高二數(shù)學(xué)排列、組合和二項(xiàng)式定理小結(jié)復(fù)習(xí)試題

1、日期：2022 年二月八日。高二數(shù)學(xué)排列、組合和二項(xiàng)式定理小結(jié)復(fù)習(xí)制卷人：打自企； 成別使； 而都那。審核人：眾閃壹； 春壹闌； 各廳 日期：2022 年二月八日。一. 本周教學(xué)內(nèi)容：排列、組合和二項(xiàng)式定理小結(jié)復(fù)習(xí)二. 重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)：排列、組合和二項(xiàng)式定理知識(shí)構(gòu)造分類計(jì)數(shù)原理、分步計(jì)數(shù)原理意義及它們區(qū)別和聯(lián)絡(luò)；排列和組合意義以及它們區(qū)別和聯(lián)絡(luò)；二項(xiàng)式定理內(nèi)容及應(yīng)用；二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式的應(yīng)用。解排列和組合問題的根本方法難點(diǎn)：兩個(gè)原理所表達(dá)的解決問題的方法。分類計(jì)數(shù)原理、分步計(jì)數(shù)原理區(qū)別和聯(lián)絡(luò)及排列和組合區(qū)別和聯(lián)絡(luò)是貫穿本章內(nèi)容的難點(diǎn)?？酥圃诮鉀Q排列和組合問題上的重復(fù)和遺漏情況是這局部內(nèi)容

2、的又一難點(diǎn)。三. 復(fù)習(xí)與小結(jié)知識(shí)構(gòu)造日期：2022 年二月八日。日期：2022 年二月八日。知識(shí)體系表解解題常用的幾種考慮方法直接法：根據(jù)加法原理及乘法原理，直接把一個(gè)復(fù)雜的事件分解成為簡單的排列組合問題，這種解題方法為直接法。間接法：不管限定條件，全部的排列數(shù)或者組合數(shù)，必含兩類情況，一類是符合題意限定條件的 種數(shù)，另一類不符合題意限定條件的種類，用全部種類減去不符合題意限定條件的種類可得符合題意限 定條件的種類，此種方法屬數(shù)學(xué)中常用的間接法。當(dāng)符合題意限定條件中的種類不易求，或者情況多樣 易出錯(cuò)，而不符合題意條件的種類易求時(shí)，常采用此法。插空法：假設(shè)題目限制某些元素必“不相鄰，可將無此限制

3、的元素進(jìn)展排列，然后在它們的空格處，插入不能相鄰元素，此方法叫插空法。日期：2022 年二月八日。日期：2022 年二月八日。捆綁法：關(guān)于某些元素必“相鄰的問題，可把這些元素看作一個(gè)整體，當(dāng)成一個(gè)元素和其它元素進(jìn)展排列，然后這些元素自身再進(jìn)展排列，這種方法叫做捆綁法。分組問題分組問題顯然屬于組合問題。分組問題中情況多種多樣，大體上有不均分到人，不均分不到人，均 分到人，均分不到人等幾種。二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)在二項(xiàng)展開式中，與首末兩端“等間隔 的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等。假如二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；假如二項(xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大。二項(xiàng)式系數(shù)的和

4、為 2n，即奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，即二項(xiàng)展開式系數(shù)的規(guī)律楊輝三角二項(xiàng)展開式的系數(shù)可以由下表求出：日期：2022 年二月八日。日期：2022 年二月八日。其中這邊上的各數(shù)都是 1，除 1 以外，每個(gè)數(shù)都等于它“肩上兩數(shù)之和。當(dāng)n 較小時(shí)，用它寫出(a+b)n 展開式更為方便。以上結(jié)果是由我國宋代數(shù)學(xué)家楊輝首先發(fā)現(xiàn)的(1261 年)，所以稱為楊輝三角。關(guān)于通項(xiàng)公式題時(shí)通項(xiàng)公式應(yīng)用較多，但必須注意，它是(a+b)n 展開式的第r+1 項(xiàng)，而(1+)n 的近似計(jì)算在(1+)n 的展開式中，當(dāng)?shù)慕^對值與 1 相比很小且n 不很大時(shí)，2 項(xiàng)、3 項(xiàng)的絕對值都很小，因此在準(zhǔn)確度允許

