高數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與凹凸性

1、高數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與凹凸性第1頁，共17頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)47分，星期四一、 函數(shù)單調(diào)性的判定法若定理 1. 設(shè)函數(shù)則 在 I 內(nèi)單調(diào)遞增(遞減) .證: 無妨設(shè)任取由拉格朗日中值定理得故這說明 在 I 內(nèi)單調(diào)遞增.在開區(qū)間 I 內(nèi)可導(dǎo),證畢第2頁，共17頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)47分，星期四例1. 確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解:令得故的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為第3頁，共17頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)47分，星期四說明: 單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)除駐點(diǎn)外,也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn). 例如,2) 如果函數(shù)在某駐點(diǎn)兩邊導(dǎo)數(shù)同號, 則不改變函數(shù)的單調(diào)性 .例如,第4頁，共17頁，20

2、22年，5月20日，20點(diǎn)47分，星期四例2. 證明時(shí), 成立不等式證: 令從而因此且證證明 第5頁，共17頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)47分，星期四* 證明令則從而即第6頁，共17頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)47分，星期四定義 . 設(shè)函數(shù)在區(qū)間 I 上連續(xù) ,(1) 若恒有則稱圖形是凹的;(2) 若恒有則稱圖形是凸的 .二、曲線的凹凸與拐點(diǎn)連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點(diǎn)稱為拐點(diǎn) .拐點(diǎn)第7頁，共17頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)47分，星期四定理2.(凹凸判定法)(1) 在 I 內(nèi)則 f (x) 在 I 內(nèi)圖形是凹的 ;(2) 在 I 內(nèi)則 f (x) 在 I 內(nèi)圖形是凸的 .

3、證:利用一階泰勒公式可得兩式相加說明 (1) 成立;(2)設(shè)函數(shù)在區(qū)間I 上有二階導(dǎo)數(shù)證畢第8頁，共17頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)47分，星期四例3. 判斷曲線的凹凸性.解:故曲線在上是向上凹的.說明:1) 若在某點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)為 0 ,2) 根據(jù)拐點(diǎn)的定義及上述定理, 可得拐點(diǎn)的判別法如下:若曲線或不存在,但在 兩側(cè)異號,則點(diǎn)是曲線的一個(gè)拐點(diǎn).則曲線的凹凸性不變 .在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號,第9頁，共17頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)47分，星期四例4. 求曲線的拐點(diǎn). 解:不存在因此點(diǎn) ( 0 , 0 ) 為曲線的拐點(diǎn) .凹凸第10頁，共17頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)47分，

4、星期四對應(yīng)例5. 求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).解: 1) 求2) 求拐點(diǎn)可疑點(diǎn)坐標(biāo)令得3) 列表判別故該曲線在及上向上凹,向上凸 ,點(diǎn) ( 0 , 1 ) 及均為拐點(diǎn).凹凹凸第11頁，共17頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)47分，星期四內(nèi)容小結(jié)1. 可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別在 I 上單調(diào)遞增在 I 上單調(diào)遞減2.曲線凹凸與拐點(diǎn)的判別+拐點(diǎn) 連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點(diǎn)第12頁，共17頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)47分，星期四思考與練習(xí)上則或的大小順序是 ( )提示: 利用單調(diào)增加 ,及B1. 設(shè)在第13頁，共17頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)47分，星期四 .2. 曲線的凹區(qū)間是凸區(qū)間是拐點(diǎn)為提示:及作業(yè) P152 3 (1),(7) ; 5 (2), (4) ; 9 (3), (6) ; 10 (3) ; 13 ; 14 ; *15 ; ;第五節(jié) 第14頁，共17頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)47分，星期四有位于一直線的三個(gè)拐點(diǎn).1. 求證曲線 證明：備用題第15頁，共17頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)47分，星期四令得從而三個(gè)拐點(diǎn)為因?yàn)樗匀齻€(gè)拐點(diǎn)共線.=第16頁，共17頁，2022年，5月20日，