向量與平行的充分而不必要條件，是向量和向量夾角為鈍角的必要而不充分條件。六.解析幾何43.在用點斜式、斜截式求直線的方程時，你是否注意到不存在的情況?44.用到角公式時，易將直線l1、l2的斜率k1、k2的順序弄顛倒。45.直線的傾斜角、到的角、與的夾角的取值范圍依次是。46.定比分點的坐標公式是什么?(起點，中點，分點以及值可要搞清)，在利用定比分點解題時，你注意到了嗎?47.對不重合的兩

19、條直線(建議在解題時，討論后利用斜率和截距)48.直線在兩坐標軸上的截距相等，直線方程可以理解為，但不要忘記當時，直線在兩坐標軸上的截距都是0，亦為截距相等。49.解決線性規(guī)劃問題的基本步驟是什么?請你注意解題格式和完整的文字表達.(設(shè)出變量，寫出目標函數(shù)寫出線性約束條件畫出可行域作出目標函數(shù)對應(yīng)的系列平行線，找到并求出最優(yōu)解應(yīng)用題一定要有答。)50.三種圓錐曲線的定義、圖形、標準方程、幾何性質(zhì)，橢圓與雙曲線中的兩個特征三角形你掌握了嗎?51.圓、和橢圓的參數(shù)方程是怎樣的?常用參數(shù)方程的方法解決哪一些問題?52.利用圓錐曲線第二定義解題時，你是否注意到定義中的定比前后項的順序?如何利用第二定義

20、推出圓錐曲線的焦半徑公式?如何應(yīng)用焦半徑公式?53.通徑是拋物線的所有焦點弦中最短的弦.(想一想在雙曲線中的結(jié)論?)54.在用圓錐曲線與直線聯(lián)立求解時，消元后得到的方程中要注意：二次項的系數(shù)是否為零?橢圓，雙曲線二次項系數(shù)為零時直線與其只有一個交點，判別式的限制.(求交點，弦長，中點，斜率，對稱，存在性問題都在下進行).55.解析幾何問題的求解中，平面幾何知識利用了嗎?題目中是否已經(jīng)有坐標系了，是否需要建立直角坐標系?七.立體幾何56.你掌握了空間圖形在平面上的直觀畫法嗎?(斜二測畫法)。57.線面平行和面面平行的定義、判定和性質(zhì)定理你掌握了嗎?線線平行、線面平行、面面平行這三者之間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)

21、化在解決立幾問題中的應(yīng)用是怎樣的?每種平行之間轉(zhuǎn)換的條件是什么?58.三垂線定理及其逆定理你記住了嗎?你知道三垂線定理的關(guān)鍵是什么嗎?(一面、四線、三垂直、立柱即面的垂線是關(guān)鍵)一面四直線，立柱是關(guān)鍵，垂直三處見59.線面平行的判定定理和性質(zhì)定理在應(yīng)用時都是三個條件，但這三個條件易混為一談;面面平行的判定定理易把條件錯誤地記為”一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行”而導(dǎo)致證明過程跨步太大.60.求兩條異面直線所成的角、直線與平面所成的角和二面角時，如果所求的角為90，那么就不要忘了還有一種求角的方法即用證明它們垂直的方法.61.異面直線所成角利用“平移法”求解時，一定要

22、注意平移后所得角等于所求角(或其補角)，特別是題目告訴異面直線所成角，應(yīng)用時一定要從題意出發(fā)，是用銳角還是其補角，還是兩種情況都有可能。62.你知道公式：和中每一字母的意思嗎?能夠熟練地應(yīng)用它們解題嗎?63.兩條異面直線所成的角的范圍：090直線與平面所成的角的范圍：0o90二面角的平面角的取值范圍：018064.你知道異面直線上兩點間的距離公式如何運用嗎?65.平面圖形的翻折，立體圖形的展開等一類問題，要注意翻折，展開前后有關(guān)幾何元素的“不變量”與“不變性”。66.立幾問題的求解分為“作”，“證”，“算”三個環(huán)節(jié)，你是否只注重了“作”，“算”，而忽視了“證”這一重要環(huán)節(jié)?67.棱柱及其性質(zhì)、平行六面體與長方體及其性質(zhì).這些知識你掌握了嗎?(注意運用向量的方法解題)68.球及其性質(zhì);經(jīng)緯度定義易