5、的范圍內(nèi)可以忽略不計(jì)，這樣就有近似計(jì)算公式：(1+)n1+n在使用這個(gè)公式時(shí)，要注意問題對準(zhǔn)確度的要求?！镜湫屠}】例 1在 1，3，5，7，9 中任取 3 個(gè)數(shù)字，0，2，4，6，8 中任取兩個(gè)數(shù)字，可組成多少個(gè)不同的五位數(shù)偶數(shù)。解法一因?yàn)榱悴荒茏魇孜粩?shù)，所以是特殊元素，因此可以根據(jù)選零不選零為分類HY。日期：2022 年二月八日。日期：2022 年二月八日。解第一類：五位數(shù)中不含數(shù)字零。第二類：五位數(shù)中含有數(shù)字零第二步：排順序又可分為兩小類：符合條件的偶數(shù)個(gè)數(shù)為答：可組成 4560 個(gè)位偶數(shù)解法二：間接解法分析從 1，3，5，7，9 中任取 3 個(gè)數(shù)字，從 0，2，4，6，日期：2022

6、年二月八日。日期：2022 年二月八日。答：符合條件中的五位偶數(shù)有 4560 個(gè)例 2. 某小組 6 個(gè)人排隊(duì)照相紀(jì)念(1)假設(shè)分成兩排照相，前排 2 人，后排 4 人，有多少種不同的排法？(2)假設(shè)分成兩排照相，前排 2 人，后排 4 人，但其中甲必須在前排，乙必須在后排，有多少種排法？ (3)假設(shè)排成一排照相，甲、乙兩人必須在一起，有多少種不同的排法？(4)假設(shè)排成一排照相，其中甲必在乙的右邊，有多少種不同的排法？(5)假設(shè)排成一排照相，其中有3 名男生 3 名女生，且男生不能相鄰有多少種排法？(6)假設(shè)排成一排照相，且甲不站排頭乙不站排尾，有多少種不同的排法？分析 (1)分兩排照相實(shí)際上

7、與排成一排照相一樣，只不過把第 36 個(gè)位子看成是第二排而已，所以實(shí)際上是 6 個(gè)元素的全排列問題。244先確定甲的排法，有P 1 種；再確定乙的排法，有P 1 種；最后確定其別人的排法，有P 4 種因PPP為這是分步問題，所以用乘法原理，有114 種不同排法。2445采用“捆綁法，即先把甲、乙兩人看成一個(gè)人，這樣有P 5 種不同排法然后甲、乙兩人之間PPP再排隊(duì)，有2 種排法。因?yàn)槭欠植絾栴}，應(yīng)當(dāng)用乘法原理，所以有52 種排法。 2526甲在乙的右邊與甲在乙的左邊的排法各占一半，有P 6 種排法。采用“插入法，把 3 個(gè)女生的位子拉開，在兩端和她們之間放進(jìn) 4 張椅子，如 女 女 4PPP女

8、 ，再把 3 個(gè)男生放到這 4 個(gè)位子上，就保證任何兩個(gè)男生都不會(huì)相鄰了這樣男生有P 3 種排法， 女生有3 種排法因?yàn)槭欠植絾栴}，應(yīng)當(dāng)用乘法原理，所以一共有33 種排法。34344PPP符合條件的排法可分兩類：一類是乙站排頭，其余 5 人任意排有P55 種排法；一類是乙不站排頭； 由于甲不能站排頭，所以排頭只有從除甲、乙以外的 4 人中任選 1 人有P41 種排法，排尾從除乙以外的 4 人中選一人有P 1 種排法，中間4 個(gè)位置無限制有P 4 種排法，因?yàn)槭欠植絾栴}，應(yīng)用乘法原理，所以一共有114 種排法。444日期：2022 年二月八日。日期：2022 年二月八日。6244解(1)P 6=

9、720(種)(2)P 1P 1P 4=2424=192(種)1526(3)P5 P2 =1202=240(種) (4) 2 P6 =360(種)435444(5)P 3P 3=246=144(種) (6)P 5+P 1P 1P 4=120+4424=504(種)654或者法二：(淘汰法)P 6-2P 5+P 4=720-240+24=504(種)說明(1)“相鄰問題，n 個(gè)元素排成一排，其中有m 個(gè)元素相連n+1nn+1n“相間問題中，假設(shè)兩類元素個(gè)數(shù)一樣(都是 n 個(gè))，那么排列總數(shù)為 2PnP n；假設(shè)兩類元素個(gè)數(shù)不同(一類n 個(gè)，另一類n+1 個(gè))，那么排列總數(shù)是Pn+1P nnm“次序

