2021年全國甲卷高考數(shù)學(xué)（理科）真題試卷【含答案】

1、2021年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（甲卷）一、選擇題（共12小題，每小題5分，共60分）.1設(shè)集合Mx|0 x4，Nx|x5，則MN（）Ax|0 xBx|x4Cx|4x5Dx|0 x52為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是（）A該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為6%B該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為10%C估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元D估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間3已知（1i）2z3

2、+2i，則z（）A1iB1+iC+iDi4青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿足L5+lgV已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為（）（1.259）A1.5B1.2C0.8D0.65已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且F1PF260，|PF1|3|PF2|，則C的離心率為（）ABCD6在一個(gè)正方體中，過頂點(diǎn)A的三條棱的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G該正方體截去三棱錐AEFG后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是（）ABCD7等比數(shù)列a

3、n的公比為q，前n項(xiàng)和為Sn設(shè)甲：q0，乙：Sn是遞增數(shù)列，則（）A甲是乙的充分條件但不是必要條件B甲是乙的必要條件但不是充分條件C甲是乙的充要條件D甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件82020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一如圖是三角高程測量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點(diǎn)，且A，B，C在同一水平面上的投影A，B，C滿足ACB45，ABC60由C點(diǎn)測得B點(diǎn)的仰角為15，BB與CC的差為100；由B點(diǎn)測得A點(diǎn)的仰角為45，則A，C兩點(diǎn)到水平面ABC的高度差A(yù)ACC約為（）（1.732）A346B373C

4、446D4739若（0，），tan2，則tan（）ABCD10將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（）ABCD11已知A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且ACBC，ACBC1，則三棱錐OABC的體積為（）ABCD12設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f（x+1）為奇函數(shù)，f（x+2）為偶函數(shù)，當(dāng)x1，2時(shí)，f（x）ax2+b若f（0）+f（3）6，則f（）（）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13曲線y在點(diǎn)（1，3）處的切線方程為 14已知向量（3，1），（1，0），+k若，則k 15已知F1，F(xiàn)2為橢圓C：+1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P，Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱

5、的兩點(diǎn)，且|PQ|F1F2|，則四邊形PF1QF2的面積為 16已知函數(shù)f（x）2cos（x+）的部分圖像如圖所示，則滿足條件（f（x）f（）（f（x）f（）0的最小正整數(shù)x為 三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17甲、乙兩臺機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表：一級品二級品合計(jì)甲機(jī)床15050200乙機(jī)床12080200合計(jì)270130400（1）甲機(jī)床、

6、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少？（2）能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異？附：K2P（K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，記Sn為an的前n項(xiàng)和，從下面中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立數(shù)列an是等差數(shù)列；數(shù)列是等差數(shù)列；a23a1注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分19已知直三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)面AA1B1B為正方形，ABBC2，E，F(xiàn)分別為AC和CC1的中點(diǎn)，D為棱A1B1上的點(diǎn)，BFA1B1（1）證明：BFDE；（2）當(dāng)B1D為何值時(shí)，面BB1C1C與面DFE

7、所成的二面角的正弦值最小？20拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，直線l：x1交C于P，Q兩點(diǎn)，且OPOQ已知點(diǎn)M（2，0），且M與l相切（1）求C，M的方程；（2）設(shè)A1，A2，A3是C上的三個(gè)點(diǎn)，直線A1A2，A1A3均與M相切判斷直線A2A3與M的位置關(guān)系，并說明理由21已知a0且a1，函數(shù)f（x） （x0）（1）當(dāng)a2時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若曲線yf（x）與直線y1有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸

8、為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為2cos（1）將C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為（1，0），M為C上的動點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，寫出P的軌跡C1的參數(shù)方程，并判斷C與C1是否有公共點(diǎn)選修4-5：不等式選講23已知函數(shù)f（x）|x2|，g（x）|2x+3|2x1|（1）畫出yf（x）和yg（x）的圖像；（2）若f（x+a）g（x），求a的取值范圍答案一、選擇題（共12小題）.1設(shè)集合Mx|0 x4，Nx|x5，則MN（）Ax|0 xBx|x4Cx|4x5Dx|0 x5解：集合Mx|0 x4，Nx|x5，則MNx|x4，故選：B2為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)

