矢勢及其微分方程解析課件

1、矢勢及其微分方程解析矢勢及其微分方程解析矢勢及其微分方程磁標(biāo)勢磁多極矩阿哈羅諾夫玻姆(Aharonov-Bohm)效應(yīng)超導(dǎo)體的電磁性質(zhì)本 章 目 錄矢勢及其微分方程本 章 目 錄本章主要目的：討論穩(wěn)恒電流激發(fā)的磁場靜磁場。在穩(wěn)恒電流情況下，依然會(huì)存在電場 。但根據(jù)麥克斯韋方程組，穩(wěn)恒情況下，電場和磁場不發(fā)生直接聯(lián)系，因而可以分開討論。 解決靜磁場問題的方法：在給定電流分布(或給定外場)和介質(zhì)分布的情況下，求解空間中的磁場分布。通過引入靜磁場的矢勢和標(biāo)勢，以及它們滿足的微分方程，可參照求靜電場的方法來解決靜磁場問題。本章主要目的：討論穩(wěn)恒電流激發(fā)的磁場靜磁場。在穩(wěn)恒電流情本章結(jié)構(gòu)： 和靜電場的標(biāo)

2、勢相對應(yīng)，靜磁場的矢勢是一個(gè)重要的概念。第一節(jié)首先引入磁場的矢勢，闡述了求解磁場邊值問題的一般方法。雖然用矢勢來描述磁場具有普遍的意義，但在計(jì)算某些實(shí)際問題時(shí)往往比較復(fù)雜。 第二節(jié)則引入了磁場的標(biāo)勢，在一定的條件下，靜磁場問題也可以用標(biāo)勢的微分方程來求解，這實(shí)際上是借用了磁荷觀點(diǎn)的理念，使求解磁場的方法與通過電荷而求解電場的方法完全對稱。本章結(jié)構(gòu)： 第三節(jié)給出了局部范圍內(nèi)的電流分布激發(fā)的磁場在遠(yuǎn)區(qū)的展開式，引入了磁多極矩的概念，這與電多極矩展開相對應(yīng)。在經(jīng)典物理中，完全由電場強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度描述電磁場。但是在量子物理中，實(shí)驗(yàn)指出，電場強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度并不能完全描述電磁場的所有物理效應(yīng)。第四節(jié)討

3、論了這一重要問題，說明矢勢具有可觀測的物理效應(yīng)。在近代物理中，超導(dǎo)現(xiàn)象與理論是重要前沿問題，最后一節(jié)介紹了超導(dǎo)體的主要電磁性質(zhì)。 第三節(jié)給出了局部范圍內(nèi)的電流分布激發(fā)的磁場在本章重點(diǎn)：1、矢勢的引入和它滿足的微分方程、靜磁場的能量。2、引入磁標(biāo)勢的條件及磁標(biāo)勢滿足的方程與靜電勢方程的比較。本章難點(diǎn)：利用磁標(biāo)勢解決具體問題。本章重點(diǎn)：本章難點(diǎn)：利用磁標(biāo)勢解決具體問題。3.1Vector potential and differential equation矢勢及其微分方程3.1Vector potential and diffe 我們考察恒定電流分布所激發(fā)的靜磁場。在給定的傳導(dǎo)電流附近可能存在一

4、些磁性物質(zhì)，在電流的磁場作用下，物質(zhì)磁化而出現(xiàn)磁化電流，它反過來又激發(fā)附加的磁場。磁化電流和磁場是互相約制的。磁化電流和磁場互相制約磁性物質(zhì)附加磁場磁化電流磁場解決問題方法：求微分方程邊值問題的解 我們考察恒定電流分布所激發(fā)的靜磁場。在給定的1、穩(wěn)恒電流磁場的矢勢穩(wěn)恒電流磁場的基本方程 穩(wěn)恒電流磁場：傳導(dǎo)電流(即運(yùn)動(dòng)電荷)產(chǎn)生的不隨時(shí)間變化的磁場?；痉匠踢呏店P(guān)系本節(jié)僅討論 情況，即非鐵磁線性均勻介質(zhì)。 是傳導(dǎo)電流密度。上兩式結(jié)合物質(zhì)的電磁性質(zhì)方程是解決靜磁場問題的基礎(chǔ)。這種情況靜電場和磁場可以分離，不發(fā)生直接聯(lián)系。1、穩(wěn)恒電流磁場的矢勢穩(wěn)恒電流磁場的基本方程 矢勢的引入及意義靜電場靜磁場其中