10、一定問題中，n 個(gè)元素排成一行，其中有m 個(gè)元素次序一定的排法數(shù)是P n/P m“不相鄰問題中，n 個(gè)元素排成一行，其中有m 個(gè)元素兩兩不例 3 (1)從 1，2，3，12 中任選 4 個(gè)數(shù)相加，其和為奇數(shù)的一共有多少種？從 9 所中學(xué)選派 12 名老師組成代表團(tuán)，每校至少1 人參加，問有多少種不同選派方法？由 12 人組成文娛小組，其中 5 人只會(huì)唱歌，5 人只會(huì)跳舞，2 人又會(huì)唱歌又會(huì)跳舞?，F(xiàn)從這 12 人中選派 4 人會(huì)唱歌 4 人會(huì)跳舞的去排練節(jié)目，一共有多少種選法？6666解：(1)分兩類：3 個(gè)奇數(shù)，1 個(gè)偶數(shù)，一共有C 3C 1 種選法。1 奇，3 偶，不同選法也是C 1C 36

11、6種。故所求總數(shù)為 2C 1C 3 種。9每校選 1 人已定，只剩 3 個(gè)名額尚須選派。分三類：3 名全從同一個(gè)選，一共有C 1 種選法；9C從兩個(gè)選派 3 人，可以是甲 2 乙 1 或者甲 1 乙 2，故不同選法總數(shù)為 2C 2；從 3 個(gè)不同各選 1 人， 有3 種選法。9999故所求總數(shù)為C 1+2C 2+C 3。關(guān)鍵在于 2 個(gè)既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的人是否被選，并且選中后，他們表演什么節(jié)目(唱歌還是跳舞)。分 6 類：這 2 人被選為唱歌人選，其他 6 人選法有 C52C54 種；2 人被選為跳舞人選，也有C52C54 種日期：2022 年二月八日。日期：2022 年二月八日。55255選

12、法；2 人被選，其中一人唱歌一人跳舞，一共有 2C 3C 3 種選法；2 人中只選 1 人唱歌，有 C 1C 3C 425555552555555種選法；2 人中只選 1 人跳舞，也有C 1C 3C 4 種選法；這 2 人都沒選上，那么有C 4C 4 種選法。故所求總數(shù)為 2C 2C 4+2C 1C 3C 4+2C 3C 3+C 4C 4=525。例 4. 四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)一共 10 個(gè)點(diǎn)，在其中取四個(gè)不一共面的點(diǎn)，不同的取法一共有多少種？分析：用直接法考慮：設(shè)四面體為ABCD，底面BCD 為平面分四類情況考慮：類：恰有 2 個(gè)點(diǎn)在內(nèi)，可分兩種情況：該兩個(gè)點(diǎn)在四面體的同類：恰有 1 個(gè)點(diǎn)

13、在內(nèi)，可分兩種情況：該點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，有C 1 (C 3341) (種)；該點(diǎn)是棱的端點(diǎn)，有C 1 (C 334 2)(種)類：4 個(gè)點(diǎn)全不在內(nèi)，只有 1 種取法，由加法原理，可得： 解：682730961141(種)所取 4 點(diǎn)是一共面的情況可分為兩類：類：4 點(diǎn)不在四面體的同一個(gè)面內(nèi)，可分兩種情形：4 點(diǎn)位于相對的兩條棱上，這時(shí)必然 3 點(diǎn)位于某棱，而另一是對棱的中點(diǎn)，一共有6 種取法；4 點(diǎn)不位于相對的棱上，這時(shí)4 點(diǎn)必然全為棱的中點(diǎn)， 且是平行四邊形的頂點(diǎn)，一共有 3 種取法。答：不同的取法一共有 141 種例 5. 現(xiàn)有張、王、李三位老師分別到 6 個(gè)班任課，求以下情況下不同的分班法各

14、有多少種？(1)分給日期：2022 年二月八日。日期：2022 年二月八日。張、王、李老師依次 1 個(gè)班，2 個(gè)班，3 個(gè)班；(2)每位老師都 2 個(gè)班；(3)6 個(gè)班分成 3 組，兩個(gè)組各 1 個(gè)班，另一組4 個(gè)班；(4)分配給三位老師，某一人1 個(gè)班，一個(gè)人2 個(gè)班，一人3 個(gè)班；(5)分配給三位老師，一人 4 個(gè)班，另 2 人各 1 個(gè)班。師，又不限定老師任課的任教，每位老師都會(huì)有各種任教法，所以有順序問題，因此，分完組的步驟完 成后再完成排序的步驟，這樣符合題意的不同分法種數(shù)為例 6.求(3-2x)9展開式中系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)。日期：2022 年二月八日。日期：2022 年二月八日。其

