復(fù)變函數(shù)傅立葉變換

1、復(fù)變函數(shù)傅立葉變換第1頁，共56頁，2022年，5月20日，22點53分，星期二 所謂積分變換,就是把某函數(shù)類A中的函數(shù)(象原函數(shù)) 乘上一個確定的二元函數(shù) ,然后計算積分,即 這樣變成另一個函數(shù)類B中的函數(shù)(象函數(shù)).根據(jù)選取的二元函數(shù)(核函數(shù))不同,就得到不同名稱的積分變換.第2頁，共56頁，2022年，5月20日，22點53分，星期二7.1傅里葉變換的概念與性質(zhì)第3頁，共56頁，2022年，5月20日，22點53分，星期二41、 連續(xù)或只有有限個第一類間斷點2、 只有有限個極值點 這兩個條件實際上就是要保證函數(shù)是可積函數(shù). 在高等數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)傅里葉級數(shù)時知道，研究周期函數(shù)實際上只須研究其中

2、的一個周期內(nèi)的情況即可, 通常研究在閉區(qū)間-T/2,T/2內(nèi)函數(shù)變化的情況. 并非理論上的所有周期函數(shù)都可以用傅里葉級數(shù)逼近, 而是要滿足狄利克雷(Dirichlet)條件, 即在區(qū)間-T/2,T/2上第4頁，共56頁，2022年，5月20日，22點53分，星期二5因此, 任何滿足狄氏條件的周期函數(shù) , 可表示為三角級數(shù)的形式如下:第5頁，共56頁，2022年，5月20日，22點53分，星期二6而利用三角函數(shù)的指數(shù)形式可將級數(shù)表示為:其中第6頁，共56頁，2022年，5月20日，22點53分，星期二7如圖所示:1-1otf(t)1第7頁，共56頁，2022年，5月20日，22點53分，星期二8

3、1-13T=4f4(t)t現(xiàn)以f(t)為基礎(chǔ)構(gòu)造一周期為T的周期函數(shù)fT(t), 令T=4, 則第8頁，共56頁，2022年，5月20日，22點53分，星期二9第9頁，共56頁，2022年，5月20日，22點53分，星期二10第10頁，共56頁，2022年，5月20日，22點53分，星期二11sinc(x)x第11頁，共56頁，2022年，5月20日，22點53分，星期二12w第12頁，共56頁，2022年，5月20日，22點53分，星期二131-17T=8f8(t)t第13頁，共56頁，2022年，5月20日，22點53分，星期二14第14頁，共56頁，2022年，5月20日，22點53分，

4、星期二15w第15頁，共56頁，2022年，5月20日，22點53分，星期二16w第16頁，共56頁，2022年，5月20日，22點53分，星期二17第17頁，共56頁，2022年，5月20日，22點53分，星期二18第18頁，共56頁，2022年，5月20日，22點53分，星期二19第19頁，共56頁，2022年，5月20日，22點53分，星期二20Otf(t)OtfT1(t)OtfT2(t)第20頁，共56頁，2022年，5月20日，22點53分，星期二21第21頁，共56頁，2022年，5月20日，22點53分，星期二22O w1 w2 w3 wn-1wnw第22頁，共56頁，2022年

5、，5月20日，22點53分，星期二23第23頁，共56頁，2022年，5月20日，22點53分，星期二24此公式稱為函數(shù)f(t)的傅里葉積分公式, 簡稱傅氏積分公式,而等號右端的積分式稱為 的傅里葉積分(簡稱傅氏積分).第24頁，共56頁，2022年，5月20日，22點53分，星期二 若函數(shù) 在任何有限區(qū)間上滿足狄氏條件（即函數(shù)在任何有限區(qū)間上滿足：(1）連續(xù)或只有有限個第一類間斷點；(2) 至多有有限個極值點）,并且在 上絕對可積，則有： 為連續(xù)點 為間斷點第25頁，共56頁，2022年，5月20日，22點53分，星期二26第26頁，共56頁，2022年，5月20日，22點53分，星期二27

6、最后這個式子就是傅里葉積分的三角形式第27頁，共56頁，2022年，5月20日，22點53分，星期二也叫做 的傅氏積分表達(dá)式 如果函數(shù) 滿足傅里葉積分定理,由傅里葉積分公式,設(shè)叫做的傅氏變換,象函數(shù),可記做 = 叫做的傅氏逆變換,象原函數(shù),=第28頁，共56頁，2022年，5月20日，22點53分，星期二解第29頁，共56頁，2022年，5月20日，22點53分，星期二解這個指數(shù)衰減函數(shù)是工程技術(shù)中常遇到的一個函數(shù) tf(t)第30頁，共56頁，2022年，5月20日，22點53分，星期二 若 上式右端為于是第31頁，共56頁，2022年，5月20日，22點53分，星期二 在物理和工程技術(shù)中,