9、行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是（）A該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為6%B該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為10%C估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元D估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間解：對于A，該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率為（0.02+0.04）10.066%，故選項(xiàng)A正確；對于B，該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率為（0.04+0.023）10.110%，故選項(xiàng)B正確；對于C，估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值

10、為30.02+40.04+50.1+60.14+70.2+80.2+90.1+100.1+110.04+120.02+130.02+140.027.686.5萬元，故選項(xiàng)C錯誤；對于D，家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的頻率為（0.1+0.14+0.2+0.2）10.640.5，故估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間，故選項(xiàng)D正確故選：C3已知（1i）2z3+2i，則z（）A1iB1+iC+iDi解：因?yàn)椋?i）2z3+2i，所以故選：B4青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L

11、和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿足L5+lgV已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為（）（1.259）A1.5B1.2C0.8D0.6解：在L5+lgV中，L4.9，所以4.95+lgV，即lgV0.1，解得V100.10.8，所以其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為0.8故選：C5已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且F1PF260，|PF1|3|PF2|，則C的離心率為（）ABCD解：F1，F(xiàn)2為雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上的一點(diǎn)，|PF1|3|PF2|，設(shè)|PF1|3m，|PF2|m，由雙曲線的定義可得|PF1|PF2|2m2a，即ma，所以|PF1|3a，

12、|PF2|a，因?yàn)镕1PF260，|F1F2|2c，所以4c29a2+a223aacos60，整理得4c27a2，所以e故選：A6在一個(gè)正方體中，過頂點(diǎn)A的三條棱的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G該正方體截去三棱錐AEFG后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是（）ABCD解：由題意，作出正方體，截去三棱錐AEFG，根據(jù)正視圖，可得AEFG在正方體左側(cè)面，如圖，根據(jù)三視圖的投影，可得相應(yīng)的側(cè)視圖是D圖形，故選：D7等比數(shù)列an的公比為q，前n項(xiàng)和為Sn設(shè)甲：q0，乙：Sn是遞增數(shù)列，則（）A甲是乙的充分條件但不是必要條件B甲是乙的必要條件但不是充分條件C甲是乙的充要條件D甲既不是乙的充分

13、條件也不是乙的必要條件解：若a11，q1，則Snna1n，則Sn是遞減數(shù)列，不滿足充分性；Sn（1qn），則Sn+1（1qn+1），Sn+1Sn（qnqn+1）a1qn，若Sn是遞增數(shù)列，Sn+1Sna1qn0，則a10，q0，滿足必要性，故甲是乙的必要條件但不是充分條件，故選：B82020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一如圖是三角高程測量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點(diǎn)，且A，B，C在同一水平面上的投影A，B，C滿足ACB45，ABC60由C點(diǎn)測得B點(diǎn)的仰角為15，BB與CC的差為100；由B點(diǎn)測得A點(diǎn)的

14、仰角為45，則A，C兩點(diǎn)到水平面ABC的高度差A(yù)ACC約為（）（1.732）A346B373C446D473解：過C作CHBB于H，過B作BMAA于M，則BCH15，BH100，ABM45，CHCB，ABBMAM，BBMA，CAB75tanBCHtan15tan（4530），sin75sin（45+30）則在RtBCH中，CH100（2+），CB100（2+）在ABC中，由正弦定理知，AB100（+1），AM100（+1），AACCAM+BH100（+1）+100373，故選：B9若（0，），tan2，則tan（）ABCD解：由tan2，得，即，（0，），cos0，則2sin（2sin）12s

