數(shù)學(xué)發(fā)展簡史數(shù)學(xué)發(fā)展簡史

1、數(shù)學(xué)發(fā)展展簡史數(shù)數(shù)學(xué)發(fā)展展簡史一、數(shù)學(xué)學(xué)起源1 希臘人人發(fā)現(xiàn)了了推理的的作用古典時期期（公元元前6000前前3000年）的的希臘人人，認(rèn)識識到人類類有智慧慧、有思思維，能能夠發(fā)現(xiàn)現(xiàn)真理。2 最早提提出自然然界數(shù)學(xué)學(xué)模式的的是以畢畢達(dá)哥拉拉斯（PPythhagoorass）為領(lǐng)領(lǐng)袖的座座落于意意大利南南部的畢畢達(dá)哥拉拉斯學(xué)派派。3 繼畢達(dá)達(dá)哥拉斯斯學(xué)派之之后，最最有影響響的是由由柏拉圖圖學(xué)派，他控制制了公元元前4世世紀(jì)這一一重要時時期希臘臘人的思思想，他他是雅典典柏拉圖圖學(xué)院的的創(chuàng)立者者，存在在了九百百年之久久。4 亞里士士多德是是柏拉圖圖的學(xué)生生，他批批評柏拉拉圖的冥冥世思想想以及把把科學(xué)歸歸

2、結(jié)為數(shù)數(shù)學(xué)的認(rèn)認(rèn)識。他他是一個個物理學(xué)學(xué)家，他他相信真真正的知知識是從從感性的的經(jīng)驗通通過直觀觀和抽象象而獲得得。他認(rèn)為，基本概概念應(yīng)該該是不可可定義的的，否則則就沒有有起始點點。他又又區(qū)分了了公理和和公設(shè)。公理對所有有思想領(lǐng)領(lǐng)域皆真真。公設(shè)適用于于專業(yè)學(xué)學(xué)科，如如幾何學(xué)學(xué)。5 歐幾里里得（EEucllid）、阿基基米得（Arcchimmedees）、丟番圖圖等屬于于希臘文文化的第第二個重重要時期期，亞歷歷山大里里亞時期期（公元元前3000年公元6600年年）歐幾里得得（公元元前約3300年年），他他的代表表作幾幾何原本本是一一本集希希臘數(shù)學(xué)學(xué)大成的的巨著，成為兩兩千年來來用公理理法建立立演繹

3、的的數(shù)學(xué)體體系的典典范。二、數(shù)學(xué)學(xué)的繁榮榮（文藝藝復(fù)興（15世世紀(jì)初到到17世世紀(jì)的2200年年）1 希臘人人的宗旨旨自然然是依數(shù)數(shù)學(xué)設(shè)計計的，與與文藝復(fù)復(fù)興時的的信念上帝帝是這個個設(shè)計的的作者，融匯在在一起，統(tǒng)治了了歐洲。2 笛卡兒兒（Deescaartees，11596616650）被譽為數(shù)數(shù)學(xué)王冠冠上的明明珠之一一，但他他首先是是一個哲哲學(xué)家，其次是是宇宙學(xué)學(xué)家，第第三是物物理學(xué)家家，第四四是生物物學(xué)家，第五才才是數(shù)學(xué)學(xué)家。極其敏銳銳的直覺覺和對結(jié)結(jié)果的演演繹這就是是笛卡兒兒認(rèn)識哲哲學(xué)的實實質(zhì)。笛卡兒認(rèn)認(rèn)為：思思維只有有兩種方方法，這這就是：直覺和和演繹。笛卡兒對對數(shù)學(xué)本本并沒有有提出什