7、除了用到指數(shù)衰減函數(shù)外,還常常會碰到單位脈沖函數(shù).因為在許多物理現(xiàn)象中,除了有連續(xù)分布的物理量外,還會有集中在一點的量（點源）,或者具有脈沖性質(zhì)的量.例如瞬間作用的沖擊力,電脈沖等.在電學(xué)中,我們要研究線性電路受具有脈沖性質(zhì)的電勢作用后所產(chǎn)生的電流；在力學(xué)中,要研究機(jī)械系統(tǒng)受沖擊力作用后的運(yùn)動情況等.研究這類問題就會產(chǎn)生我們要介紹的脈沖函數(shù).有了這種函數(shù),對于許多集中在一點或一瞬間的量,例如點電荷、點熱源、集中于一點的質(zhì)量以及脈沖技術(shù)中的非常狹窄的脈沖等,就能夠像處理連續(xù)分布的量那樣,用統(tǒng)一的方式來加以解決. 第32頁，共56頁，2022年，5月20日，22點53分，星期二（1）看作矩形脈沖的

8、極限（2） 函數(shù)的數(shù)學(xué)定義（3）物理學(xué)家狄拉克給出的定義滿足下列兩個條件的函數(shù)稱為 函數(shù)： 第33頁，共56頁，2022年，5月20日，22點53分，星期二1函數(shù)用一個長度等于1的有向線段來表示,如下圖 o 定義為滿足下列條件的函數(shù)如下圖1第34頁，共56頁，2022年，5月20日，22點53分，星期二（1）對任意的連續(xù)函數(shù),都有 （2）函數(shù)為偶函數(shù),即 第35頁，共56頁，2022年，5月20日，22點53分，星期二（3）其中, 稱為單位階躍函數(shù).反之,有 .Otu(t)第36頁，共56頁，2022年，5月20日，22點53分，星期二由于 =可見, =1, -11= . 與常數(shù)1構(gòu)成了一個傅

9、氏變換對,即與 也構(gòu)成了一個傅氏變換對,即第37頁，共56頁，2022年，5月20日，22點53分，星期二例4 可以證明單位階躍函數(shù) 的傅氏變換為 的積分表達(dá)式為 pwO|F(w)|第38頁，共56頁，2022年，5月20日，22點53分，星期二例5 證明的傅氏變換為證明=所以第39頁，共56頁，2022年，5月20日，22點53分，星期二例6 求正弦函數(shù)的傅氏變換 可以證明pp-w0w0Ow|F(w)|tsint第40頁，共56頁，2022年，5月20日，22點53分，星期二1 線性性質(zhì) =設(shè)為常數(shù)則= 這一講介紹傅氏變換的幾個重要性質(zhì), 為了敘述方便起見, 假定在這些性質(zhì)中, 凡是需要求傅

10、氏變換的函數(shù)都滿足傅氏積分定理中的條件, 在證明這些性質(zhì)時, 不再重述這些條件.第41頁，共56頁，2022年，5月20日，22點53分，星期二若=則以為自變量的函數(shù) 的象函數(shù)為 即 3 相似性質(zhì) =若則第42頁，共56頁，2022年，5月20日，22點53分，星期二若=為實常數(shù),則 （1）象原函數(shù)的平移性質(zhì)第43頁，共56頁，2022年，5月20日，22點53分，星期二例7 求解 因為 所以第44頁，共56頁，2022年，5月20日，22點53分，星期二若=為實常數(shù),則 第45頁，共56頁，2022年，5月20日，22點53分，星期二例8 已知求解顯然一般地第46頁，共56頁，2022年，5

11、月20日，22點53分，星期二且 則若=一般地,若則（1）象原函數(shù)的微分性質(zhì)第47頁，共56頁，2022年，5月20日，22點53分，星期二例9 證明證明 因為所以一般地第48頁，共56頁，2022年，5月20日，22點53分，星期二若=則或例10 已知求解第49頁，共56頁，2022年，5月20日，22點53分，星期二若=則在這里 必須滿足傅氏積分存在定理的條件,若不滿足,則這個廣義積分應(yīng)改為 第50頁，共56頁，2022年，5月20日，22點53分，星期二7.2傅里葉變換的應(yīng)用第51頁，共56頁，2022年，5月20日，22點53分，星期二在頻譜分析中, 傅氏變換 又稱為 的頻譜函數(shù), 而它的模 稱為 的振幅頻譜(亦簡稱為頻譜). 由于w是連續(xù)變化的, 我們稱之為連續(xù)頻譜, 對一個時間函數(shù)作傅氏變換, 就是求這個時間函數(shù)的頻譜.可以證明,頻譜為偶函數(shù),即第52頁，共56頁，2022年，5月20日，22點53分，星期二53f(t)單個矩形脈沖的頻譜函數(shù)為:tE-t/2t/2第53頁，共56頁