15、in2，解得sin，則cos，tan故選：A10將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（）ABCD解：4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，共有種，2個(gè)0不相鄰，先將4個(gè)1全排列，再用插空法將2個(gè)0放入共有種，故2個(gè)0不相鄰的概率為故選：C11已知A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且ACBC，ACBC1，則三棱錐OABC的體積為（）ABCD解：因?yàn)锳CBC，ACBC1，所以底面ABC為等腰直角三角形，所以ABC所在的截面圓的圓心O1為斜邊AB的中點(diǎn)，所以O(shè)O1平面ABC，在RtABC中，AB，則，在RtAOO1中，故三棱錐OABC的體積為故選：A12設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f

16、（x+1）為奇函數(shù)，f（x+2）為偶函數(shù)，當(dāng)x1，2時(shí)，f（x）ax2+b若f（0）+f（3）6，則f（）（）ABCD解：f（x+1）為奇函數(shù)，f（1）0，且f（x+1）f（x+1），f（x+2）偶函數(shù)，f（x+2）f（x+2），f（x+1）+1f（x+1）+1f（x），即f（x+2）f（x），f（x+2）f（x+2）f（x）令tx，則f（t+2）f（t），f（t+4）f（t+2）f（t），f（x+4）f（x）當(dāng)x1，2時(shí)，f（x）ax2+bf（0）f（1+1）f（2）4ab，f（3）f（1+2）f（1+2）f（1）a+b，又f（0）+f（3）6，3a6，解得a2，f（1）a+b0，ba2，當(dāng)

17、x1，2時(shí)，f（x）2x2+2，f（）f（）f（）（2+2）故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13曲線y在點(diǎn)（1，3）處的切線方程為5xy+20解：因?yàn)閥，（1，3）在曲線上，所以y，所以y|x15，則曲線y在點(diǎn)（1，3）處的切線方程為：y（3）5x（1），即5xy+20故5xy+2014已知向量（3，1），（1，0），+k若，則k解：因?yàn)橄蛄浚?，1），（1，0），+k，由，則32+12+k（31+10）10+3k0，解得k故15已知F1，F(xiàn)2為橢圓C：+1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P，Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，且|PQ|F1F2|，則四邊形PF1QF2的面積為8解：因?yàn)镻，Q

18、為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，且|PQ|F1F2|，所以四邊形PF1QF2為矩形，設(shè)|PF1|m，|PF2|n，由橢圓的定義可得|PF1|+|PF2|m+n2a8，所以m2+2mn+n264，因?yàn)閨PF1|2+|PF2|2|F1F2|24c24（a2b2）48，即m2+n248，所以mn8，所以四邊形PF1QF2的面積為|PF1|PF2|mn8故816已知函數(shù)f（x）2cos（x+）的部分圖像如圖所示，則滿足條件（f（x）f（）（f（x）f（）0的最小正整數(shù)x為2解：由圖像可得，即周期為，T，觀察圖像可知當(dāng)，即x2時(shí)最小且滿足題意，故2三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步

19、驟。第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17甲、乙兩臺機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表：一級品二級品合計(jì)甲機(jī)床15050200乙機(jī)床12080200合計(jì)270130400（1）甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少？（2）能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異？附：K2P（K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解：由題意，可得甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)總數(shù)均

20、為200件，因?yàn)榧椎囊患壠返念l數(shù)為150，所以甲的一級品的頻率為；因?yàn)橐业囊患壠返念l數(shù)為120，所以乙的一級品的頻率為；（2）根據(jù)22列聯(lián)表，可得K210.2566.635所以有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異18已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，記Sn為an的前n項(xiàng)和，從下面中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立數(shù)列an是等差數(shù)列；數(shù)列是等差數(shù)列；a23a1注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分解：選擇為條件，結(jié)論證明過程如下：由題意可得：a2a1+d3a1，d2a1，數(shù)列的前n項(xiàng)和：，故，據(jù)此可得數(shù)列 是等差數(shù)列選擇為條件，結(jié)論：設(shè)數(shù)列an的公差為d，則：，數(shù)列