4、什么新定定理，但但他卻提提供了一一種非常常有效的的研究方方法，即即解釋釋幾何。在科學(xué)上上，笛卡卡兒的貢貢獻(xiàn)，雖雖然不如如像哥白白尼、開開普勒以以及牛頓頓那樣輝輝煌燦爛爛，但也也不容輕輕視。3 帕斯卡卡（Paascaal）：是177世紀(jì)偉偉大的數(shù)數(shù)學(xué)家之之一。4 伽利略略與笛卡卡爾齊名名，他的的主要貢貢獻(xiàn)是他他在科學(xué)學(xué)方法上上的許多多變革。a) 他要要研究和和證明的的是一些些運動的的性質(zhì)而而不考慮慮為會什什么會這這樣。b) 他堅持持向自然然科學(xué)家家提議：不要研研究為什什么會這這樣，只只要討論論怎樣定定量描述述。c) 他的另另一個原原則是：科學(xué)的的任一分分支都可可用數(shù)學(xué)學(xué)模型模模仿出來來。5 牛頓

5、是是劍橋大大學(xué)的數(shù)數(shù)學(xué)教授授，被稱稱為最偉偉大的數(shù)數(shù)學(xué)家之之一，牛牛頓認(rèn)為為數(shù)學(xué)是是枯燥和和乏味的的，只是是表述自自然定律律的一種種工具。牛頓的真真正的成成就在于于證明了了開普勒勒經(jīng)過多多年觀測測和研究究得出的的開普勒勒三定律律可以由由萬有引引力定律律和運動動三定律律用數(shù)學(xué)學(xué)方法推推導(dǎo)出來來。拉普普拉斯曾曾說過，牛頓是是最幸運運的人，因為只只有一個個宇宙，而他成成功地發(fā)發(fā)現(xiàn)了它它的定律律。6 萊布尼茨茨（Leeibnnitzz，1664617116，法法國數(shù)學(xué)學(xué)家），主要是是個哲學(xué)學(xué)家，他他多才多多藝，對對數(shù)學(xué)、科學(xué)、歷史、邏輯學(xué)學(xué)、法律律、外交交和神學(xué)學(xué)的貢獻(xiàn)獻(xiàn)都是首首屈一指指的。7 歐拉（

6、Euller瑞士士），是是18世世紀(jì)最偉偉大的數(shù)數(shù)學(xué)家，也是數(shù)數(shù)學(xué)史上上最多產(chǎn)產(chǎn)的數(shù)學(xué)學(xué)家，其其論著幾幾乎涉及及18世世紀(jì)所有有的數(shù)學(xué)學(xué)分支。歐拉認(rèn)為為所有自自然現(xiàn)象象之所以以表現(xiàn)如如此，是是因為它它們要使使某些函函數(shù)達(dá)到到極大或或極小，因而，基本的的物理原原理應(yīng)包包括達(dá)到到極大或或極小的的函數(shù)。數(shù)學(xué)支支配一切切，188世紀(jì)最最偉大的的智者對對此深信信不疑。三、第一一場災(zāi)難難：真理理的喪失失（非歐歐幾何和和四元數(shù)數(shù)的發(fā)現(xiàn)現(xiàn)）1 進(jìn)入119世紀(jì)紀(jì)，數(shù)學(xué)學(xué)界正是是一派祥祥瑞景象象：1) 拉格朗朗日：仍仍然活躍躍在數(shù)學(xué)學(xué)界；2) 拉普拉拉斯：正正處在他他智力的的頂峰時時期；

7、3) 傅立葉葉：至力力于熱的的傳導(dǎo)研研究，他他發(fā)展了了無窮三三角級數(shù)數(shù)現(xiàn)稱稱為傅立立葉級數(shù)數(shù)的理論論。對他他的工作作無論用用什么詞詞來贊譽譽都不過過分。4) 高斯（Gauuss）：發(fā)表表了他的的算術(shù)術(shù)研究（18801），這是是關(guān)于數(shù)數(shù)論的一一個里程程碑，贏贏得了數(shù)數(shù)學(xué)王子子的雅稱稱。5) 柯西（Cauuchyy）：他他的數(shù)學(xué)學(xué)論文超超過7000篇，僅次于于歐拉，能與高高斯匹敵敵。2 到18800年年時上帝帝的存在在越來越越不被感感覺到，然而當(dāng)當(dāng)時的數(shù)數(shù)學(xué)家們們還是相相信嚴(yán)格格的數(shù)學(xué)學(xué)真理和和自然界界的數(shù)學(xué)學(xué)法則，在所有有的數(shù)學(xué)學(xué)分支中中，歐氏氏幾何最最受推崇崇?！吧系邸彼魮舻恼鞘菤W氏幾幾

