極值點偏移問題專題(五)-對數(shù)平均不等式(本質(zhì)回歸)

1、極值點偏移（5）對數(shù)平均不等式（本質(zhì)回歸）筆者曾在王挽瀾先生的著作建立不等式的方法中看到這樣一個不等式鏈：2aba+bbabae1baa+bT不曾想，其中一部分竟可用來解極值點偏移問題對數(shù)平均不等式：對于正數(shù)a,b，且a豐b，定義a-b為a,b的對數(shù)平均值，且inainb有;aab出，即幾何平均數(shù)對數(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)，簡記為ina一inb2G(a,b)L(a,b)0ina一inbkinaa=kinb一b，構(gòu)造函數(shù)f(x)=kinx一x，則f(a)=f(b).由f(x)=-一1得x廣(k)=0/且f(x)在(o,k)上戶/在(k,+8)上,x=k為f(x)的極大值點.對數(shù)平均不等式即狂k2k，這

2、是兩個常規(guī)的極值點偏移問題，留給2Iab1，則baba+bb(t1)b(t+1)abob：tinainb2int6?柴字巻b,ababInaInboInaInboInaInb2+0b耳aJba記fC)=lnalnb-孚+蘭,ae(b,+a)，貝Qba廣(a)=11L=一0,得f(a)在(b,+a)上，有a2寸ab2a寸a2aQabf(a)b，則由(*lnaexdx)(*lnaOdx)(na12dx)得(b一a)21(a2b2)(lnalnb)lnblnblnb2aba+b；ab山丄dxIbX2丿a一blnalnb證法5（幾何圖示法）(ja12dx)得(lnalnb)2b1(ab)，a丿過f（x

3、）上點xI作切線，由曲邊梯形面積，大于直lnalnb2角梯形面積，可得(ab)1Ja1dx=lnalnb，即一a+bbxlna一lnb22如上右圖，由直角梯形面積大于曲邊梯形面積，可得丄dx=lnJa：bbx，即訪口lna一lnb由對數(shù)平均不等式的證法1、2即可看出，它與極值點偏移問題間千絲萬縷的聯(lián)系，下面就用對數(shù)平均不等式再解前面舉過的例題再解例1:f(x)=f(x)即xe-x1=xe-x2,lnxx=lnxx，則一-一x一=112121122lnxlnx122（正數(shù)t,x2的對數(shù)平均數(shù)為1）,于是1p2，得x-x2212再解例2:f(x)=(x2)ex+a(xI)2=0即(2x)ex=a(

4、x1)z0;由(2x1)ex1=a(x11)2，兩式相減得(2x)ex2=a(x1)2222(2x)ex1(2x)ex2=a(xx)(x12121下面用反證法證明x+x2.12右x+xn2，貝g(2x)exi(2x)ex：0,(2x)ex-(2x)ex2,取對數(shù)得12ln(2x)+xln(2x)+x211ln(2x)ln(2x)而由對數(shù)平均不等式得x一x2(2x)(2x)12ln(2-x)-詁(2-x)ln(2x)ln(2x)2(2x-)+(2)=2二+x2矛盾再解例3：由xlnx11=xInx22lnx1mlnx2xx+2lnxlnx1lnxlnx+2lnxlnxlnxlnx1212m(ln

5、x+lnx).lnxlnx12mm(lnx+lnxlnx+lnx=ln(xx121212e2x+x12m+lnxlnx12由對數(shù)平均不等式得0,lnx0,lnx0)，11，則-e22(x一x)lnxlnx=12-12xxxx2112olnx+lnx2oa1212(x+x)2ox+x,已證.12再解例4：同例1，不再詳述再解例5:同例1得到xx2xx1211c，則+一2xx121+lna1+lnblna一lnb再解例7(2):易得G(0,1)，則一1，則Ina一Inb再解例8:2lnx一ax=2lnx112一ax2,2(inx-lnx)=a(x-x)，得12x一xlnx一lnx122x+x2仝一

6、=，貝。2a2a4,x+x12()426,x+2x=Jx+x丿+x+=122aaa再解練習(xí)2:原題結(jié)論抄寫有誤，應(yīng)更正為廣f(x)=0即ex=a(x-l)(ae2)，x=lna+ln(x-1)，則x=lna+ln(x一1)x=lna+ln(x一1)2-得x一x=(x一1)-(x一1)=ln(x-lLlnC-1)則121(x一1)一(x一1)ln(x1_1)一lx一)=1(正數(shù)x1-1，x2-1的對數(shù)平均數(shù)為1).12于是rE刁1(x1一；S，得1一叫一1)4.+得x+x=2lna+ln(x一1)(x一1)2lna，所以v;xx7+x24nx+x212124順帶地，也有號歲(x-l)(x-l)1

7、12xx12極值點偏移問題，多與指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)有關(guān)，解題的關(guān)鍵有以下幾步：根據(jù)fCLf(J=0建立等量關(guān)系；2)等量關(guān)系中如果含有參數(shù)，可考慮消參；如果含有指數(shù)式，可考慮兩邊取對數(shù)；(3)通過恒等變形轉(zhuǎn)化出對數(shù)平均數(shù)(的值或仍用x,x2表示)，代入對數(shù)平均不等式求解細心的讀者不難發(fā)現(xiàn)，用對數(shù)平均不等式來解極值點偏移問題的方法也有局限性，也不是萬能的(再解過程中漏掉了例6)，其中能否簡潔地表示出對數(shù)平均數(shù)是關(guān)鍵中的關(guān)鍵，最后再舉一例例10設(shè)函數(shù)f(x)=Inx-ax2+(2一a)-x112=()0lnx-lnxa(x+x)+a-21212的兩個零點是x1，x2，求證:0，且f(x)在(0,1

8、在Ia丿上、，不妨設(shè)構(gòu)造函數(shù)x+x20ox+x212aF(x)=f(x)-f-x可證.Ia丿證法2:由題意得|lnx1一axj+(2一a)x1=0，兩式相減得lnxax2+12a丿x=0222lnx-lnx-a(x+x)(x-x)+(2-a)(x-x)=0，12121212lnx-lnx=(x-x)(a(x+x)+a-2)121212所以一alx1x+x01212n(a(x+x)-2)(x+x+1)0nx+xnf121212a這或許是史上最全的極值點偏移系列文章1、極值點偏移問題專題一偏移新花樣一拐點偏移PK極值點偏移常規(guī)套路2、極值點偏移問題專題二如何選擇合理的函數(shù)3、極值點偏移問題專題三變更結(jié)論處理偏移4極值點偏移問題專題四比值代換齊次消元5、極值點偏移問題專題五對數(shù)平均顯神威6、極值點偏移問題專題六本質(zhì)回歸泰勒展開7、極值點偏移問題專