文本離散數(shù)學(xué)5

1、5.5 子群的陪集 5.5.1 集合的積 5.5.2 陪集 5.5.3 拉格朗日定理 5.5.4 正規(guī)子群 5.5.5 商群5.5.1 集合的積定義5.4.1設(shè)群，A G且A ， B G且B ，A和B的積(product)記作AB，且 ABabaA,bB(AB)CA(BC) ABBA ？ AAA ？5.5.1 集合的積6 0 2 4 1 3 5 0 2 4 1 3 5 0 2 4 1 3 5 2 4 0 3 5 1 4 0 2 5 1 3 1 3 5 2 4 0 3 5 1 4 0 2 5 1 3 0 2 4群 A0,2,4 B4,5 AB0,1,2,3,4,5 AA0,2,4 BB2,3,4

2、5.5.1 集合的積例5.5.1設(shè)群，A和B均是G的子群，則 AB是G的子群 ABBA 證明(1)任取abAB(aA,bB) (ab)1AB 存在xA,yB使xy(ab)1 ab(xy)1y1x1BA (2)任取baBA(bB,aA) a1b1AB (a1b1)1baAB5.5.1 集合的積任取a1b1,a2b2AB，則b21a21BA 存在a3A,b3B使a3b3b21a21 (a1b1)(a2b2)1 a1b1b21a21a1b1a3b3 a1(b1a3)b3 (b1a3BA) a1(a4b4)b3 (a4b4AB) (a1a4)(b4b3) a5b5AB (a5A,b5B)5.5.2 陪

3、集定義5.5.2設(shè)群，H是G的子群，aG (1)a確定的H在G中的左陪集 aHaH (2)a確定的H在G中的右陪集 HaHa (3)若HaaH，稱其為H在G中的陪集5.5.2 陪集6 0 2 4 1 3 5 0 2 4 1 3 5 0 2 4 1 3 5 2 4 0 3 5 1 4 0 2 5 1 3 1 3 5 2 4 0 3 5 1 4 0 2 5 1 3 0 2 4群 子群H0,2,4 0HH 1H1,3,5 2HH 3H1,3,5 4HH 5H1,3,55.5.2 陪集例5.5.2設(shè)群,其中R為實(shí)數(shù)集且對任意 ,RR有。 子群H| x,yR,y2x 則 取RR H| x,yR,y2x

4、| x,yR,y2xb2a5.5.2 陪集例5.5.3 設(shè)H和Q均是群的子群，則 a(HQ)(aH)(aQ) 證明 取ata(HQ) tHQ tH且tQ ataH且ataQ at(aH)(aQ)5.5.2 陪集定理5.5.1設(shè)群，H是G的子群，a,bG (1) aaH (2) aHH aH (3) aHbH a1bH (4) |aH|H| (5) 若baH，則aHbH (6) 任意aH與bH，則aHbH或aHbH 5.5.2 陪集證明(2) aHH aH 若aH，aH的元素 子群運(yùn)算表中a所在行的元素 p q a ap aq 5.5.2 陪集證明(3) aHbH a1bH 若aHbH 存在h1

5、,h2H使ah1bh2 從而h1h21a1bH 若a1bH 則(a1b)HH 于是bHa(a1b)H)aH5.5.2 陪集證明(4) |aH|H| 函數(shù)f：aHH，且f(ah)h f為雙射證明(5) 若baH，則aHbH 若baH 存在hH使bah 從而bH(ah)HaH 5.5.2 陪集證明 (6)任意aH與bH，則aHbH或aHbH 假設(shè)aHbH 存在c使caH且cbH aHcH， bHcH 于是aHbH 5.5.2 陪集設(shè)H群的子群a,bG (1) aaH (2)aHbH 或aHbH Ga1Ha2HarH設(shè)R為G上的等價(jià)關(guān)系a,bG (1) aa (2)ab 或ab Ga1a2ar5.5

6、.2 陪集注釋 設(shè)群，H是G的子群 (1)G對H的(左)陪集分解式 Ga1Ha2HarH，其中 ai Haj H ；i,j 1,2, , r；i j 。 (2)右陪集類似。特別HaHb ab1H (3)作雙射f：AB，且f(aH)Ha15.5.2 陪集6 0 2 4 1 3 5 0 2 4 1 3 5 0 2 4 1 3 5 2 4 0 3 5 1 4 0 2 5 1 3 1 3 5 2 4 0 3 5 1 4 0 2 5 1 3 0 2 4群 子群H0,2,4 0HH 1H1,3,5 2HH 3H1,3,5 4HH 5H1,3,55.5.2 陪集定義5.5.3設(shè)群，H是G的子群， H在G中的

7、指數(shù)(index) G ：HH的左陪集的個數(shù)5.5.3 拉格朗日定理定理5.5.2(Lagrange定理) 設(shè)是有限群，H是G的子群，則 |G|H|G ：H證明 設(shè)G對H的陪集分解式 Ga1Ha2HarH |ai H|H|， i1,2, ,r |G|H|r|H|G ：H 5.5.3 拉格朗日定理設(shè)H群的子群a,bG (1) aaH (2)aHbH 或aHbH Ga1Ha2HarH設(shè)R為G上的等價(jià)關(guān)系a,bG (1) aa (2)ab 或ab Ga1a2ar5.5.3 拉格朗日定理例5.5.4設(shè)H是群的子群， R | a,bG且a-1bH 則 (1)R是G上的等價(jià)關(guān)系 (2)對aG 有 aRaH5.5.3 拉格朗日定理任取xG ex-1xH R設(shè)R x-1yH (x-1y)-1y-1xH R設(shè)R,R x-1yH，y-1zH (x-1y)(y-1z)H x-1zH R 證明(1)等價(jià)關(guān)系R | a,bG且a-1bH5.5.3 拉格朗日定理任取baR 則