8、何。達(dá)蘭貝爾爾在17759年年解平行行公理問問題是“幾何原原理中的的家丑”3 非歐幾幾何的產(chǎn)產(chǎn)生：1) 18113年起起，高斯斯開始發(fā)發(fā)展他的的非歐幾幾何。2) 創(chuàng)造非非歐幾何何的人是是羅巴切切夫斯基基。3) 物理空空間的幾幾何可以以是非歐歐幾里得得的，它它的創(chuàng)建建的是黎黎曼（KKiemman），他是是高斯的的學(xué)生。4 高斯認(rèn)認(rèn)為，真真理存在在于數(shù)中中，它是是算術(shù)、代數(shù)、微積分分以及后后續(xù)學(xué)科科的基礎(chǔ)礎(chǔ)。雅可比（Jaccobii）說：“上帝一一直在進(jìn)進(jìn)行算術(shù)術(shù)化”。一直直到18850年年，算術(shù)術(shù)在科學(xué)學(xué)上遠(yuǎn)比比幾何使使用得更更為廣泛泛，不幸幸的是毀毀滅性的的事情接接踵而來來。5 從166世紀(jì)開

9、開始，數(shù)數(shù)學(xué)家們們就在使使用微量量的概念念了。復(fù)數(shù)被用用作向量量代數(shù)二維維數(shù)用什么來來表示空空間中某某種三維維數(shù)的向向量及其其代數(shù)運運算呢？6 四元數(shù)數(shù)的引入入：1) 18433年，哈哈密爾頓頓提出了了一個有有用的復(fù)復(fù)數(shù)的空空間類似似物，為為此他困困惑了115年。他的新新數(shù)包含含四個分分量，其其次，他他不得不不犧牲了了乘法交交換律。他把這這種數(shù)叫叫做四元元數(shù)。（a+bbi+cci+ddk）2) 四元數(shù)數(shù)的引入入給了數(shù)數(shù)學(xué)家們們又一次次震動。它是一一個確實實有用途途的代數(shù)數(shù)，卻不不具備所所有實數(shù)數(shù)和復(fù)數(shù)數(shù)的基本本性質(zhì)，即abb=baa3) 繼四元元數(shù)后不不久，數(shù)數(shù)學(xué)家們們引入了了更奇怪怪的代數(shù)數(shù)

10、，如，著名代代數(shù)幾何何學(xué)家凱凱萊引進(jìn)進(jìn)了矩陣陣，它是是矩形或或正方形形數(shù)組。4) 對算術(shù)真真理的最最嚴(yán)重打打擊來自自于亥姆姆霍茲（Hellmhooltzz）他的的結(jié)論是是：只有有經(jīng)驗?zāi)苣芨嬖V我我們算術(shù)術(shù)的法則則能用在在哪里，我們并并不能肯肯定一條條先驗公公式是否否在任何何情況下下都適用用。如，分?jǐn)?shù)數(shù)的加法法運算在在計算平平均速度度時，就就有7 數(shù)學(xué)中中沒有真真理，即即作為現(xiàn)現(xiàn)實世界界普適法法則。希臘人試試圖從幾幾條自明明的真理理出發(fā)和和僅僅使使用演繹繹的證明明方法來來保證數(shù)數(shù)學(xué)的真真實性被被證明是是徒勞的的。1） 數(shù)學(xué)并不不是一堆堆天然的的鉆石，而不過過是人工工寶石，某些領(lǐng)領(lǐng)域的經(jīng)經(jīng)驗啟發(fā)發(fā)特