5、S是以回路L 為邊界的任一曲面（1） 與 的關(guān)系靜電場是有源無旋場靜磁場是有旋無源場 ：磁場的矢勢矢勢的引入及意義靜電場靜磁場其中S是以回路L 為邊界的任一曲（2）磁通量只與邊界L有關(guān)，與曲面的具體形狀無關(guān)（3）物理意義矢勢的不唯一性 沿任一閉合回路的環(huán)量等于通過以該回路為邊界的任一曲面的磁通量，而每點(diǎn) 無直接物理意義。（2）磁通量只與邊界L有關(guān)，與曲面的具體形狀無關(guān)（3）物理意 即由矢勢 可以確定磁場 ，但是由磁場 并不能唯一地確定矢勢 。舉一簡單例子說明這點(diǎn)，設(shè)有沿Z軸方向的均勻磁場其中B0為常量，由定義式我們不難看出有解 即由矢勢 可以確定磁場 ，但是由磁場 并不舉一同時(shí)還可看出另一解矢

6、量場確定的條件：旋度、散度、邊界條件.可找到恰當(dāng)?shù)?，滿足-庫侖規(guī)范條件 可減少勢的任意性令2、庫侖規(guī)范條件同時(shí)還可看出另一解矢量場確定的條件：旋度、散度、邊界條件.可證： 若不滿足，即則作代換有如果則一般表示為完全確定還須邊界條件。解泊松方程可求得，進(jìn)而得 ，使得證： 若不滿足，即則作代換有如果則一般表示為完全確定還須邊界3、矢勢滿足的方程及方程的解 滿足的方程在直角坐標(biāo)系中(泊松方程)均勻介質(zhì)對線性介質(zhì)3、矢勢滿足的方程及方程的解 滿足的方程在直角坐標(biāo)系中矢勢的形式解通過類比上式也就是我們在第一章中由畢奧薩伐爾定律導(dǎo)出的公式(第一章2.15式，該處討論真空情形，故= 0)第一章中我們從畢奧

7、薩伐爾定律得到上式滿足規(guī)范條件，因此，該式確實(shí)是微分方程的解。矢勢的形式解通過類比上式也就是我們在第一章中由畢奧薩伐爾定這里的過程與第一章相反。則可得且 已知電流密度，可從方程直接積分求解，但一般電流分布與磁場相互制約，因此一般情況需要求解矢量泊松方程。也即：在第一章中，我們曾令：這里的過程與第一章相反。則可得且 已知電流密度，可從這正是畢奧- 薩伐爾定律。 的解對線電流這正是畢奧- 薩伐爾定律。 的解對線電流 的邊值關(guān)系 *磁場的邊值關(guān)系對線性介質(zhì)對一般介質(zhì)包括(鐵磁)則在兩介質(zhì)界面上線性 的邊值關(guān)系 *磁場的邊值關(guān)系對線性介質(zhì)對一般介質(zhì)任意介質(zhì)上述邊值關(guān)系式也可以用較簡單的形式代替。 在分

8、界面兩側(cè)取一狹長回路，短邊長度趨于零。任意介質(zhì)上述邊值關(guān)系式也可以用較簡單的形式代替。 可代替故線性對討論一些特殊情況： 若分界面為柱面，且當(dāng)zxy可代替故線性對討論一些特殊情況： 若分界面為柱面，且當(dāng)zx 若分界面為球面，且當(dāng)xzyzxy 若分界面為球面，且當(dāng)xzyzxy矢勢泊松方程解的唯一性定理設(shè)靜磁體系V內(nèi)是分區(qū)均勻分布的，如果矢勢 對每一個(gè)分區(qū)滿足：在兩分區(qū)的界面上滿足：在邊界處等于給定的：則V內(nèi)的磁場可唯一的確定。矢勢泊松方程解的唯一性定理設(shè)靜磁體系V內(nèi)是分區(qū)均勻分布的，如已知均勻介質(zhì)中總能量為 四、穩(wěn)恒電流磁場的能量在穩(wěn)恒場中 不是能量密度。 能量分布在磁場內(nèi)，不僅分布在電流區(qū)。唯

