直接三角分解法精選課件

1、直接三角分解法精選直接三角分解法精選4.2 直接三角分解法4.2.1 一般矩陣的直接三角分解法本節(jié)討論矩陣A的三角分解法的直接計(jì)算以及直接利用A的三角分解式來求解方程組。1.不選主元的三角分解法設(shè)A=LU，記 其中L為單位下三角陣，U為上三角陣。我們可直接給出L和U的元素的計(jì)算公式。由A的第1行和第1列可計(jì)算出U的第1行和L的第1列，即（4.2.1）（4.2.2）如果U的第1至k-1列和L的第1至k-1列已經(jīng)算出，則由4.2 直接三角分解法4.2.1 一般矩陣的直接三角分解法可得U的第k行元素同理，由 ukj =akj - ,j =k,k+1, ,n。 （4.2.3） akj = ,i=k+1

2、,k+2,n, 可得L的第k列元素交替使用（4.2.3）和 （4.2.4），就能逐次計(jì)算出U（按行）和L（按列）的全部元素，而且可以把它們存放在矩陣A對(duì)應(yīng)的位置上（L的對(duì)角線元素不必存放）。這就完成了A的LU分解。 lik=(aik - )/ ukk ,i =k+1,k+2, ,n。 由（4.2.1）- （4.2.4）求得L和U后，解方程組Ax=b接化接為求解LUx=b，若記Ux=y，則有Ly=b。于是可分兩部解方程組LUx=b，只要琢次向前代入的方法即可求得y。第二步求解Ux=y，只要琢次可得U的第k行元素同理，由 用向后回代的方法即可求得x。設(shè)x=（x1 ，x2， xn) T, y=（y1

3、, y2, yn) T,b= （b1 ，b2， bn) T, 則有計(jì)算公式（4.2.5）（4.2.6） 以上解方程組的計(jì)算與順序Gauss消去法相當(dāng)。如果有一系列方程組，其系數(shù)距陣都是相同的，右端向量b不同，則只須進(jìn)行一次LU分解計(jì)算。上述解方程的方法稱為L(zhǎng)U分解法，也稱Doolittle方法。 例4.5 用LU分解法求解用向后回代的方法即可求得x。設(shè)x=（x1 ，x2， 解 由（4.2.1）-（ 4.2.4 ）計(jì)算可得由（4.2.5）計(jì)算得由（4.2.6）計(jì)算得 解 由（4.2.1）-（ 4.2.4 ）計(jì)算可2.列選主元的三角分解法 設(shè)從A=A （1）開始已完成k-1步分解計(jì)算，U的元素（按

4、行）和L的元素（按列）存放在A的位置，得到該矩陣與順序Gauss消去法中得到的A（k）是不同的，這種存儲(chǔ)方式的形式稱為緊湊形式。2.列選主元的三角分解法 設(shè)從A=A （1）開始已完成k當(dāng)i=k時(shí)， si對(duì)應(yīng)于（4.2.3）中的ukk，它可能不宜在（4.2.4）作除法。當(dāng)i=k+1,k=2,.n， si對(duì)應(yīng)于（4.2.4）中的分子。記 現(xiàn)做第k行計(jì)算，令交換的第i行與第行的位置，但每個(gè)位置上仍用原記號(hào)。然后仍按（4.2.3）計(jì)算，算出U的第k行。的計(jì)算可用 這就算出了L的第k行。以上分解過程經(jīng)過n-1步，可得PA=LU，因?yàn)閎也參加換行計(jì)算，所以在其位置上得到Pb。最后再分兩步求解方程組LUx=

5、Pb，即求解Ly=Pb和Ux=y。當(dāng)i=k時(shí)， si對(duì)應(yīng)于（4.2.3）中的ukk，它可能不宜例4.6 用列選主元的三角分解法解由此知由于s2=5/30 ,i=1，2，n 。 由此推出dvi 0， i=1，2，n 。記當(dāng)A為對(duì)稱正定矩陣時(shí)，對(duì)A可直接作LU分解。由（4.1. 令 ，則有由分解式 的唯一性可得（4.2.3）分解式的唯一性。定理得證。 稱（4.2.13）式為矩陣A的Cholesky分解。利用A的Cholesky分解式來求解方程組Ax=b的方法稱為Cholesky方法或平方根法，這是因?yàn)橛?jì)算過程含開方運(yùn)算。 設(shè)A=（aij），由式（4.2.13）可得 令 這樣，可以從j=1直到j(luò)=n

6、逐列算出L的元素,再求解下三角方程組Ly=b和上三角方程組 L T x=y 。計(jì)算公式為按逐列計(jì)算L的元素的計(jì)算步驟,設(shè)第1列至第j-1列已經(jīng)計(jì)算得到,則有（4.2.15）（4.2.14） 這樣，可以從j=1直到j(luò)=n逐列算出L的元 解 不難驗(yàn)證系數(shù)矩陣是對(duì)稱正定的，按（4.2.14）和（4.2.15）依次計(jì)算得 例4.8 用平方根法求解 由（4.2.14）可得 由此推出 ，所以平方根法的中間量 得以控制。不必選主元。 平方根法的原理基于矩陣的LU分解,所以它也是Gauss消去法的變形.但由于利用了矩陣正定的性質(zhì),減少了計(jì)算量。平方根法的乘除法運(yùn)算次數(shù)為(n3+9n2+2)/6,加減法次數(shù)為(

7、n3+6n2-7n)/6 。另外還有n次開方運(yùn)算，其所含乘除法和加減法次數(shù)可分別看成n的常數(shù)倍。平方根需n3 /6次乘除法，與Gauss消去法相比減少了一半。 解 不難驗(yàn)證系數(shù)矩陣是對(duì)稱正則可避免開方根運(yùn)算，稱為改進(jìn)的平方根法。 它即適合于求接對(duì)稱正定方程組，也適合于A求解對(duì)稱且其順序主子式全不為零的方程組。分解式的計(jì)算公式為(j=1,2,n)解Ly=（6，-0.5，1.25）T ，得y=（3，0.5，-1） T ，再解L T x=y可以得到x=（2，1，-1） T 。 如果對(duì)矩陣采（4.2.12）用分解式， 即則可避免開方根運(yùn)算，稱為改進(jìn)的平方根法。 它即適合于求接對(duì)稱解Ly=b得y=(6,1,-1)T。解LTx=D-1y得x=(2,