11、定的的公理，在這些些領(lǐng)域，這些公公理及真真邏輯結(jié)結(jié)果能夠夠非常精精確地作作有價值值的描述述。但是是，一旦旦這一領(lǐng)領(lǐng)域擴展展了，這這種適用用性就可可能失去去。2） 既然數(shù)數(shù)學(xué)家們們已經(jīng)放放棄了上上帝，我我們就應(yīng)應(yīng)該相信信人。自自然法則則是人的的創(chuàng)造物物，是我我們，而而不是上上帝，才才是宇宙宙法則的的制定者者，自然然法則是是人的描描述而不不是上帝帝的命令令。3） 17550年數(shù)數(shù)學(xué)家們們可以這這樣夸耀耀他們的的發(fā)明：沐浴著上上帝的光光芒，我們走向向四面八八方。 到到了18850年年，他們們不得不不沮喪地地承認(rèn) 不管我我走到哪哪里， 塵世中中這條路路已不再再榮光。4） 這段歷歷史并不不會令人人失望，

12、伽羅瓦瓦這樣評評論數(shù)學(xué)學(xué)：“數(shù)學(xué)是是人的心心智的工工作，它它注定要要去探索索而不是是知道，去追求求真理而而不是發(fā)發(fā)現(xiàn)真理理”。四、一門門邏輯學(xué)學(xué)科不合合邏輯的的發(fā)展算術(shù)術(shù)和代數(shù)數(shù)的困境境1 非歐幾幾何正是是導(dǎo)致歐歐氏幾何何之船傾傾覆的暗暗礁。曾經(jīng)被確確信是堅堅實的土土地，如如今卻被被證明是是一片沼沼澤。2 讓我們們看看數(shù)數(shù)學(xué)的邏邏輯發(fā)展展是如何何進(jìn)行的的吧。1) 亞歷山山大里亞亞希臘人人自由地地使用從從埃及人人和巴比比倫人那那里繼承承來的，沒有邏邏輯基礎(chǔ)礎(chǔ)的算術(shù)術(shù)和代數(shù)數(shù)。2) 古希臘臘人給后后人兩門門截然不不同的、發(fā)展得得不一樣樣的數(shù)學(xué)學(xué)分支：一方面面是演繹繹的、系系統(tǒng)的、但有些些缺陷的的幾

13、何，另一方方面則是是經(jīng)驗算算術(shù)及其其延展代代數(shù)。3) 在阿拉拉伯人最最終毀滅滅了亞歷歷山大里里亞希臘臘文明以以后，印印度人和和阿拉伯伯人成為為數(shù)學(xué)的的執(zhí)牛耳耳者。4) 印度人人引入了了負(fù)數(shù)來來表示負(fù)負(fù)債，這這一舉動動加重了了數(shù)學(xué)家家們邏輯輯上的苦苦惱，印印度人注注重的是是算術(shù)和和計算方方面，而而不是演演繹結(jié)構(gòu)構(gòu)。印度人有有一些不不錯的思思想，例例如， 數(shù)字字1到99用獨立立的記號號表示 將六六十進(jìn)制制化為十十進(jìn)制 負(fù)數(shù)數(shù)，把00當(dāng)作一一個數(shù)來來對待。所以，印度人人的工作作擴充了了建立在在經(jīng)驗和和直覺基基礎(chǔ)上的的那部分分?jǐn)?shù)學(xué)。3 在166、177世紀(jì)，并沒有有許多數(shù)數(shù)學(xué)家承承認(rèn)負(fù)數(shù)數(shù)4 無理數(shù)數(shù)