9、一性定理也可表述為：設(shè)靜磁體系V內(nèi)是分區(qū)均勻分布的，且關(guān)系式 成立，則體系內(nèi)的磁場由電流和磁介質(zhì)的分布及邊界上 唯一地確定。已知均勻介質(zhì)中總能量為 四、穩(wěn)恒電流磁場的能量在穩(wěn)恒場中 推導(dǎo)過程： 推導(dǎo)過程：電流分布在外磁場中的相互作用能最后一項(xiàng)稱為相互作用能，記為 ， 設(shè) 為外磁場電流分布， 為外磁場的矢勢； 為處于外磁場 中的電流分布，它激發(fā)的場的矢勢為 ?？偰芰浚呵皟身?xiàng)為系統(tǒng)固有內(nèi)能。電流分布在外磁場中的相互作用能最后一項(xiàng)稱為相互作用能，記為 可以證明：可以證明：例1無窮長直導(dǎo)線載電流I ，求磁場的矢勢和磁感應(yīng)強(qiáng)度解:設(shè)P點(diǎn)與導(dǎo)線間距離為R，電流元Idz到P點(diǎn)的距離為由得積分是發(fā)散的。但兩點(diǎn)

10、的矢勢差值是有限的。PdzRP0R0例1無窮長直導(dǎo)線載電流I ，求磁場的矢勢和磁感應(yīng)強(qiáng)度解:設(shè)P取P0點(diǎn)為矢勢參照零點(diǎn)=1取P0點(diǎn)為矢勢參照零點(diǎn)=1令令例2 半徑為a的園環(huán)載電流I ，求矢勢和磁感應(yīng)強(qiáng)度。解:線圈電流產(chǎn)生的矢勢為PzxyRrxy用球坐標(biāo)(R, ) ，由對稱性可知 只有分量，A只依賴于R、 ,而與無關(guān)。因此我們可以選定在XZ面上的一點(diǎn)P來計(jì)算，在該點(diǎn)上A =Ay 。取上式的y分量。例2 半徑為a的園環(huán)載電流I ，求矢勢和磁感應(yīng)強(qiáng)度。解:線圈矢勢及其微分方程解析則得上式的積分可用橢園積分表示。作變換：令則得上式的積分可用橢園積分表示。作變換：令矢勢及其微分方程解析令則有令則有矢勢及

11、其微分方程解析令這里(k) , (k)分別為第一、第二類橢園積分。從而得到令這里(k) , (k)分別為第一、第二類橢園積分。從而故磁感應(yīng)強(qiáng)度的嚴(yán)格表達(dá)式為故磁感應(yīng)強(qiáng)度的嚴(yán)格表達(dá)式為把根式對特殊情況下，可對方程進(jìn)行簡化處理。由展開。在積分表達(dá)式中展開式的偶次項(xiàng)對積分為零，因此只需保留奇次項(xiàng)。把根式對特殊情況下，可對方程進(jìn)行簡化處理。由展開。在積分表達(dá)矢勢及其微分方程解析此式的適用范圍是包括遠(yuǎn)場和近軸場1）計(jì)算近軸場。這種情況下用柱坐標(biāo)(, z)較為方便。注意到此式的適用范圍是包括遠(yuǎn)場和近軸場1）計(jì)算近軸場。這種情況下用取A的旋度，得展開式又可表示為取A的旋度，得展開式又可表示為上式對任意場點(diǎn)z處的近軸場成立。若求近原點(diǎn)處的場，za ，可把上式再對z/