15、系數(shù)為設(shè) ak 絕對值最大項(xiàng)為第k+1 項(xiàng)，那么因此 k=3 或者k=4。實(shí)際上a4=-489888，a5=489888 即|a4|=|a5|=max|a1|，|a10|注求系數(shù)最大項(xiàng)的方法是先寫出通項(xiàng)公式，再設(shè)最大項(xiàng)為第k 項(xiàng)，由它大于等于左右兩個(gè)系數(shù)， 得出兩個(gè)不等式的不等式組，解此不等式求出k 的值。例 7. (1)求多項(xiàng)式(3x4-x3-2x-3)102(3x-5)4(7x3-5x-1)67 展開式各項(xiàng)系數(shù)和。(2)多項(xiàng)式x1000-x+(-x3-2x2+2)1000 展開式中x 的偶次冪各項(xiàng)系數(shù)和與x 奇次冪各項(xiàng)系數(shù)和各是多？分析利用多項(xiàng)式f(x)的系數(shù)和等于f(1)的性質(zhì)求解。解：

16、設(shè) f(x)=(3x4-x3-2x-3)102(3x-5)4(7x3-5x-1)67=a0+a1x+a2x2+anxn(nN)其各項(xiàng)系數(shù)和即是a0+a1+a2+an 又f(1)=a0+a2+an日期：2022 年二月八日。日期：2022 年二月八日。=(3-1-2-3)102(3-5)4(7-5-1)67=3102161=163102所以各項(xiàng)系數(shù)和為 163102(2) 設(shè) f(x)=x1000-x+(-x3-2x2+2)1000=a0+a1x+a2x2+anxn f(1)=a0+a1+a2+=1f(-1)=a0-a1+a2-a3+=3說明由上面的解題過程可知，上述解法適用于一般的多項(xiàng)式系數(shù)而

17、與次數(shù)無關(guān)一般地，多項(xiàng)式fx的各項(xiàng)系數(shù)和為f1，奇偶次項(xiàng)系數(shù)的和為f1f-12f1+f-12例 8. 1求 199911 除以 8 的余數(shù)2求 6 的近似值，使誤差小于1解1999=2000-1=8250-1199911=(8250-1)11由上面展開式可知 199911 除以 8 的余數(shù)是 7日期：2022 年二月八日。日期：2022 年二月八日。日期：2022 年二月八日。2分析 求 6 的近似值一般都是把它化為(1-0.002)6，再用二項(xiàng)式定理展開解 6=(1-0.002)6=1+6(-0.002)+15(-0.002)2+(-0.002)61+6說明展開式的第三項(xiàng)T3=15(-0.0

18、02)2第三項(xiàng)以后的絕對值就更小了，所以從第三項(xiàng)起可以忽略不計(jì)。1. nN*，那么20-n(21-n)(100-n)等于A80100nA20n100nA81100nA 8120n假 設(shè) 集 合 M x, y, z,集合N 1,0,1, f是 從M到N的 映 射 ， 那 么 滿 足f (x) f ( y) f (z) 0 的映射有A6 個(gè)B7 個(gè)C8 個(gè)D9 個(gè)有三張卡片，正反面分別寫有6 個(gè)不同的數(shù)字 1，3，5 和 2，4，6，將這三張卡片上的數(shù)字排成三位數(shù)，一共能組成不同的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是A24B36C48D641-x2n-1 展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是A第 n-1 項(xiàng)B第 n 項(xiàng)C第