14、被自由由地運用用于文藝藝復(fù)興時時期的一一個新發(fā)發(fā)明，對數(shù)之中中，而無無理數(shù)究究竟是不不是真正正的數(shù)也也困擾著著這些使使用者。5 當(dāng)歐洲洲人還沒沒有從無無理數(shù)與與負(fù)數(shù)的的困境中中擺脫出出來時，他們又又糊里糊糊涂地陷陷入了我我們現(xiàn)在在稱之為為復(fù)數(shù)的的泥沼之之中。6 韋達(dá)是是第一個個有意識識地系統(tǒng)統(tǒng)地使用用字母的的人，字字母的主主要新用用途不僅僅是用于于表示未未知量的的冪，而而且用以以表示一一般的系系數(shù)。7 代數(shù)的的產(chǎn)生：1) 直到177世紀(jì)代代數(shù)的威威力才被被逐漸認(rèn)認(rèn)識到，笛卡爾爾和費馬馬邁出了了舉足輕輕重珠一一步，這這就是坐坐標(biāo)幾何何的產(chǎn)生生（代數(shù)數(shù)幾何）。其基基本思想想是：曲曲線顯然然可以用用

15、方程來來表示。2) 第二個個將代數(shù)數(shù)推向前前臺的創(chuàng)創(chuàng)舉是運運用代數(shù)數(shù)公式表表示函數(shù)數(shù)。3) 代數(shù)的的自由使使用激起起眾怒，直到117500年，人人們才得得以放心心大膽地地運用代代數(shù)。4) 幾何學(xué)學(xué)是公元元前3000年前前用演繹繹的方法法建立起起來的，但算術(shù)術(shù)與代數(shù)數(shù)學(xué)都怎怎么也找找不到邏邏輯基礎(chǔ)礎(chǔ)?？茖W(xué)學(xué)的需要要戰(zhàn)勝了了邏輯上上的顧忌忌。8 數(shù)學(xué)家家們?yōu)槭彩裁礇]有有發(fā)展一一個數(shù)與與代數(shù)的的演繹推推導(dǎo)結(jié)構(gòu)構(gòu)呢？這這是因為為幾何的的概念、公理和和原理從從直觀上上看，遠(yuǎn)遠(yuǎn)比算術(shù)術(shù)和代數(shù)數(shù)的易于于接受，作圖可可輔助解解釋結(jié)構(gòu)構(gòu)。但無理數(shù)數(shù)、負(fù)數(shù)數(shù)和復(fù)數(shù)數(shù)的概念念都微妙妙得多，即使可可以得到到圖形，也無

16、法法解釋數(shù)數(shù)字作為為數(shù)和建建立于數(shù)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)礎(chǔ)上的字字母表示示法的邏邏輯結(jié)構(gòu)構(gòu)。五、分析析的困境境1 以微積積分為核核心的分分析是建建立在算算術(shù)與代代數(shù)虛構(gòu)構(gòu)的邏輯輯基礎(chǔ)及及歐幾里里得幾何何有爭議議的基礎(chǔ)礎(chǔ)之上的的。2 17世世紀(jì)就隨隨著微積積分、算算術(shù)及代代數(shù)的一一片混亂亂結(jié)束了了。3 18世紀(jì)紀(jì)偉大的的數(shù)學(xué)家家不僅極極大地擴擴展了微微積分學(xué)學(xué)而且從從中導(dǎo)出出了一些些全新的的學(xué)科：無窮級級數(shù)、常常微分方方程、偏偏微分方方程、微微分幾何何、變分分法及復(fù)復(fù)變函數(shù)數(shù)這些些統(tǒng)稱為為分析的的學(xué)科。從微積積分到這這些新分分支的擴擴展引入入了新概概念、新新方法，使得微微積分的的嚴(yán)密性性問題更更加復(fù)雜雜。對無