21、為等差數(shù)列，則：，即：，整理可得：d2a1，a2a1+d3a1選擇為條件，結(jié)論：由題意可得：S2a1+a24a1，則數(shù)列 的公差為，通項(xiàng)公式為：，據(jù)此可得，當(dāng)n2時(shí)，當(dāng)n1時(shí)上式也成立，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為：an（2n1）a1，由an+1an2（n+1）1a1（2n1）a12a1，可知數(shù)列an是等差數(shù)列19已知直三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)面AA1B1B為正方形，ABBC2，E，F(xiàn)分別為AC和CC1的中點(diǎn)，D為棱A1B1上的點(diǎn)，BFA1B1（1）證明：BFDE；（2）當(dāng)B1D為何值時(shí)，面BB1C1C與面DFE所成的二面角的正弦值最??？（1）證明：連接AF，E，F(xiàn)分別為直三棱柱ABCA1B1C1

22、的棱AC和CC1的中點(diǎn)，且ABBC2，CF1，BF，BFA1B1，ABA1B1，BFABAF3，AC，AC2AB2+BC2，即BABC，故以B為原點(diǎn)，BA，BC，BB1所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A（2，0，0），B（0，0，0），C（0，2，0），E（1，1，0），F(xiàn)（0，2，1），設(shè)B1Dm，則D（m，0，2），（0，2，1），（1m，1，2），0，即BFDE（2）解：AB平面BB1C1C，平面BB1C1C的一個(gè)法向量為（1，0，0），由（1）知，（1m，1，2），（1，1，1），設(shè)平面DEF的法向量為（x，y，z），則，即，令x3，則ym+1，z2m，（3，

23、m+1，2m），cos，當(dāng)m時(shí)，面BB1C1C與面DFE所成的二面角的余弦值最大，此時(shí)正弦值最小，故當(dāng)B1D時(shí)，面BB1C1C與面DFE所成的二面角的正弦值最小20拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，直線l：x1交C于P，Q兩點(diǎn)，且OPOQ已知點(diǎn)M（2，0），且M與l相切（1）求C，M的方程；（2）設(shè)A1，A2，A3是C上的三個(gè)點(diǎn)，直線A1A2，A1A3均與M相切判斷直線A2A3與M的位置關(guān)系，并說明理由解：（1）因?yàn)閤1與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故可設(shè)拋物線C的方程為：y22px（p0），令x1，則，根據(jù)拋物線的對稱性，不妨設(shè)P在x軸上方，Q在X軸下方，故，因?yàn)镺POQ，故，拋物線C的

24、方程為：y2x，因?yàn)镸與l相切，故其半徑為1，故M：（x2）2+y21（2）設(shè)A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）當(dāng)A1，A2，A3其中某一個(gè)為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)（假設(shè)A1為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)），設(shè)直線A1A2方程為kxy0，根據(jù)點(diǎn)M（2，0）到直線距離為1可得1，解得k，聯(lián)立直線A1A2與拋物線方程可得x3，此時(shí)直線A2A3與M的位置關(guān)系為相切，當(dāng)A1，A2，A3都不是坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，即x1x2x3，直線A1A2的方程為x（y1+y2）y+y1y20，此時(shí)有，即，同理，由對稱性可得，所以y2，y3是方程 的兩根，依題意有，直線A2A3的方程為x（y2+y3）y+y2y30，令M到直線A2A3的距離為d，則有，此時(shí)直線A2A3與M的位置關(guān)系也為相切，綜上，直線A2A3與M相切21已知a0且a1，函數(shù)f（x） （x0）（1）當(dāng)a2時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若曲線yf（x）與直線y1有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍解：（1）a2時(shí)，f（x），f（x），當(dāng)x（0，）時(shí)，f（x）0，當(dāng)x（，+）時(shí)，f（x）0，故f（x）