19、n-1 項(xiàng)與第 n+1 項(xiàng)D第 n 項(xiàng)與第 n+1 項(xiàng)設(shè)有編號(hào)為 1，2，3，4，5 的五個(gè)茶杯和編號(hào)為 1，2，3，4，5 的五個(gè)杯蓋，將五個(gè)杯蓋蓋在五個(gè)茶杯上，至少有兩個(gè)杯蓋和茶杯的編號(hào)一樣的蓋法有A30 種B31 種C32 種D36 種從 6 名學(xué)生中，選出 4 人分別從事 A、B、C、D 四項(xiàng)不同的工作，假設(shè)其中，甲、乙兩人不能從事工作A，那么不同的選派方案一共有A96 種B180 種C240 種D280 種書架上有不同的數(shù)學(xué)書與不同的外文書一共7 本，現(xiàn)取 2 本數(shù)學(xué)書，1 本外文書借給 3 位同學(xué)，每人一本，一共有 72 種不同的借法，那么數(shù)學(xué)書與外文書的本數(shù)分別為A4，3B3，4

20、C5，2D2，52( 3 3)100 的展開式中，無理數(shù)項(xiàng)的個(gè)數(shù)是A84B85C86D874 名男生 3 名女生排成一排，假設(shè) 3 名女生中有 2 名站在一起，但 3 名女生不能全排在一起，那么不同的排法種數(shù)有A2880B3080C3200D3600從 1，2，3，4，5 這五個(gè)數(shù)字中，任取三個(gè)組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，但當(dāng)三個(gè)數(shù)字中有 2 和 3時(shí)，2 需排在 3 前面不一定相鄰，這樣的三位數(shù)有A9 個(gè)B15 個(gè)C42 個(gè)D51 個(gè)11.(1 3x)7 a a x a x 2012 a x 7 , 則| a| | a| | a| | a|70127.12. 把 13 個(gè)乒乓球運(yùn)發(fā)動(dòng)分成 3 組

21、，一組5 人，另兩組各4 人，但3 個(gè)種子選手每組要選派 1 人，那么不同的分法有種.13. 1 2C 131 4C 232 231 C 31 的值的個(gè)位數(shù)是.31在 1 到 100 這 100 個(gè)自然數(shù)中，選取 20 個(gè)，要求這 20 個(gè)數(shù)兩兩不相鄰，那么一共有種選法.(x m) 2n1 與(mx 1) 2n (n N * , m 0) 的展開式中含 xn項(xiàng)的系數(shù)相等，務(wù)實(shí)數(shù)m 的取值范圍。一個(gè)口袋內(nèi)有 4 個(gè)不同的紅球，6 個(gè)不同的白球，1從中任取 4 個(gè)球，紅球的個(gè)數(shù)不比白球少的取法有多少種？2假設(shè)取一個(gè)紅球記 2 分，取一個(gè)白球記 1 分，從中任取 5 個(gè)球，使總分不少于 7 分的取法

22、有多少種？3 名老師帶著 6 名學(xué)生平均分成三個(gè)小組到三個(gè)工廠進(jìn)展社會(huì)調(diào)查，每小組有 1 名老師和 2 名學(xué)生組成，求不同的分配方法有多少種？求2x-15 的展開式中1各項(xiàng)系數(shù)之和；2各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和；3偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和；4各項(xiàng)系數(shù)的絕對值之和；5奇次項(xiàng)系數(shù)之和某 A 有四個(gè)郊縣B、C、D、E。如圖現(xiàn)有 5 種顏色，假設(shè)要使每相鄰的兩塊涂不同顏色，且每塊只涂一種顏色，問有多少種不同的涂色方法？20. ： a, b R , n 1, n N * ，求證：an bna b ()n22參考答案1. C2. B3. C4. D5. B6. C7. B8. A9. A10. D11. 4712

23、. 12600 種提示：A3C 4 C 3 C 3 2 12600種3106613. 714. C 2081解：設(shè)(x m)2n 1的展開式通項(xiàng)公式為Tr 1,則Tr 1 Cr2n 1x2n 1 r mr令2n 1 r n,得r n 1故此展開式中xn項(xiàng)的系數(shù)為Cn 1 mn 12n 1由題意知: Cn 1 mn 1 Cn mn2n 12n m n 1 1 (1 1), m為n的減函數(shù)1 ,又當(dāng)n 1時(shí), m 2 , 1 m 223232n 122n 1n N , m 故m的取值范圍是 1 2(,2 3解1將取出 4 個(gè)球分成三類情況 1取 4 個(gè)紅球，沒有白球，有C 4 種2取 3 個(gè)紅球 1 個(gè)白4球，有C 3C 1 種；3取 2 個(gè)紅球 2 個(gè)白球，有C 2 C 2 ,4646C 4 C 3C1 C 2C 2 115種44646(2)設(shè)取x個(gè)紅