17、窮級級數(shù)的處處理也許許可以用用來解釋釋一下這這些新的的麻煩 于是是，當(dāng) 時 即 問問題出在在：1) 如何討討論級數(shù)數(shù)的求和和？收斂斂和發(fā)散散？2) 有限運運算和無無限運算算有何區(qū)區(qū)別？4 幾何118世紀(jì)紀(jì)的每位位數(shù)學(xué)家家都在微微積分的的邏輯上上做了努努力，但但他們的的努力都都是沒有有多大用用處的。人們很難難區(qū)別很很大的數(shù)數(shù)與無窮窮數(shù)；有有限項的的積與積積分也很很難區(qū)分分，數(shù)學(xué)學(xué)家們在在有限與與無限之之間隨意意通行。策積分變變?yōu)椤坝嬎闩c與度量一一個其存存在性是是不可思思議的事事物的藝藝術(shù)”。5 18世世紀(jì)結(jié)束束之際，微積分分和建立立在微積積分基礎(chǔ)礎(chǔ)上的分分析的其其它分支支的邏輯輯處于一一種完全全

18、混亂的的狀態(tài)之之中。六、199世紀(jì)的的困境（邏輯基基礎(chǔ)）1 無理理數(shù)，可可看作是是直線上上的點，對它的的作用，人們沒沒有異議議，直觀觀上難以以接受的的是負(fù)數(shù)數(shù)和復(fù)數(shù)數(shù)。1) 柯西，最偉大大的數(shù)學(xué)學(xué)家之一一，在119世紀(jì)紀(jì)初創(chuàng)立立了復(fù)變變函數(shù)理理論，但但不同意意把表達(dá)達(dá)式 當(dāng)當(dāng)作數(shù)。2) 哈密爾爾頓，這這位偉大大數(shù)學(xué)家家，也不不愿意接接受負(fù)數(shù)數(shù)和復(fù)數(shù)數(shù)3) 高斯，在他的的著作中中，并不不愿意承承認(rèn)復(fù)數(shù)數(shù)。2 199世紀(jì)上上半期，人們注注意到代代數(shù)也缺缺乏邏輯輯基礎(chǔ)，主要問問題是字字母被用用來表示示各類數(shù)數(shù)并參與與運算。3 除了代數(shù)數(shù)，199世紀(jì)早早期的分分析也處處于邏輯輯困境中中，所有有分析的的

19、基礎(chǔ)就就是連續(xù)續(xù)函數(shù)和和函數(shù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)的概概念。直直觀上，一個連連續(xù)函數(shù)數(shù)應(yīng)在任任何一點點都有導(dǎo)導(dǎo)數(shù)存在在，不幸幸的是，這是錯錯誤的。4 19世紀(jì)紀(jì)任何一一門數(shù)學(xué)學(xué)在邏輯輯上都是是得不到到保證的的。實數(shù)數(shù)系、代代數(shù)學(xué)、歐氏幾幾何，新新出現(xiàn)的的非歐幾幾何和射射影幾何何，它們們要么邏邏輯不完完善，要要么根本本就沒有有。5 在所有的的數(shù)學(xué)工工作中，存在強強烈的直直覺作用用，基本本概念和和方法總總是在對對結(jié)論合合理的證證明以前前很久就就被直覺覺捕捉到到了，偉偉大人物物的直覺覺比凡人人的推演演論證更更為可靠靠。七、天堂堂之門（數(shù)學(xué)的的嚴(yán)格化化運動）1 柯柯西決定定在數(shù)的的基礎(chǔ)上上建立微微積分邏邏輯，把把微積

20、分分建立在在極限的的概念上上。2 在在分析嚴(yán)嚴(yán)密化方方面，主主要的成成就歸功功于另一一位大師師魏爾斯斯特拉斯斯（Weeierrstrrasss）。3 大約18890年年左右，在埃及及人和巴巴比倫人人使用整整數(shù)、分分?jǐn)?shù)和無無理數(shù)六六千年后后，數(shù)學(xué)學(xué)家們終終于可以以證明22+24。4 大約19900年年為止，算術(shù)、代數(shù)和和（建立立在整數(shù)數(shù)公理基基礎(chǔ)上的的）分析析及（以以點、線線和其它它幾何概概念為基基礎(chǔ)的）幾何已已經(jīng)被嚴(yán)嚴(yán)密化。&szllig;接下來來的問題題糾纏于于邏輯，即在由由一個數(shù)數(shù)學(xué)步驟驟推出另另一個中中的推理理原理1 邏輯學(xué)學(xué)是由亞亞里士多多德在他他的工工具篇中奠定定的。他他的基本本原理

21、之之一就是是排中律律即所所有有意意義的斷斷言非真真即假。亞里士多多德的邏邏輯主要要由三段段論構(gòu)成成2 萊布尼尼茨的普普遍邏輯輯構(gòu)想：1）符號號化 22）推理理演算 33）基本本概念的的組合3 布爾（Geoorgee Booolee），引引入了命命題邏輯輯皮爾斯：有效地地引進(jìn)了了命題函函數(shù)這一一概念，還引入入了所謂謂的“量詞”從而引引進(jìn)了一一階邏輯輯。弗雷格（Gotttloob FFregge）（法）：在數(shù)學(xué)學(xué)化邏輯輯的方向向上邁出出了199世紀(jì)的的最關(guān)鍵鍵一步。他引入入了一個個更廣泛泛的蘊涵涵概念。4 在200世紀(jì)初初公理化化方法被被認(rèn)為是是完美的的，沒有有人比希希爾伯特特對它更更為推崇崇了，

22、他他是當(dāng)時時世界上上頂尖的的數(shù)學(xué)家家。5 事實上上，所有有的這些些公理化化結(jié)構(gòu)和和嚴(yán)密所所做的無無非是證證明了數(shù)數(shù)學(xué)家所所知道的的那些東東西確實實是那樣樣的。&szllig;所有的這這些意味味著數(shù)學(xué)學(xué)并非建建立在邏邏輯之上上而是建建立在健健全的直直覺之上上。邏輯是數(shù)數(shù)學(xué)家們們想要保保證健康康和強壯壯的衛(wèi)生生手段?；仡欘檾?shù)學(xué)上上幾次危危機： 1）無無理數(shù) 22）微積積分 3）非歐幾幾何 4）四元數(shù)數(shù)在119000年巴黎黎舉行的的第二屆屆國際數(shù)數(shù)學(xué)大會會上，希希爾伯特特清醒地地認(rèn)識到到數(shù)學(xué)基基礎(chǔ)中的的漏洞并并未完全全堵住，他提出出了數(shù)學(xué)學(xué)發(fā)展中中最重要要的233個問題題。第一個問問題：1）康托托爾

23、引入入了超限限數(shù)來表表示無限限集中元元素的個個數(shù)。2）證明明：整數(shù)數(shù)個數(shù)這這一超限限數(shù)之后后，第二二大超限限數(shù)是所所有實數(shù)數(shù)的個數(shù)數(shù)。八、天堂堂受阻：理性的的新危機機（無窮窮集合）1 到19900年年，數(shù)學(xué)學(xué)家們近近似乎已已經(jīng)賦予予了他們們的學(xué)科科一種理理想的結(jié)結(jié)構(gòu)。 他們們最終承承認(rèn)了未未定義概概念的必必需。 正確確、嚴(yán)謹(jǐn)謹(jǐn)、演繹繹的證明明取代了了基于直直覺成經(jīng)經(jīng)驗的結(jié)結(jié)論。 邏輯輯學(xué)的原原理用以以完善數(shù)數(shù)學(xué)家們們過去常常用的那那種不正正規(guī)的、不清晰晰的證明明方式。但，“當(dāng)當(dāng)大廈即即將竣工工的時候候，基礎(chǔ)礎(chǔ)卻崩潰潰了”2 導(dǎo)致矛矛盾并讓讓人大開開眼界的的新理念念是關(guān)于于無窮集集合的康康托爾證證明了：1) 整數(shù)集集，他用用符號 （阿列列夫零）來表示示這個基基數(shù)。2) 實數(shù)集集，大于于整數(shù)集集，他用用符號CC來表示示其基數(shù)數(shù)。3) 對于一一個任意意給定的的集合，總存在在一個比比它更大大的集合合。4) 5) 已知知集合的的所有子子集構(gòu)